船舶强框架序贯代理模型辅助遗传优化方法

2021-08-31汪俊泽王元易家祥韩涛江璞玉吴嘉蒙程远胜刘均

中国舰船研究 2021年4期

汪俊泽，王元，易家祥，韩涛，江璞玉，吴嘉蒙，程远胜，刘均*

1 华中科技大学船舶与海洋工程学院，武汉 430074

2 中国船舶及海洋工程设计研究院，上海 200011

0 引言

基于代理模型的优化方法[1]是指利用基于一系列样本点及其真实响应值建立的代理模型来替代耗时的仿真计算以指导优化过程，目的是降低实际耗时工程优化问题的计算成本。特别是当优化所需的目标或约束计算次数越多时，目标或约束计算将越耗时，那么基于代理模型的优化方法的优势也就越显著。常用的代理模型有多项式响应面（polynomial response surface，PRS）模型、径向基函数（radial basis function，RBF）模型、Kriging 模型及支持向量回归(support vector regression，SVR)模型等[2-5]。大多数船舶结构优化问题都可以归类为昂贵的约束优化问题，因此，代理模型辅助优化算法被较多地应用于船舶结构优化[6-8]。利用代理模型辅助优化算法求解时，需要针对约束函数和目标函数分别建立代理模型，由于代理模型存在误差，所以采用静态代理模型辅助优化算法时其优化解的最优性很难保证，可行性也存在误判的可能。

相比静态代理模型，序贯代理模型能够充分利用样本点的历史信息，逐次更新代理模型，提高重点区域的预测精度，可以高效、精确地收敛至全局最优解。当前存在多种序贯加点准则，如针对高效全局优化（efficient global optimization，EGO）[9]的基于Kriging 模型的概率提高（probability of improvement，PI）准则[10]、期望提高（expected improvement，EI）准则[10]、基于RBF 模型的崎岖度函数（bumpiness function）[11]。针对约束优化问题，有PaEI 准则、CEI 准则等[12-13]。此外，针对可靠性分析也存在一些专门的代理模型序贯更新准则，如期望可行性函数（expected feasibility function，EFF）[14]、U 学习函数（U learning function）[15]。与EI准则等不同，针对可靠性分析的序贯加点准则的目的是提高代理模型在临界状态附近的预测精度。

根据共同结构规范（common structural rules，CSR）[16]，船舶强框架结构需要满足的各类应力约束较多，对方案可行性判断的要求也比较复杂。本文将首先分析强框架结构优化设计的约束判断逻辑，进而提出基于序贯代理模型辅助遗传算法的强框架优化方法，用以在优化过程中逐步提高最优解的质量，同时提升约束代理模型在积极约束边界的精度，从而降低约束代理模型误差对于优化结果可行性错误判断的概率。然后，将所提出方法的优化结果与基于静态代理模型辅助遗传算法的强框架优化结果进行对比。

1 强框架结构优化数学模型

强框架结构如图1 所示。强框架轻量化设计的目标函数为强框架可变设计区域的结构质量，约束指规范要求的指定特征点应力值在45 个规定工况下都满足规范要求。考虑到代理模型预测精度和设计问题的规模，将强框架结构分成4 个子区域分别进行优化。4 个子区域分别为：左上部分高应力区域、左下部分高应力区域、中下部分高应力区域和中上部分高应力区域。在优化某子区域时，其他子区域的结构尺寸均取为定值，得到优化解后，再将各优化方案组合成一个完整的优化方案。如果完整优化方案不满足约束，则更新各子区域的结构尺寸，再进行一轮优化，如此反复迭代，直至得到可行的完整优化方案。由于子区域间的相互影响较小，所需的迭代次数也较少。

图1 强框架结构Fig. 1 Strong frame structure

4 个子区域的优化过程无明显区别，故本文以中下区域为例进行优化分析。选择对横梁趾端高应力区域影响较大的横向结构尺寸作为设计变量，对中下区域设计变量的定义如图2 所示。图中，椭圆框框出的为板缝线、边/端接缝符号以及分段线。一共定义了15 个设计变量，各设计变量的物理意义及其取值范围如表1 所示。强框架中下区域的优化数学模型为：

