一种简单并联记忆元件混沌系统的研究

李晓霞,王雪,冯志新,张启宇,徐桂芝

(1河北工业大学省部共建电工装备可靠性与智能化国家重点实验室,天津 300130;2河北工业大学河北省电磁场与电器可靠性重点实验室,天津 300130)

0 引言

在电阻、电感、电容相继被人们熟知并应用之后,忆阻器作为第四种基本电路元件引起了人们的极大关注,其自然赋予的非线性[1]特征,使得它可以代替众多电路器件来构造非线性函数,且其紧磁滞伏安回线,在电路中易引起振荡与混沌,这一点十分有利于混沌电路的搭建与实际应用。在Chua[2]首次预测忆阻器之后的30年内,这一元件并无太大发展,直到2008年惠普实验室[3]成功制作出实物后,Chua的团队[4]再次将记忆元件的概念推广到忆感器与忆容器,Yin等[5]在此基础上进一步进行了物理分析并给出了数学表达式。与忆阻器类似的是,忆感器与忆容器同样具有非线性,是具有记忆特性的元件;与忆阻器有本质上不同的是,忆感器与忆容器均为储能性元件,并且两种记忆元件的实物模型至今未被制作出。这三种记忆元件被广泛应用于各个领域,比如混沌系统[6-8]、神经网络[9-11]、电路搭建[12,13]、神经元与突触[14,15]、图像加密解密[16,17]等。对于混沌的范畴来说,单种记忆元件及其多种形式的引入是常见的,比如Ou等[1]将忆阻器引入了MCK混沌四阶电路中,构造了一个五阶对称混沌电路并进行了一系列动力学分析,得到了丰富的动力学行为;Wu等[18]将磁通控制忆感器引入混沌,分析并发现该系统具有共存吸引子并在一定条件下出现隐藏吸引子。两种记忆元件应用于混沌系统也是可见的,如Yuan等[19]将忆感器和有源忆阻器引入混沌,并对初始条件的振幅、频率、参数等进行了升压分析,表明该系统同时具有极度的多稳定性。但据了解,三种记忆元件同时引入混沌的情况几乎没有,虽然目前关于忆感器与忆容器的实物还未制作出,但提前构建等效模型并应用于混沌系统是非常必要的,以上仿真表明含多个或多种记忆元件的振荡电路会产生复杂的混沌现象及丰富的拓扑结构,故三种记忆元件均存在的混沌系统会产生更加庞杂的特性。因此,本文将设计的三种记忆元件引入混沌系统的研究是有重要意义的,这不仅可以推动混沌理论的发展,还将拓宽记忆元件在非线性领域的应用。

利用简单模型构造复杂的网络,这是目前混沌学研究的热点,例如图像压缩中将数量众多的像素点进行相对简单的保存、神经网络中神经元的构建、保密通讯中数量众多的通讯信息保存等都需要用简单来映射复杂,研究利用简单模型反应复杂多样的信息,不仅节省空间材料,更节省人力。目前简单模型的构建包括Ivo[20]构建的包括电感、电容和忆阻器在内的串并联电路,将忆阻器引入了分数阶蔡氏电路,并介绍了其仿真与稳定性分析方法,结果表明利用分数阶微分方程使得方程总阶数小于原方程,但仍能得到混沌,为混沌及超混沌的分析扩展了思路;Xu[21]设计的包括电感、电容和忆阻器在内的最简并联电路将压控忆阻器引入混沌系统,分析得到该系统仅包含一个平衡点,并且该忆阻器在参数变化时伏安特性会变为“带尾巴的扇形”。Xu等[22]设计了包括电阻、电容和忆感器在内的最简并联电路并进行了动力学分析,观察到其共存吸引子与瞬态混沌现象。Xu等[23]设计了包括忆阻器、忆感器和电容在内的最简并联电路并发现了众多特性,包括平衡点稳定性、共存吸引子、暂态混沌与暂态周期。本文沿用了Xu的思想,首先提出了压控忆阻器、磁通控制忆感器、荷控忆容器的通用模型,构建了包括忆阻器、忆容器与忆感器在内的简单并联电路,接着得到了一个五阶超混沌系统,仿真结果证明含三种记忆元件在内的混沌电路可以振荡出更加不同以往的复杂吸引子并具有更多样的动力学行为,该吸引子不同于常见的涡卷状及不对称性,而呈现类似“核桃”状,并且具有一定对称性,更加庞杂,立体新颖,并且其中某一参数对称性变化时系统状态也会相应对称变化,而初始值的变化在混沌状态下对系统并无影响,这是通向混沌道路过程中的一个新发现,为混沌更易控制打下了基础。

