基于气隙磁场的异步电机“全矢量”分析法

王君艳

(1. 上海交通大学 电力传输与功率变换控制教育部重点实验室，2. 上海交通大学 电气工程系， 上海 200240)

0 引言

目前在“电机控制技术”教学中，讲到矢量控制时，都是用很多数学推导来简化交流异步电机动态数学模型，在推导过程中有大量矢量在不同直角坐标系下的分量参与复杂运算，使学生很难把握关键点。在确定控制方案时，理论推导依然很复杂，不同方案推导关联性不强，使学生进一步研究无从下手。再者，这种矢量控制原理推导与先修课程“电机学”中讲的电机内部磁场分布缺乏关联性，导致学生学习时感到迷茫。

本文以异步电机气隙磁场为核心，根据矢量运算规律，得出三组“全矢量”形式的异步电机动态模型。“全矢量”是指：在模型推导过程中不出现电机的物理量在不同直角坐标系下的分量，物理量以完整矢量形式表达。根据这三组全矢量形式的动态模型特点，从供电侧和控制端出发简单而直接地得出四种异步电机控制策略。该方法沿袭了“电机学”教学中的电机内磁场分类及分布规律的内容[3][5]，且应用了先修课程“电磁场”的磁阻、虚位移等原理分析了电机的气隙磁场和电磁转矩[2][4]。“全矢量”表达形式的动态模型具有普遍性，更易确定电机的控制方案，便于学生进一步深入研究；此方法易推广到其他电机的矢量控制，使电机控制的教学更加系统化。

1 “全矢量”形式的异步电机磁链模型

Fcosθ+Fcos(2π/3-θ)+Fcos(4π/3-θ)=1.5。下面用此规律推导“全矢量”形式的磁链模型。

图1 平面内互差2π/3的单位矢量

图2 异步电机定、转子的单位矢量

异步电机合成磁势：

(1)

其中：NS为定子每相匝数，Nr为转子每相匝数。以方向为正轴线的假想线圈DH如图3虚线所示，DH线圈电流方向和线圈正轴线方向遵守右手螺旋规则。假设线圈DH匝数为NS，则线圈DH中电流ID为Fm/NS,矢量。线圈DH中电流ID在气隙中产生的空间基波磁场就是电机内定、转子线圈在气隙中共同产生的空间基波磁场。

与DH线圈交链的气隙磁场形成磁路，此磁路由定子铁芯、定转子间的气隙、转子铁芯形成闭合回路，磁阻记为Rm。

根据磁路的原理[2][4]，气隙中空间基波磁场在DH线圈中产生的磁通为：

(2)

其中：k1为空间基波磁通系数，小于1，为常数[3][5]。

图3 虚拟线圈DH

(3)

同理可得，气隙中空间基波磁场在转子中的磁链矢量:

(4)

考虑式(1)，并令：Lm=1.5NSNrk1/Rm；Lms=1.5NS2k1/Rm;Lmr=1.5Nr2k1/Rm,则式(3)、(4)变为：

(5)

(6)

(7)

(8)

2 “全矢量”形式的异步电机电压模型及简化方案

2.1 “全矢量”形式的定子电压模型

定子A、B、C三相电压方程分别为：

uA、uB、uC分别为定子A、B、C相电压，RS为定子每相内阻，P为微分算子d/dt。它们分别可写为：

(9)

根据矢量运算规律2:

(10)

(11)

2.2 “全矢量”形式的转子电压模型

转子a、b、c三相电压方程分别为：

ua、ub、uc分别为转子a、b、c相电压，Rr为转子每相内阻，P为微分算子d/dt。它们分别可写为：

将这三个式子的等号左右两边内容分别相加，得：

(12)

(13)

(14)

(15)

此式左端用式(13)替换，经整理得：

(16)

将式(16)代入式(12)得“全矢量”形式的转子电压模型：

(17)

2.3 简化方案

分两种情况讨论“全矢量”形式电压模型的简化：

(18)

uSm、ISm分别为定子电压矢量和定子电流矢量在m轴上的分量。该式仅涉及定子磁链矢量幅值的变化。

(19)

urm、Irm分别为转子电压矢量和转子电流矢量在m轴上的分量。该式仅涉及转子磁链矢量幅值的变化。

3 “全矢量”形式的电磁转矩模型及实用形式

3.1 “全矢量”形式的电磁转矩模型

电机是通过气隙磁场传递能量的，电磁转矩与这部分磁场有关[3][5]。

前面已说明图3中虚拟线圈DH在气隙中产生的空间基波磁场就是电机内气隙中定、转子线圈共同产生的空间基波磁场。线圈DH在气隙中产生的空间基波磁场的储能Wm[2][4]：

(20)

式中：ΨmD为气隙中空间基波磁场在线圈DH中产生的磁链。

由式(2)可得：

所以：

(21)

由式(1)，又因矢量模的平方等于对该矢量本身的点乘运算，即：

(22)

应用虚位移法[2][4]求电磁转矩，电磁转矩为：

(23)

(24)

再考虑到前面已令Lm=1.5NSNrk1/Rm，对式(24)整理，有：

(25)

(26)

3.2 拓展形式

(27)

(28)

(29)

电磁转矩6种表达形式中,其中4种在下面叙述的控制中可以实现，即式(26)至式(29)。

4 以供电侧和控制端为出发点获得控制方案

4.1 定子侧供电，从定子端控制

工频电源经过变频器连接异步电机定子，通过控制变频器，改变电机定子电压矢量或电流矢量进行控制。

(30)

再由式(8)的m轴方向关系：

(31)

联立(30)、(31)，消去Irm，可得：

(32)

4.2 定、转子双侧供电，从转子端控制(双馈调速系统)

双馈调速系统的定子端输入工频电压，转子端通过变频器连接工频电源，通过控制变频器，改变电机转子电流矢量进行控制。

(33)

(34)

5 结语

本文应用矢量分析方法得出“全矢量”形式异步电机的三大动态模型，又根据模型特点，以供电侧和控制端为出发点获得了控制方案。动态模型采用的是“全矢量”形式，而不是分量形式，使得控制方案引出更直接、全面，便于学生理解。在模型推导过程中强调气隙磁场在定、转子能量交换中的作用，使学生更清晰掌握电机内部物理过程，便于推广到其他类型电机的分析。