表1 强框架中下部分区域设计变量及其取值范围Table 1 Definition and ranges of design variables in the middle-lower part of strong frame

图2 强框架中下部分区域设计变量定义示意图Fig. 2 Schematic diagram of design variables definition in the middle-lower part of strong frame

强框架的有限元模型利用有限元软件Patran/Nastran 建立，并根据CSR，设定由11 种载荷模式和航行工况（顶浪、顺浪、斜浪）以及波浪工况（中拱、中垂）组合构成的45 种载荷工况来进行有限元仿真计算。

2 CSR 应力约束要求

CSR 对直接强度评估的要求较为复杂。许用应力与计算工况、评估区域以及网格大小有关。粗网格下，航行工况与港口工况的许用屈服应力系数不同，根据3 种钢级，有6 种许用应力；细网格下，根据靠近焊缝区与远离焊缝区、航行工况与港口工况的不同，以及3 种钢级，共有12 种许用应力。根据单元类型（Shell 单元、Beam 单元或Rod 单元）的不同，粗网格模型计算每个工况有6 个应力输出，细网格模型计算每个工况有9 个应力输出（不考虑靠近焊缝区域的少量梁单元的应力输出），所以一个方案在45 个工况下一共有675 个应力输出。

强框架方案可行性的判断逻辑如图3 所示。在一个优化子区域内，有3 类评估区域：第1 类只需满足粗网格评估要求，倘若最大应力值不满足相应的许用应力，则认为该方案不满足设计要求；第2 类属于规范要求的细化区域，需采用细网格有限元模型评估该区域内的应力是否满足细网格的许用应力，倘若不满足，则认为该方案不满足设计要求；第3 类属于规范要求的筛选区域，该区域内结构即使满足粗网格许用应力，也还需评估是否满足筛选衡准，倘若不满足，需进一步用细网格有限元评估该区域内的结构应力是否满足细网格的许用应力，若不满足，也认为该方案不满足设计要求。限于篇幅，本文未给出详细的约束评估要求，详情可查阅CSR。

图3 强框架方案可行性的判断逻辑Fig. 3 Judgement logic about infeasible scheme of strong frame

根据规范，本文强框架粗网格模型的网格大小取为800 mm×800 mm，细网格模型由粗网格模型局部细化得到，细化网格大小取为50 mm×50 mm。

3 基于序贯代理模型辅助遗传算法的强框架优化方法

3.1 基于序贯代理模型辅助遗传算法的强框架优化框架

基于序贯代理模型辅助遗传算法的强框架优化框架如图4 所示，各步骤的详细内容如下：

图4 基于序贯代理模型辅助遗传算法的强框架优化框架Fig. 4 Optimization framework of strong frame based on sequential surrogate assisted genetic algorithm

步骤1：利用拉丁超立方采样方法产生初始样本点，并计算样本点的响应值。

步骤2：利用样本点库中的样本点及其响应值构建静态Kriging 代理模型[17]，其中约束函数和目标函数需分别建立相应的代理模型。

步骤3：采用可行性准则处理约束条件，使用遗传算法对目标函数代理模型进行寻优，得到当前最优解。可行性准则的基本内容为[18]：当比较2 个可行解时，选择目标函数更好的解；当比较1 个可行解与1 个非可行解时，选择可行解；当比较2 个非可行解时，选择违反约束程度较低的解。

