改进傅里叶级数法求解封口锥柱球组合壳的自由振动

张帅 李天匀 朱翔 陈旭

摘要： 提出了一种改进傅里叶级数的半解析方法分析封口锥柱球组合壳的自由振动特性。基于能量泛函，结合经典薄板理论和Love壳体理论，建立了组合结构的理论模型，研究了不同柱壳长度，不同锥球半角以及不同厚度端板下锥柱球组合壳的固有频率。该方法下的各子壳结构位移由标准的傅里叶级数和辅助收敛函数组成，既克服了传统傅里叶级数在子壳结构交接处的不连续性，又提高了计算的收敛精度和速度。研究表明：该方法收敛性较好，所得理论计算结果与有限元结果比较一致。通过分析固有频率，发现改变长度，半角，端板厚度均会对锥柱球组合壳的自由振动产生较明显的影响。

关键词： 结构振动; 锥?柱?球组合壳; 圆端板; Love壳体理论; 傅里叶里兹法

中图分类号： O327; U661.44    文献标志码： A    文章编号： 1004-4523（2021）03-0601-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.018

引  言

在船舶建造、航空航天、土木桥梁等多种工程的设计中，带圆端板的锥?柱?球组合壳结构十分常见。一般而言，在实际应用时，通常会在设计阶段对组合壳结构进行必要的振动研究，否则这些组合壳体可能会因受到动态载荷的作用，产生过大的噪声、振动甚至出现疲劳损伤。

多年来，国内外众多学者开展了大量有关板壳振动的研究，并取得了丰硕的研究成果。Donnell，Reissner，Flügge，Love和Timoshenko等基于不同的简化模型、假设条件以及近似结果，发展并充实了各种板壳理论。这些工作已经由Leissa[1?2]和Qatu[3]进行了较为系统全面的总结。近年来，一些新的方法被应用在分析板壳振动特性的问题上。但应该指出的是，大多数文献集中于基本的单板、单壳结构的研究，如圆板、环扇形板、矩形开口板、圆柱壳、圆锥壳和球壳，而很少分析组合壳的振动特性。Irie等[4?5]采用传递矩阵法研究了圆板，环板以及锥?柱组合壳的振动特性。Li[6]在薄板边界上添加一组线簧和卷簧分别模拟四条边界的剪应力和弯矩，把所有位移函数表示为一个双重傅里叶级数与多个辅助函数的和，然后代入控制微分方程，求得薄板弯曲振动的半解析解。Bauer等[7]利用解析的幂级数方法分析了固支，简支，自由和混合边界条件下圆板的振动问题。Bashmal等[8]求解了四种典型边界圆（环）板的面内自由振动问题，采用Rayleigh?Ritz法获得了自由振动固有频率和相应的振型。史冬岩等[9]利用改进傅里叶级数方法，计算了任意边界条件下的环扇形板的面内振动特性。李天匀等[10]基于Rayleigh?Ritz法，选用切比雪夫级数为位移函数，求解得到了含任意形状内开口的矩形板自由振动的固有频率。Efraim和Eisenberger[11]通过幂级数解分析了分段轴对称壳体的自由振动特性，得到了较为精确的固有频率。Caresta和Kessissoglou[12]提出了一种经典的计算锥柱组合壳自由振动特性的方法。在此方法中，圆柱壳的运动方程用波传播法求解，圆锥壳的运动方程用幂级数近似求解。最后，利用锥柱交接处的连续性条件，求出组合壳结构的固有频率。Li等[13]采用半解析方法分析了均匀阶梯抛物面壳、圆柱壳和球壳的组合结构在任意边界条件下的自由振动特性。瞿叶高等[14]提出了一种改进的变分法来分析加环肋的锥?柱?锥组合壳在不同边界条件下的自由振动，理论模型结合了改进的变分法与最小二乘加权残差法，将组合壳结构划分为适当的壳段，并对壳段界面施加所有必要的连续性约束。计算结果与有限元对比，具有较高的一致性。邹明松等[15]基于经典弹性板壳理论，提出了一种半解析方法研究了两端圆板封闭圆柱壳的自由振动。Xie等[16]通过波传播法研究了弹性边界条件下薄环形圆板与圆柱壳结构弹性耦合的自由振动和受迫振动特性。