1 简单并联记忆元件混沌系统

1.1 忆阻器、忆感器、忆容器的选取

与忆阻器类似,忆感器与忆容器的通用数学模型[24]均可表示为

式中:y(t)与u(t)表示网络的输出与输入,是电路变量(电流、电压、电荷及磁通);g是一个广义响应函数;x是一个表征内部状态变量的n维矢量;f是一个用来表示˙x(t)的连续的n维向量函数。

所采用的通用数学模型分别为:

图1 忆阻器的电压-电流特性Fig.1 The voltage-current characteristic of the memristor

图2 忆感器的磁通-电流特性Fig.2 The flux-current characteristic of the meminductor

由公式qC=CvC,选取vC=cos(20πt)、aC=20,bC=0.02,CC=5000,dC=0.001时得到的qC-vC曲线如图3所示。

图3 忆容器的电荷-电压特性Fig.3 The charge-voltage characteristic of the memcapacitor

1.2 简单并联记忆元件混沌系统的建立

由上述记忆元件,建立了如图4所示的简单并联记忆元件混沌系统,仅由忆阻器、忆感器和忆容器组成。选取qC、xM、φL、xL、xC为状态变量,根据电压电流关系与基尔霍夫定律,可得电路状态方程

图4 混沌振荡电路Fig.4 Chaotic oscillation circuit

式中:iM=(aMx2M-bM)vM+cM,iL=(aLxL+bL)φL,vC=(aCxC+bC)qC且 vM=vC。

对(9)式中五阶混沌电路各电路变量和参数进行无量纲化处理,令x=qC,y=RxM,z=φL,w=RxL,u=RxC,τ=t/RC,a=aCaMC/R2,b=aMbC/R,c=aCbMC,d=aLc,e=bCbMRC,f=bLRC,g=cMRC,h=aC2dMC/R,i=2aCbCdMC,j=bC2RC,k=eMRC,l=fMR2C,m=aCC,n=bCRC,o=cLRC,p=dLR2C,q=CCR2C,r=dCR2C,则方程(9)可以改写为

选取参数如表1所示,初始值为(0.1,0.4,0.1,0.1,0.1),得吸引子如图5所示,计算Lyapunov指数为LE1=0.774,LE2=0.190,LE3=-0.001,LE4=-0.379,LE5=-0.983,其中LE1和LE2大于0,说明吸引子的轨道是按照指数倍进行分离的,为超混沌;LE3约等于0,说明在时间方向上的吸引子,既无拉伸也无压缩;LE4和LE5为负数,说明吸引子的相体积为收缩,这样保证了系统的稳定性。系统的时域图如图6所示,显示为貌似随机,且为非周期状态。在y=0.5截面做庞加莱映射得图7,观察到图形为成片的密集点。系统功率谱如图8所示,为无明显波峰的宽峰连续谱。这些均更进一步证明了系统的混沌特性。

表1 Matlab仿真中的系统参数Table 1 System parameters for Matlab simulation

图5 (a)x-y平面;(b)x-z平面;(c)混沌吸引子Fig.5 (a)x-y plane;(b)x-z plane;(c)Chaotic attractor

图6 (a)x,(b)y,(c)z的时域图Fig.6 Time domain waveform of(a)x,(b)y,(c)z

图7 y=0.5时的Poincare截面Fig.7 Poincare section when y=0.5

图8 系统(10)的功率谱Fig.8 Power spectrum of system(10)

2 动力学分析

2.1 平衡点的稳定性

求得其特征值为 λ1=0.164、λ2=-0.082+0.143j、λ3=-0.082-0.143j、λ4=-0.299、λ5=-16,其中λ1是正实根,λ2、λ3是一对具有负实部的共轭复根,λ4、λ5是负实根,故该平衡点为不稳定的鞍焦点。

2.2 参数对系统的影响

系统平衡点的稳定性会随着系统参数的变化而变化,当选取初始值为(0.1,0.4,0.1,0.1,0.1),除l外固定其余参数,如表1所示。当l在区间(-2,0)变化时,得到分岔图如图9所示,观察到系统从l=-2时的周期状态出发,在l=-1.14时出现倍周期分岔进入拟周期状态,接着l到达-0.85时进入混沌状态,当l到达-0.30时系统再次进入拟周期和周期状态,最后l到达-0.16时系统退出拟周期和周期状态,进入混沌和超混沌状态;当l在区间(0,2)时,发现与区间(-2,0)时呈对称状态,系统从混沌与超混度状态出发,当l增至0.16时系统进入拟周期和周期状态,接着当l到达0.30时系统再次进入混沌状态,l到达0.85时进入倍周期分岔状态,l=1.14时进入周期状态。l在区间(0,2)内的Lyapunov指数谱如图10所示,与图9对比发现变化基本一致,进一步证明上述关于参数l的分析正确。据了解,这是首次对于能使系统呈现对称性变化的参数进行的分析,可将此种参数命名为对称参数。

