基于VFIFE法的剪式铰结构建模研究①

杨玉龙，刘宇飞，李 萌，季京宣

(1.浙江大学 杭州 310058；2.中国空间技术研究院 钱学森空间技术实验室，北京 100094)

0 引言

剪式铰结构是一种应用广泛的展开结构，由多个剪式铰单元组成。剪式铰结构最早由学者Pinero提出[1]，目前得到广泛的研究和应用[2-9]。杆系结构展开过程的运动学和动力学计算分析，通常采用多体动力学[10-12]。可展杆系结构建模时，对于杆件模型，可以分为刚性杆和柔性杆。通常刚性杆比较简单，柔性杆相对复杂。

向量式有限元法(VFIFE，Vector form intrinsic finite element)是一种新型的数值算法[13-14]。其建模方法是将结构划分为节点，节点间通过单元连接。结合有限元理论，建立单元模型。利用牛顿第二运动定律，建立整个结构的节点方程组。该方程组不包含刚度矩阵，所以在解决大变形及非连续问题有一定优势。在静力学领域，向量式有限元法已取得了一定的研究结果。在动力学方面，Yang拓展了建模方法[15]，提出了间隙铰的建模方法，同时进行了间隙结构的特性研究。Wu进行了连杆滑块结构的运动分析[16]。

用VFIFE来研究分析可展杆系结构，首先需要解决的就是建模问题，本文重点论述了杆件的建模方法，并对两种建模方法的计算结果进行比较讨论。

1 VFIFE基本计算过程

可展杆系结构的VFIFE算法，是将结构分解成节点和单元，利用牛顿第二定律，建立中值差分公式，进行迭代计算tn时刻各个节点的位置。利用单元计算各节点在运动过程中的内力，结合体系所受外力，计算各节点tn+1时刻的位置。重复迭代计算，直至运动结束，文献[15]对基本计算过程，进行了较为详细的描述。

图1 杆件单元划分

图2 时间历程划分

各节点位置计算公式为：

(1)

各节点速度计算公式为：

(2)

其中，F为结构节点所受外力，f结构节点所受内力，m为节点质量。

对于不同结构及其不同单元，节点所受内力是计算的关键。

2 剪式铰柔性杆模型节点内力计算

剪式铰柔性杆建模，主要方法是将一根结构杆件，划分为多个梁单元。梁单元两端的节点上，承受力和弯矩，存在平动位移和转角。针对一个剪式铰单元，为说明和显示方便，在销轴附近，各自划分单元c、d和k、l。销轴(Joint,用J表示)和销孔(Bearing，用B表示)的受力主要是：外力F，内力fp，以及各自单元的节点力fe(如图3)：

图3 剪式铰受力分析

销轴和销孔的运动方程为：

(3)

因为：

(4)

故：

mJ(fekb+felb)-mBF]

(5)

3 剪式铰刚性杆模型节点内力计算

刚性杆是一种力学意义上的杆，是理想化的一种杆件，在运动过程，杆件轴线始终保持直线。针对刚性杆建模，提出强制几何约束，即一根结构杆件，仅考虑单元头尾两个节点位置，两个节点间所有几何点的坐标，按直线插值考虑。对于杆件中间出现的销轴和销孔位置，通过直线插值进行计算。与柔性杆的差异在于，不考虑杆件横向变形，并且仅考虑杆件轴力。

对于图3所示的剪式铰，假设运动过程中，杆件销轴和销孔的轴线出现偏差，这些位移差，会在销轴和销孔的节点上产生力，通过二者受力协调，从而保证两根杆件运动的协调。

图4 理想节点位移差图

对于一个剪式铰单元，假设剪式铰的销轴上存在力P，分别作用在杆1和杆2上，二者方向相反，大小相等，如图5所示，分别垂直于杆方向的分力为F1和F2，

图5 剪式铰受力分析

(6)

按拟静力学法，假设各杆为简支梁，在垂直于梁轴线方向力的作用下，会产生挠度Δf1和Δf2，则有：

(7)

(8)

式中，a和c为作用力距计算节点距离，l为杆长，E为材料弹性模量，I为截面惯性矩。

剪式铰轴处两根杆位移为e，则有：

e=Δ1+Δ2

(9)

根据以上各式，推导可得：

(10)

(11)

(12)

如果杆1与杆2几何参数完全一样，并且铰在杆中间时，则有：

(13)

对于剪式铰中的每一个杆件，杆两端节点力，可以根据F1和F2和几何关系获得。

4 计算与讨论

4.1 计算模型

对于一剪式铰杆系模型，结构基本情况如图6，图中单位为m。节点O固定，在节点A和B施加水平力50 N。展开过程中忽略摩擦力和重力，如果相邻节点间水平距离小于0.1 m，计算停止。

图6 剪式铰模型

4.2 结果讨论

根据以上提出的建模方法，编制程序进行计算。柔性杆模型和刚性杆模型展开过程图见图7和图8。从图中可以看出，柔性杆模型中，在销轴位置存在节点，刚性杆模型中，在销轴位置没有节点。从展开过程可以看出，柔性杆和刚性杆模型均能顺利展开，并且展开过程正常。

图7 柔性杆模型模拟展开过程

图8 刚性杆模型模拟展开过程

从图9结果可以看出，当满足展开条件时，柔性杆模型节点A位置为0.53253 m，刚性杆模型节点A位置为0.52613 m处，节点A横向坐标差为0.0064 m，为二者模型坐标位置均值的1.21%。两个模型均未达到理想位置，误差一方面来自于迭代步长，一方面来自于迭代误差。

图9 节点A展开过程横向坐标位置对比

从图10结果可以看出，当满足展开条件时，节点A横向速度差为0.0085 m/s，为二者速度均值的2.21%。图中可以看出，柔性杆模型节点A的横向速度略小于刚性杆模型的速度。但柔性杆模型展开时间却小于刚性杆模型，主要原因是柔性杆模型中，节点A所在杆件，直接受力，杆件有一定的横向弯曲，使得节点间的水平距离较早达到控制值0.1 m，计算停止，说明刚柔模型，对结构展开过程中位置精度有影响。

图10 节点A展开过程横向速度对比

柔性杆和刚性杆模型，计算结果存在差异，一部分原因是杆件刚柔存在差异，另外一部分原因来自于计算方法误差，这一部分需要后续研究中予以重视。二者的合理性，主要取决于模型分析的需要，考虑结构是以刚体运动为主，还是考虑杆件变形后的结构整体构型为主。

5 结论

基于向量式有限元法，本文提出了剪式铰刚性杆模型及其内力计算方法，同时推导了剪式铰柔性杆模型及其内力计算方法。两种方法均能顺利模拟展开过程。两种模型的模拟计算结果在展开位置精度、展开时间和展开速度存在微小误差。基于VFIFE法的展开过程的计算精度，在后续研究中需要重点关注。