步骤4：将当前最优解用真实的有限元模型（包括细网格模型和粗网格模型）进行仿真计算，并将当前最优解加入样本点库，然后同时更新目标函数和约束函数代理模型。

步骤5：分别针对粗网格约束函数代理模型和细网格约束函数代理模型构建相应的EFF 函数，然后对其进行寻优，得到粗网格和细网格约束函数代理模型的EFF 最优点。

步骤6：分别计算对应EFF 最优点的粗网格模型和细网格模型真实有限元模型的响应值，然后同时更新相应的约束函数与目标函数代理模型。

步骤7：判断是否满足停止准则，若满足，进行步骤8，反之，返回步骤3，继续下一次迭代。其中，停止准则可设为最大EFF 更新次数。

步骤8：输出算法达到停止准则后的优化方案和强框架结构设计区域质量。

本优化框架对约束函数代理模型更新准则的选择无限制，若换用其他更新准则，如U 学习函数，本优化框架仍然适用。EFF 加点准则和U 学习函数均是较早提出且较为常见的针对可行性分析的序贯加点准则，两者并无绝对的优劣，其中EFF加点准则一般在序贯更新点数量较少时效果较好[15]，由于本文的强框架有限元模型单次计算较为耗时，考虑到计算成本，本文采用EFF 加点准则。

本优化框架的核心在于，在一次迭代中同时提高目标函数与约束函数代理模型的预测精度。其中，步骤4 是以目标函数代理模型为导向更新代理模型，旨在探索目标函数代理模型最小值的区域，加速算法朝质量最轻的方向进化。由于计算所得当前最优解的真实响应包含目标函数响应与约束函数响应，所以作为一种附加收益，也对约束函数代理模型进行了更新。步骤5 和步骤6是以约束函数代理模型为导向更新代理模型，旨在提高约束代理模型在约束边界的精度，避免在进化过程中对个体的可行性产生误判，提高对优化解可行性的评判精度。由于计算所得EFF 最优点的真实响应包含约束函数响应与目标函数响应，所以作为一种附加效益，也对目标函数进行了更新。综上在2 个角度方面的考虑，能够保证算法高效地找到满足约束条件的全局最优解。

在强框架直接强度评估要求中，根据网格大小的不同，强框架的应力衡准也不一样（见第2 节），并且设计方案的可行性判断遵循特定的可行性判断流程（图3）。在第2 节中已经分析，一个方案对应675 个应力输出，这也就是说一共需要建立675 个约束函数代理模型。因此，如果同时考虑675 个代理模型的精度，每次迭代都要对每个约束函数代理模型生成一个EFF 最优点进行序贯更新的话，那么很显然，每次迭代针对约束代理模型进行675 个更新点的细/粗网格有限元模型计算成本太高，会影响算法效率。进一步分析可知，并不是每一条约束在对设计方案进行评价时都会起积极作用。因此，如果能够先找到积极约束边界，然后序贯地拟合积极约束边界，将能减少大量的计算资源，从而提高算法效率。积极约束可以通过式(2)得到：

为了检验基于序贯代理模型辅助遗传算法强框架优化方法的优化效率，利用基于静态代理模型的优化方法作了对比。基于静态代理模型辅助遗传算法的强框架优化方法如图5 所示。首先，一次生成所有样本点并计算样本点响应，然后，分别建立目标函数和约束函数的代理模型。利用所得代理模型替代有限元仿真，再结合遗传算法求解得到优化解。若代理模型判断优化解为不可行，说明代理模型的精度不满足要求，需要采用有限元进行仿真验算，若优化解满足要求，则输出该优化解，否则，结束优化流程。若代理模型判断优化解为可行，采用有限元进行仿真验算，如满足约束，则输出该优化解，否则，加严约束，重新采用遗传算法进行求解，得到解后再进行同样的验算，如此重复多次，直至得到满足约束的优化解。其中，约束加严准则如式(3)所示：

图5 基于静态代理模型辅助遗传算法的强框架优化方法Fig. 5 Optimization method of strong frame based on static surrogate assisted genetic algorithm

