在相对运动中选取合适的方法与规律优化解题思路——以一道模拟考题的多种解法为例

湖北 邓 艾 杜 俊

本文从一道拟模考题出发，阐述了在相对运动问题中，取不同参考系时不同的解题过程的方法；求碰撞问题中的速度时，可以以运动的物体为参考系来简化问题求解，也可以取系统进行受力分析寻找动量守恒以及能量关系的方程进行求解，极大地简化问题的处理。据此进一步分析传送带模型中求电机多做功时的两种方法。

湖北2021届考生是新高考改革第一届，按照教育部考试中心发布的高考评价体系说明，核心价值在“四层”考查内容中居于首要地位，对学科素养、关键能力、必备知识具有引领作用。在考查要求上强调基础性、综合性、应用性与创新性。在物理考试的命题特点上，突出对物理主干知识的考查，以不同的情境设置作为载体对学生思维能力和学科素养的考查显得更加频繁。

按照现阶段湖北新高考官方消息，物理作为原始分科目虽然总分值没有太大变化，但是考试的时长由原来的90分钟缩短至75分钟，试题结构上基本确定计算题由原来的4道减为3道。考试过程中在解题时选取合适的方法能极大地简化问题，节约解题时间。此外对某类赋予新情境的题目若能识别出真正的原型，并迅速确定相应的解题方法，这在复习备考阶段尤其重要。下面以湖北省12月底组织的一次大型模拟考试中物理试卷的15题为例，对三种解题方法分别加以阐述，在此基础上对这一类问题进行相关的总结。

【原题】如图1所示，光滑水平地面上放置着滑块A、B(均可视为质点)，其质量分别为mA=1 kg，mB=4 kg，t=0时，B以初速度v0=10 m/s向右运动，并对A、B施加大小相等、方向相反的恒力F，且F=8 N。其v-t图像如图2所示，t=2.5 s时A、B发生弹性碰撞(作用时间极短)，求：

图1

图2

(1)t=0时，A、B之间的距离x0；

(2)碰撞后，A的速度减为零时，A、B之间的距离Δx。

【分析】考查目的：以A、B两个滑块的相对运动为背景，设置生活实践情境，考查牛顿第二定律、匀变速直线运动基本公式、相遇问题、弹性碰撞能量关系以及速度大小的定量计算等必备知识，考查相对运动中几何位置关系的分析、运动与碰撞问题的关联整合、对碰撞中能量关系的运用，体现了对运动观、相互作用观、能量观等物理观念的考查。

解析一

方法1：由牛顿第二定律可知aA=8 m/s2，aB=2 m/s2

由几何关系分析可知x0=xA-xB

代入数据解得x0=6.25 m。

方法2：以A为参考系，B的初速度为10 m/s，方向向右；B的加速度为10 m/s2，方向向左。任意时刻B相对A的位移为x=10t-5t2

将t=2.5 s代入可知B相对A的位移为-6.25 m，其中负号代表B相对A位移的方向向左

因而x0=6.25 m。

启示：方法1是比较常规的解题思路，分别计算A、B碰撞前对地位移再建立空间几何方程。方法2是以运动的物体为参考系，分析相对初速度、相对加速度，求解相对位移。这种解题方法在高中物理中板块模型相对运动，计算摩擦力做功产生的内能时经常用到，而且非常方便。只是部分学生不习惯建立这种非惯性参考系分析物理问题。

解析二

方法1：由(1)可知碰撞前vA=20 m/s，vB=5 m/s

由弹性碰撞可知

根据位移公式有

代入解得Δx=6.25 m

图3

本题中的难点在于：如何解决两个都在运动的物体发生弹性碰撞后速度求解的问题，我们仍然取正在运动的B物体为参考系，则A以(vA-vB)的速度撞击静止状态的B物体，此时碰撞后A、B速度仍然满足上述速度公式，即

则以地面为参考系有

同理以地面为参考系有

代入数据可以得出碰撞后vA″=-4 m/s，vB″=11 m/s

启示：方法2比方法1在计算碰撞速度的策略上更胜一筹，相比于解比较复杂的一元二次方程组，方法2可以节省大量时间，当然前提是学生对碰撞的速度公式牢记在心并能在考试的有限时间中灵活熟练运用且不出错。

方法3：以A、B整体作为系统，力F大小相等，方向相反，水平地面光滑整体不受摩擦力，因此系统动量守恒。对初始时刻到A第二次速度减为0的过程列动量守恒的方程可知：此时B的速度为10 m/s

