一题多解 好题好“玩”

陆青

[原題再现]

例（2020·北京·石景山·期末试卷·第27题）如图1，在△ABC中，AC = 2AB = 6，BC = [33]，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.

（1）求BE的长;

（2）延长DE交AB的延长线于点F，连接CF. 若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出CM + MN的最小值为 .

[思路分析]

问题（1）的解题思路可分为如下四步：

①观察猜想并证明△ABC是直角三角形（证明过程略）.

②在Rt△ABC中，AC = 2AB，连接BD，如图2，

可证得△ABD为等边三角形，易证∠C = 30°.

③由线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等相关知识可证BE = DE.

方法1：应用三角形全等

如图3，连接AE，

∵DE垂直平分AC，∴AD = CD = 3，

∴AB = AD，∠ABE = ∠ADE = 90°.

在Rt△ABE和Rt△ADE中，[AB=AD]，[AE=AE]，

∴△ABE ≌ △ADE（HL），∴BE = DE.

方法2：应用角平分线性质

如图4，连接AE，

∵DE垂直平分AC，∴AD = DC = 3，∵AC = 2AB = 6，∴AB = AD = 3.

∵AD⊥ED，AB⊥EB，∴∠1 = ∠2，

∴90° - ∠1 = 90° - ∠2，即∠3 = ∠4，∴BE = DE.

方法3：应用等角对等边

如图2，由上可知△ABD为等边三角形，且∠C = 30°，

∴∠CBD = 90° - ∠ABD = 30°，∠CED = 90° - ∠C = 60°，

∴∠BDE = 30°， ∴∠BDE = ∠CBD，∴BE = DE.

④结合勾股定理、30°角、面积法、列方程等相关知识和方法求解BE的长.

方法1：由勾股定理列方程

如图3，已证得BE = DE，设BE为x， 则DE = x，EC = [33-x].

在Rt△CED中，[32+x2=（33-x）2]，解得[x=3]，∴BE的长为[3].

（注：也可在Rt△ABE中，由勾股定理列方程，请同学们尝试求解.）

反思：在直角三角形中，有关求边长的问题，常常可以通过勾股定理建立等量关系，再解方程，即可求出相应的边长.

方法2：应用面积法

如图3，已证得BE = DE.设BE为x，则DE = x.

∵[S△ABE+S△AEC=S△ABC]，∴[3x2+6x2=12×3×33]，解得[x=3]. ∴BE的长为[3].

（注：也可由[S△AEC=] [12CE·AB=12AC·DE]求解，请同学们尝试.）

反思：在三角形中，如果出现垂直或高这样的条件，“面积法”是一个值得考虑的方法.

方法3：应用“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”

如图2，已证得∠C = 30°，BE = DE.设BE为x，则 EC = [33-x].

在Rt△CED中，∠C = 30°，∴DE = [12]CE，

∴[x=12（33-x）]，解得[x=3].∴BE的长为[3].

（注：如图5，可证得△ABE ≌ △ADE ≌ △CDE，则∠BAE = ∠DAE = ∠C = 90° [× 13] = 30°，在Rt△ABE中，设BE为x，根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可知AE = 2x，由勾股定理列方程即可求解.）

方法4：应用等边三角形的性质

如图6，已证∠C = 30°，BE = DE，作DF = DE.

又∵∠CBD = 30°，∠CED = 60°，∴∠CBD = ∠BDE = ∠FDC = ∠C，

∴△BED为等腰三角形，△DEF为等边三角形，△CFD为等腰三角形.

∴BE = EF = FC.∴BE = [13]BC = [3].

反思：借助“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”列方程，解方程可求边长.

方法5：应用等边三角形重心的性质

如图7，易证∠BAC = 60°.延长AB到F，使BF = AB，连接CF.

∵AC = 2AB，∴AF = AC，∴△ACF为等边三角形. 已证AD = DC，∴FD⊥AC，

∵ED⊥AC，∴F，E，D三点共线.

∵FD，CB分别为△ACF的中线，∴点E为等边三角形ACF的重心，

∴BE = [13]BC = [3].

反思：利用图形的特殊性，构造等边三角形，借助三角形重心的性质，即可求解.

方法6：平面直角坐标系的应用

如图8，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则点A（0，3），点C（3[3]，0），点D [332，32]，

设直线AC的函数表达式为[y=kx+b]，

则 [3=b，0=33k+b，]解得[k=-33，b=3，]∴[y=-33x+3].

设直线DE的函数表达式为[y=nx+m]，

∵直线DE垂直于直线AC，∴[n=3].

∴[32=3×332+m]，解得[m=-3]，∴[y=3x-3].

当[y=0]时，[x=3].∴点E（[3]，0），∴BE =[ 3].

反思：将图形放在平面直角坐标系中，赋予它新的生命——图象，通过图象之间的位置关系，确定函数表达式，从而解决问题.

问题（2）的解题思路如下：

根据题意补全图形（如图9），这是“将军饮马”模型，是双动点问题.

因为DF垂直平分AC，所以FC，FA关于直线FD对称. 如图10，在AF上可找到点N关于直线FD的对称点N'. 根据“两点之间线段最短”，C，M，N'必须在同一直线上. 由“垂线段最短”可知，当CN'⊥AF时，CN'最短. 此时，CN' = CB = [33]，因此CM + MN的最小值为[33].

[A][B][F][E][N][C][D][（M）][（N'）] [A][B][F][E][N][C][D][M][图10][图9]

[反思感悟]

本考题背景不算复杂，解决问题的入口很多，同学们用自己熟悉或擅长的三角形的某一方面知识，都能解得结果. 如：全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，角平分线上一点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，等等.

解数学题不能只满足于求出答案，还要会“玩”. 一个问题居然有如此多种解法，解了这一道题，竟复习了全章，通了一片，会了一类. 由不同的切入点能找出不同的方法，如此“玩”题，你会发现做数学题真的很有趣，慢慢地，你会越来越自信，解题容易了，能力提升了，成绩就会越来越好.

（作者单位：南京师范大学附属中学江宁分校）