迄今為止，前文提到的大部分文献都集中在单板、单壳，或者组合壳在经典边界或弹性边界下振动问题的研究，鲜有文献分析带端板的组合壳结构的振动特性。

本文的主要目的是建立带圆端板的锥柱球组合结构的振动分析理论模型，分析该模型的自由振动特性，讨论端板对组合壳振动的影响。其中，圆端板的能量方程由薄板理论构建，并考虑面内振动的影响;锥壳，柱壳，球壳的能量方程均由经典Love薄壳理论构建。在不考虑边界条件的情况下，各子结构的位移函数均由标准傅里叶级数和封闭形式的辅助收敛函数组成。引入辅助收敛函数不仅可以消除边界和子结构之间的所有潜在不连续点，而且可以保证和加快傅里叶级数展开的收敛。通过与有限元计算结果的比较，验证了本文方法的准确性和收敛性。同时，本文还分析了锥壳半顶角，球壳半开角及圆柱壳的长度对整体结构自由振动特性的影响。

1 理论推导

1.1 理论模型描述

本文研究的带圆端板的锥?柱?球结构可以看作是由两个薄圆板和锥、柱、球壳组合而成。其几何结构、圆板的坐标系（r， θ， z）和壳体的坐标系（x， θ， z）如图1所示，端板处位移的左视图和正视图以及球壳处位移的右视图分别如图2和3所示。假设圆锥壳、圆柱壳、球壳是由各向同性且匀质等厚的材料构成。圆锥壳、圆柱壳、球壳中面上的任一点的轴向、周向、法向位移分别是uz，vz，wz，uc，vc，wc，us，vs，ws。截顶圆锥壳小端截面的中面半径为R1，锥半顶角为α，长度为Lz;圆柱壳的长度为Lc，R2为圆锥壳大端、圆柱壳以及右端开口球壳截面的中面半径，φ0为球壳的半开角，三者的厚度满足 hz=hc=hs，弹性模量为E，泊松比为μ，密度为ρ。假设两圆端板也是由各向同性且匀质等厚的材料构成，其端板中面上的任一点的径向、周向、横向位移分别是ubl，vbr，wbl，ubr，vbr，wbr，其半径、厚度、弹性模量、泊松比、密度分别为Rbl，Rbr，hbl，hbr，Ebl，Ebr，μbl，μbr，ρbl，ρbr。

1.2 结构能量方程

根据薄板理论[1]，可以得到极坐标系下薄圓板的弯曲变形能为

式（1）?（4）中  下标i（i=bl，br）分别表示左端板，右端板;dA=rdrdθ;ρi，μi，hi分别表示圆板的密度，泊松比，厚度;ui，vi，wi分别表示圆板的径向、周向、横向的位移;Di=Eihi3/[12（1-μi2）]表示圆板的抗弯刚度，Gi=Eihi/（1-μi2）表示圆板的拉伸刚度，其中，Ei为杨氏模量。

根据基尔霍夫假设和经典Love壳体理论，可以将圆锥壳、圆柱壳、球壳的中面线应变、切应变以及曲率改变量和扭率改变量用以下方程表示[2]：

式中  下标i（i=z，c，s）分别表示圆锥壳、圆柱壳、球壳;αi，βi代表壳体的轴向和周向;εαi，εβi表示线应变，εαiβi表示切应变，kαi，kβi表示中面的曲率改变量，ταiβi表示中面的扭率改变量;ui，vi，wi分别是壳体轴向、周向、法向位移;Ai，Bi表示壳体的拉梅系数，Rαi，Rβi表示壳体轴向和周向的曲率半径，具体可参见表1。

由经典Love壳体理论可知，忽略一些小量可以得到壳体中面的线性应变表达式：

式?中  dS=dxidθI;Ki=Eh/（1-μ2），Di=Eh3/[12（1-μ2）]分别表示壳体的薄膜刚度和弯曲刚度。

同理，各子壳结构的动能可以表示为

1.3 结构连续条件

为了保证结构的完整性，本文采用人工弹簧技术模拟板、壳及壳、壳交接位置处的耦合条件，从而来满足各子结构在连接处位移、转角以及力、力矩的连续性。最后再根据位移转角的协调性条件，分别得到不同部分之间储存在弹簧中的势能。下面以锥壳?柱壳为例说明连接处的耦合条件，具体参数如图4所示，其中：kzcu，kzcv，kzcw，kzcθ分别表示沿子壳连接边界线性分布的三组线弹簧和一组转动弹簧。