启示：方法3充分利用题目创设的物理情境，以系统为研究对象确定动量守恒快速求解末状态B的速度大小；在此基础上对B运用功能关系，从功的角度理解：B动能的变化等于力F做功，将力F对B做的功对应的位移转化为初末两个时刻相对位移的计算。

【总结】上述3种方法的运用实际上是对高中阶段主干知识运用的考查。其中方法1是从基本的运动学过程的分析，思路最简单最直接，但是耗时最长。方法2是教材上的弹性碰撞的能量方程与速度公式的推广应用。思维过程最高级方法3实际上是对系统进行动量分析与能量转化过程的分析。

以下是本题的作答情况统计：

题号分值平均分区分度得分率得分统计占比15147.680.554.87%[0,4)17.05%[4,8)26.65%[8,12)36.68%[12,14)6.25%

根据上述数据分析可以看出：大部分学生能够在第(1)问中得分，但是满分的学生不多。说明学生对于弹性碰撞的动量与能量的守恒关系的认识与应用不够。选取合适的方法有助于学生在较短的时间内准确作答。

笔者对这道题创设的问题情境进行了相关的整理与思考：本质上本题中的外力F与传送带模型中物块与传送带之间只受摩擦力作用类似，物块往往根据不同题设条件发生不同的状态变化，传送带往往设置为在电机带动下匀速运动，因此系统动量不守恒。在涉及与传送带模型相关的问题探讨时，比如“电机由于放上物块时多做的功”这类问题，学生往往容易出错，甚至很多学生选择直接跳过。下面我们同样截取湖北省2020年某次大型联考的压轴题第(3)问为例进行说明：

图4

【分析】考查目的：以传送带模型为背景，设置生活实践情境，考查摩擦力、牛顿第二定律、相对运动的动力学过程分析、能量转化的具体关系等必备知识，将相对运动与内能关联整合，考查了运动观、相互作用观、能量观等物理观念。

方法1：对物块进行动力学过程分析可知，第一阶段：

物块初始加速度满足mgsin37°+μmgcos37°=ma1

代入数据得a1=10 m/s2，摩擦力方向向下

经时间t1=0.2 s物块与传送带共速，物块的对地位移为x1=0.4 m，传送带的位移L1=0.2 m

第二阶段：由于物块C所受滑动摩擦力比重力沿斜面向下的分力小，因此物块第二阶段的加速度满足

mgsin37°-μmgcos37°=ma2

代入得a2=2 m/s2，摩擦力方向向上

经时间t1=0.5 s物块速度减速至0

物块的对地位移为x2=0.25 m，传送带的位移

L2=0.5 m

取物块与传送带组成的系统为研究对象，由能量转化与守恒的方程可得W=ΔEk+ΔEp+Q

代入可知ΔEk=-3 J

物块在整个过程中向上运动的位移x=x1+x2

代入得x=0.65 m

又因为ΔEp=mgxsin37°

代入可得ΔEp=2.6 J

摩擦力做功产生的热量

Q=μmgcos37°(x1-L1+L2-x2)

代入数据解得Q=1.2 J

因此电动机多做的功W=0.8 J。

方法2：以传送带为研究对象，电机之所以会多做功是因为物块放到传送带上，传送带受到摩擦力作用，传送带克服摩擦力做的功。

本题中物块运动的第一阶段：传送带受摩擦力与传送带运动方向相同，因此多做的功

【总结】方法1是对物块与传送带组成的系统运用能量转化与守恒的方程分析，这种思路最直接，原本应是最简单的，但是学生实际计算时不理解能量转化的具体过程，往往各个能量的符号容易出现错误，比如上述过程中 ΔEk<0，ΔEp>0；出现这种错误的部分原因可能是：认为物块运动过程中重力做负功，因而ΔEp<0，本质原因是混淆动能定理和能量转化与守恒定律的应用的不同，功与能的转化过程认识模糊。在热量Q的计算中处理相对路程时，部分学生直接运用物块前、后阶段的对地位移进行计算，还有部分学生没有仔细分析前、后两个阶段相对运动的具体情况，比如直接考虑将(L1+L2-x1-x2)作为相对路程。

方法2是选取传送带为研究对象进行能量的计算，避开系统内各个能量相互转化的分析。但值得注意的是：此处摩擦力作用在传送带上对传送带做的功对应的位移为传送带的对地位移，且由于摩擦力方向变化引起前、后两个阶段做功的符号不同。

在平时的学习中，我们要选取合适的研究对象，运用恰当的物理定律与定理解题能极大的简化计算过程，节省解题时间。