图9 随l变化的分岔图Fig.9 Bifurcation diagram with l

图10 随l变化的Lyapunov指数Fig.10 Lyapunov exponents with l

2.3 初始值对系统的影响

据了解,初始值对于由磁控忆阻器构成的网络[25]有影响,但对于压控忆阻构成的网络[21]却无影响。为了解初始值是否对于三种记忆元件构成的网络存在影响,将固定参数如表1所示。当y等于0时,无论其余初始值如何变化,系统均发散。除此之外,其余初始值状态下,取不同初始值如表2所示,Lyapunov指数均一致,系统均为超混沌状态,说明本系统在能发生混沌振荡的情况下,初始值不影响系统状态。

表2 不同初始值下的系统状态Table 2 System states with different initial value

Continued

3 电路实现

为了避免数值仿真中的一系列混沌退化效应,利用Multisim设计了相应电路,并进行验证。建立的系统电路如图11所示。利用改进型模块化设计方法,最大程度节省了元器件的使用与工作量,改进型模块化的设计方法是在模块化设计方法的基础上,省去了微分-积分的环节,主要包括变量比例压缩变换和时间尺度变换,其中变量比例压缩变换根据相图是否超过一定范围来决定是否压缩(如选用VCC=12 V,VEE=-12 V,则相图范围超过10.6,即需要压缩);时间尺度因子需要根据不同的状态方程与实际情况来选择,时间尺度因子越大,则在时间域内的变化速度越快,图像越密集,相反,尺度因子越小,则变化速度越慢,图像越稀疏。图中采用运算放大器U1、U2(LM741)、乘法器、线性电容、线性电阻等元器件构建电路。运算放大器与电容组合实现了反向积分功能,运算放大器与电阻组合实现了反相器功能,乘法器用来实现电路中的非线性项。其中反相器电路中各电阻Ri(i=8,9,14,15,18,19,22,23,26,27)=10 kΩ,Ci(i=1,2,3,4)=100 nF,选取VEE,VCC=±12 V,故运放的线性工作范围为±10.6 V,不需作变量比例压缩变换,时间尺度因子τo=100。如图11所示,系统(10)的电路方程为

图11 系统(10)的电路Fig.11 Circuit of system(10)

经过改进型模块化设计方法后的标准化方程为

得到各元件参数为R1=7.4 mΩ,R2=333.33 kΩ,R3=22.22 mΩ,R4=10 mΩ,R5=100 kΩ,R6=100 kΩ,R7=1 mΩ,V1=0.1 V,R10=1.65 mΩ,R11=37.04 kΩ,R12=3.33 kΩ,R13=6.25 kΩ,R16=2.22 mΩ,R17=10 kΩ,R20=333.33 kΩ,R21=1 mΩ,V2=-0.01 V,R24=333.33 kΩ,R25=1 mΩ,V3=-0.01 V.电路实现结果如图12、图13所示,其结果与图5、图6一致,故本系统具有切实可行性。

图12 模拟电路中观察到的吸引子Fig.12 Attractors observed in analog circuit

图13 模拟电路中的(a)x,(b)z时域图Fig.13 Time domain waveform of(a)x,(b)z observed in analog circuit

4 结论

提出了一种包含忆阻器、忆感器、忆容器在内的五阶混沌系统,对系统进行数值仿真得到一个类似“核桃”的吸引子,经过时域图、Lyapunov指数分析、庞加莱截面和功率谱等分析证实本系统为混沌系统,具有良好的混沌特性;经过动力学分析发现对称性参数l的存在及系统对初始值的不敏感性;最后进行电路实现,图像与相图吻合良好。说明了本系统设计引入的三种元件确为记忆元件,达到了记忆元件应得的典型效果,为今后忆阻器、忆感器和忆容器的实物模型制作奠定了基础,其中忆感器与忆容器虽为记忆元件,但与忆阻器的本质区别是它们为储能元件,从物理角度来看,电容器,电感线圈都包含了场能量,对于磁控的忆阻器也包含了场能量,能量变化这一问题十分重要且能突出记忆元件的特性,因此基于三种记忆元件的场能量演化问题将是下一步的研究目标。说明了本系统在众多应用领域,如保密通讯、图像压缩、电子测量等方面具有潜在应用价值,下一步将对该系统进行混沌控制方面的研究,并对串并联等复杂电路可振荡出的记忆元件混沌系统进行研究。