由板壳力学知识可知，结构连接处需要满足内力和内力矩的受力平衡，结合图4可以得到锥壳?柱壳连续性方程：

式（19）?（27）中  Nc，Ncθ表示壳的中面内力;Qc表示横向剪力;Mc表示弯矩;Mcθ表示扭矩;kblzu，kblzv，kblzw，kblzθ分别表示xbl=R1，xz=0处位移和转角约束的弹簧刚度值;kzcu，kzcv，kzcw，kzcθ分别表示xz=Lz，xc=0处位移和转角约束的弹簧刚度值;kcsu，kcsv，kcsw，kcsθ分别表示xc=Lc，xs=0处位移和转角约束的弹簧刚度值;ksbru，ksbrv，ksbrw，ksbrθ分别表示xs=Ls，xbr=Rbr处位移和转角移约束的弹簧刚度值。

1.4 结构位移方程

采用不同的位移方程对计算结果的精度会有一定的影响。常用可选的位移函数有切比雪夫多项式、雅克比多项式、勒让德多项式等。本文选用的是由标准傅里叶级数和辅助收敛函数组成的改进的傅里叶级数，它不仅可以消除边界以及子结构耦合界面之间所有潜在的不连续点，而且可以加快傅里叶级数展开的收敛速率[6]，因此采用改进的傅里叶级数作为本文结构的位移方程，在数值结果的计算精度以及求解速度上，都具备一定的优势，其具体形式如下

式（28）?（32）中  下标i（i=bl，z，c，s，br）分别表示左端板，圆锥壳、圆柱壳、球壳、右端板;λm=mπ/Li，m=0，1，2，…为壳体振动的轴向波数，n=0，1，2，…为壳体振动的周向波数;ω为角频率，t为时间;M，N为位移函数的截断项数。

带圆端板的锥?柱?球结构的拉格朗日能量泛函L可表示为

式中  K为结构的刚度矩阵，M为结构的质量矩阵，ω为角频率。求解方程（36）可以得到组合壳自由振动的各阶固有频率及其相应的特征向量。

2 算例分析

为了验证方法的收敛性和准确性，本文给出了一些关于带圆端板的锥?柱?球结构自由振动的算例分析。结构的几何参数和材料参数选取值如下：R1=Rbl=0.4 m，R2=1 m，Lz=1.2 m，Lc=2.5 m，h=hz=hc=hs=0.01 m，α=30°，φ0 =30°，E=210 GPa，μ=0.3，ρ=7800 kg/m3，hb=hbl=hbr=0.01 m，Ebl= Ebr=210 GPa，μbl=μbr=0.3，ρbl=ρbr=7800 kg/m3，求解组合壳自由振动时，选取的边界条件为自由边界条件，各子壳连接处约束位移以及转角的无量纲弹簧刚度k=1014。为了便于数据分析，这里引入无量纲频率参数，其表达式为：。

2.1 收敛性分析

位移函数截断项M，N的取值对计算结果的精度有较大影响。改变截断项数M，N，忽略组合壳结构在自由边界条件下的前6阶刚体模态值，通过理论计算和FEM两种方法分别得到了无端板和带端板组合结构自由振动前10阶无量纲频率，结果如表2所示（其中FEM方法中组合壳模型由壳单元构建，下文不再赘述）。

由表2可知，无端板和带端板的组合结构自由振动无量纲频率随着M的增大而逐渐趋于稳定，最终结果与有限元法的计算结果吻合较好。对比两种方法的计算时间：在配置为Intel Core I5?7500 CPU、主频为3.40 GHz、内存为16 GB、64位操作系统的PC机上，该方法计算一种工况下的固有频率需要95 s，FEM方法计算一种工况下的固有频率需要310 s，需要说明的是这里仅是FEM的计算时间，未包含建模的时间。因此，综合收敛速度和计算精度两个方面的考虑，在该方法下，当M=12时已满足本文的计算要求。

2.2 准确性分析

拟从改变组合壳结构中的圆柱壳长度及锥壳、球壳的半开口角两个方面来验证所用方法计算组合壳自由振动的准确性。

2.2.1 圆柱壳长度对组合结构自由振动的影响

圆柱壳作为组合殼结构的主要组成部分之一，改变圆柱壳的几何材料参数均会对组合壳结构的振动产生较大的影响。在第2.1节给定几何参数和材料参数的基础上，仅改变圆柱壳的长度，即圆柱壳的长度分别为2.5，10，25 m，忽略组合壳结构在自由边界条件下的前6阶刚体模态值，通过理论计算和FEM两种方法得到的组合壳前8阶的自由振动无量纲频率，如图5所示。

