非齐次Markovian跳变随机奇异系统的镇定

郭雅倩，周绍生

(1.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018；2.杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

作为逼近非线性系统重要工具之一，区间二型模糊模型[1]不仅可以处理一型模糊隶属函数的不确定性，还能降低二型模型计算的复杂度，成为相关研究领域的热点。Markovian跳变随机系统是一种可以描述系统在遇到环境干扰时出现随机故障或结构突变等现象的系统，当Markovian跳变随机系统的子系统为奇异系统时，称为Markovian跳变随机奇异系统[2]，其相关研究已取得很好的结果。文献[3]研究一类带有时滞的随机奇异Markovian跳变系统的随机容许及镇定问题，通过构造随机Lyapunov-Krasovskii泛函，引入自由权矩阵，借此得到系统随机容许的充分条件。文献[4]研究具有不可测状态的连续奇异Markovian跳变系统的输出反馈控制问题，借助投影引理，运用带模态的Lyapunov矩阵分解的新方法，得到系统动态输出反馈的稳定条件。文献[5]通过引入伪逆E+并使用H表示技术，研究了线性Markovian跳变随机系统的均方可容许问题。上述文献研究的是转移速率恒定的系统，但在实际工程系统运行过程中，转移速率很难长时间保持不变。基于It型Markovian跳变随机奇异系统在诸多实际应用中发挥着重要作用，譬如经济领域中的动态leontief模型[6]、机械工程中的石油催化裂化模型[2]以及航空航天模型[7]等。本文受文献[7]启发，针对非齐次Markovian跳变随机奇异区间二型系统，运用分段齐次的思想处理转移速率的时变特性，通过分析系统的正则、无脉冲及随机稳定性，给出系统随机容许的充分条件，并在此基础上设计了状态反馈模糊控制器。

1 系统描述

区间二型非齐次Markovian跳变随机奇异系统用IF-THEN规则描述如下：

Edx(t)=[Al(rt)x(t)+Bl(rt)u(t)]dt+Jl(rt)x(t)dω(t),Ex(0)=x0,r(0)=r0,φ(0)=φ0

(1)

(2)

(3)

区间二型非齐次Markovian跳变随机奇异模糊系统可写为：

(4)

(5)

对于控制器设计，采用平行分布补偿法，模糊控制规则如下：

u(t)=Ks(rt)x(t)

(6)

式中，Ks(rt)(s=1,2,…,q)是第s个控制规则的反馈增益矩阵。其全局模型为：

(7)

将控制器(7)代入式(4)，得到如下闭环系统：

(8)

定义1[8-9]对于奇异随机系统(4)，以下定义成立。

(4)如果系统(4)正则、无脉冲且随机稳定，则称系统(4)是随机容许的。

2 主要结论

(9)

(10)

则区间二型非齐次马尔可夫跳变奇异随机系统(4)是随机可容许的。

(11)

(12)

(13)

(14)

接下来证明系统是随机稳定的。构造如下Lyapunov函数：

当r(t+Δ)=j，φ(t+Δ)=n时，由无穷小算子L的定义及奇异随机系统的广义It公式[8]可得：

通过定理中的不等式条件(10)可知：

(15)

运用Dykin公式，由式(15)可得：

(16)

(17)

(18)

进而证得系统(4)是随机稳定的。结合定义1可知，系统(4)随机容许。证毕。

(19)

其中

证明针对闭环系统(8)，取Pi,m=Xi,mE+RTQi,mST。结合定理1可得：

Φs(i,m)=(Ali+BliKs(i,m))T(Xi,mE+RTQi,mST)+(Xi,mE+RTQi,mST)T(Ali+BliKs(i,m))+

(20)

(21)

(22)

文献[5]研究的是线性Markovian跳变随机奇异系统，且转移速率恒定的。本文研究的区间二型Markovian跳变随机系统不仅是非线性的，而且转移速率矩阵还是时变的，系统内容更加复杂，应用范围更加广泛，更加符合实际工程需求。

3 数值示例

对于非齐次Markovian随机奇异跳变模糊系统(4)，设l=2，s=2，r(t)={1,2}，φ(t)={1,2}时，各参数矩阵给定如下：

其归一化隶属度函数分别为：

根据定理2，使用MATLAB中的LMI工具箱求得可行解为：

K1(1,1)=[3.045 2 0.559 6],K1(1,2)=[3.047 9 0.496 2],K1(2,1)=[-3.942 4 0.191 1]，

K1(2,2)=[-4.633 0 0.218 5],K2(1,1)=[4.503 4 0.423 6],K2(1,2)=[4.422 1 0.349 8]，

K2(2,1)=[-2.693 3 0.115 2],K2(2,2)=[-3.054 5 0.111 3]。

闭环系统下的状态响应及系统的控制输入分别如图1、图2所示。图1中，r(t)，φ(t)分别表示系统模态及模态转移速率矩阵间的随机跳变过程。从图1和图2可以看出，在状态反馈控制器的作用下，闭环系统是随机稳定的。

图1 闭环系统状态响应x(t)

图2 控制输入u(t)

4 结束语