3.2 EFF 加点准则基本原理

EFF 最初是在基于代理模型的可靠性分析领域提出。EFF 函数能够量化设计空间内任意一个样本点对于临界状态函数的期望可行性，以此来序贯地更新临界状态函数的代理模型，使其精度能够在临界状态线附近得到提高。这种思想与约束优化设计中可行性判断的思想不谋而合。在约束优化设计中，约束代理模型只要能够为设计方案提供准确的可行性判断即可。因此，本文借用EFF 函数来序贯地更新约束函数代理模型。EFF函数的数学表达式如式（4）所示，每次迭代，将以设计空间内最大化EFF 函数的坐标点作为序贯更新点，一般采用遗传算法或差分进化算法等进行求解。

4 优化结果分析

利用基于序贯代理模型辅助遗传算法的优化方法和基于静态代理模型辅助遗传算法的优化方法分别优化强框架中下区域，其中遗传算法均采用精英保留策略，种群数量为40，最大进化代数为100，代沟为0.9，交叉概率为0.7，变异概率为0.05。得到优化后的结果如表2 所示，优化后的设计变量取值如表3 所示。由于代理模型计算并不耗时，所以遗传算法的参数设置不太影响计算成本。在建立静态代理模型阶段和验算最优点时，一个方案必须能同时计算高精度响应和低精度响应，在利用EFF 准则更新约束代理模型时，也会同时产生一个高精度更新点和低精度更新点，所以高精度样本点数与低精度样本点数始终相等，表2 中的计算成本均以高/低精度样本点数表示。为了研究初始样本点数对序贯代理模型算法的影响，设置了30 和60 这2 个不同的初始样本点数，均迭代20 次，由于序贯代理模型一次迭代会更新2 个样本点，所以其计算成本分别为70，100 个样本点。为了对比算法性能，静态代理模型算法采用了70，100，150 这3 个不同的样本点数。

表2 强框架中下区域优化结果Table 2 Optimization results of the middle-lower part of strong frame

表3 强框架中下区域优化后设计变量取值Table 3 Optimized design variable values of the middle-lower part of strong frame

表2 最后2 行分别为粗网格模型和细网格模型的约束满足程度，即式（2）的值，该值小于0 表示满足约束，否则，表示违反约束。从中可以看出，静态代理模型算法在样本点数为70 或100 时均无法找到可行解，究其原因：对于建立15 个设计变量的静态代理模型而言，样本点数过少，会导致代理模型精度差而严重失真，从而误判设计空间内无可行域，此时约束加严措施会失效。而采用了150 个样本点的静态代理模型算法的优化效果也不是很理想，其相对于初始方案质量只下降了0.06%，质量下降很小。相比之下，序贯代理模型算法在相同计算成本下均能找到可行解，且优化方案的质量相比初始方案均能够下降约15%，说明了序贯代理模型算法的有效性。同时，初始样本点数为60 个的方案的优化结果稍优于初始样本点为30 个的方案，其质量能够进一步下降约0.013 2 t。150 个样本点的静态代理模型算法优化解的粗网格模型约束仍有18.74%的富裕，细网格模型约束仍有3.84%的富裕。而序贯代理模型算法优化解的粗网格模型约束仍有17.64%和12.54%的应力富裕，但其细网格模型约束的富裕度则只有0.85% 和0.60%，说明序贯代理模型算法已经收敛到了约束边界附近。

优化算法的收敛曲线如图6 所示，图中，红色与黑色实线分别对应初始样本点数分别为30 和60 的2 种序贯代理模型算法。从中可以看出，序贯代理模型算法在初始迭代时质量下降明显，且均在第5～6 次迭代时趋于收敛，最终的优化效果相当，这说明初始样本点数较少的方案更加高效，能够节省一部分计算资源。此外，为了检验本优化框架在不同序贯更新准则下的有效性，图6还给出了采用“60 样本点+20 次迭代”的U 学习函数下的序贯代理模型算法（即将本优化框架中的EFF 加点准则替换为U 学习函数）收敛曲线，对应图6 中的蓝色点划线，其优化后的设计区域质量为5.525 7 t，相比原始方案下降了14.85%，可以看出，其优化效果与EFF 加点准则下的序贯代理模型算法非常接近，反映了本优化框架的有效性。