分析图5可知，组合壳结构自由振动的固有频率随模态阶数的增大而相应增大，同时也随圆柱壳长度的增加而显著减小。对比发现，当圆柱壳长度远远大于组合结构其他组成部分的最大尺度时，此时圆柱壳在影响组合结构的固有频率中起着主导地位，结构的“梁式模态”效应显著，因此圆柱壳越长，组合结构的固有频率越小。

2.2.2 半顶角和半开角对组合结构自由振动的影响

通常最能决定锥球壳结构形状的是其半顶角以及半开角，在第2.1节给定几何参数和材料参数的基础上，仅仅改变锥壳的半顶角和球壳半开角，忽略组合壳结构在自由边界条件下的前6阶刚体模态值，通过理论计算和FEM两种方法得到了多种角度组合下，带端板锥柱球结构前8阶的自由振动无量纲频率，具体组合形式以及结果对比，如表3?5所示。

由表3?5可知，改变锥壳半顶角及球壳半开角会显著地影响组合结构的固有频率，并使之呈现一定的变化规律：单一保持锥壳或是球壳的开口角不变，增大或减小另一结构的开口角，整体结构的固有频率均会随之增大或者减小。同时发现，采用本文方法计算得到高阶模态下的固有频率与有限元方法的结果吻合较好，表明了本文方法的准确性。

2.3 端板厚度对锥柱球结构自由振动特性的影响

现阶段，大部分研究都只关心组合壳结构在经典边界或弹性边界下的振动问题，很少有文献分析端板给组合结构带来的影响。在第2.1节给定几何参数和材料参数的基础上，选取组合壳结构的边界条件为自由边界，分别以壳体厚度h=10 mm，h=15 mm，h=20 mm，h=25 mm作为4种工况，改变对应两端端板的厚度hb，为了方便规律的表达，令ζ=hb/h，即可得到下面一系列ζ与无量纲频率Ω的变化曲线，如图6所示。

由图6可知：4种工况下，本文方法与FEM计算得到的结果具有较好的一致性;组合结构无量纲频率Ω随着端板厚度与壳体厚度之比ζ的变化曲线具有较一致的趋势，即ζ达到一定的阈值后，无量纲频率趋于稳定。究其原因，是因为改变端板的厚度，相当于改变端板的等效刚度，当端板的等效刚度到达一定值时，锥壳小端以及球壳尾端三个方向的位移受到了较大的限制，从而使得结构的固有频率几乎不再改变。对比单个图形，趋于稳定的无量纲频率值与壳体厚度密切相关，壳体厚度越大，对应的无量纲频率值越大。另外，不同工况下无量纲频率值稳定点对应的阈值也各不相同，但该处的阈值会随壳体厚度的增加而在一定范围内呈现下降的趋势。

3 结  论

本文基于能量泛函，采用一种改进的傅里叶级数方法求解了带圆端板的耦合锥?柱?球结构的自由振动。建立了带圆端板的锥?柱?球组合壳结构理论模型，本文采用人工弹簧技术模拟耦合界面板、壳及壳、壳交接位置处的约束条件，从而来满足各子壳结构在交接处位移和转角以及力和力矩的连续性。最后应用Rayleigh?Ritz法计算求解结构的固有频率，通过与有限元方法计算的结果比较，验证了本文方法的准确性和收敛性，综合全文可以得到以下结论：

1.通过对本文方法的收敛性以及准确性分析，并将其计算的结果与有限元对比，两种方法的计算结果具有较高的吻合度，证明了本文方法的正确性与可行性。

2.带圆端板的锥?柱?球结构的自由振动特性与其组成部分的圆柱壳长度，圆锥壳的半顶角以及球壳的半开角密切相关。当圆柱壳长度增大，此时组合结构的“梁式模态”效应显著，其固有频率反而会减小;单一保持锥壳或是球壳的开口角不变，增大或减小另一结构的开口角，组合壳结构的固有频率均会随之增大或者减小。

3.改变两端板厚度对锥?柱?球结构自由振动特性具有较大的影响。组合壳结构无量纲频率Ω随着端板厚度与壳体厚度之比ζ的变化曲线在不同条件下具有一致的趋势，即ζ达到一定阈值后，无量纲频率趋于稳定。这一规律，对不同形状封口组合壳结构的设计及其振动分析具有一定的工程指导意义。

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作者简介： 张  帅（1993-），男，博士研究生。E-mail： zhang_shuai@hust.edu.cn

通讯作者： 李天匀（1969-），男，教授。E-mail： ltyz801@hust.edu.cn