Cahn-Hilliard方程的时间双层网格有限元方法

王旦霞, 贾宏恩, 李亚倩

(太原理工大学数学学院，太原030024)

1 引言

Cahn-Hilliard方程是一个非常重要的数学物理模型，该方程是由Cahn和Hilliard在1958年提出，用于描述复杂的相分离和粗化现象[1-3].本文要研究的Cahn-Hilliard方程具有如下形式

许多学者针对快速数值求解非线性问题进行了研究.例如，文献[9]中研究了有限差分格式和自适应时间步长方法，文献[10]提出了大时间步长方法，文献[11]提出了两层空间网格方法.最近，针对时间分数阶水波模型，文献[12]中提出了时间双层网格有限元方法，文献[13]中使用该方法快速求解空间分数阶Allen-Cahn方程，并证明了该方法的有效性和可行性.

受文献[12,13]的启发，本文针对非线性Cahn-Hilliard方程，提出了时间双层网格有限元方法，该方法需要分两步进行：第一步，在粗的时间步长上求解非线性系统；第二步，在细的时间步长上求解线性系统.相比传统的Galerkin有限元方法，在精确度相同的情况下，本文提出的方法可以节省计算时间.

2 理论准备

为了之后证明的方便，首先引入一些范数的定义和引理.L2(Ω)是平方可积函数空间，内积和范数分别是

H1(Ω)是通常的Sobolev空间，半范和范数分别是

其中

且

采用以下的记法

注1 引理1和引理2中的常数C独立于时间t.

3 数值格式与TT-M FE方法

3.1 全离散格式

令Th={e}为Ω的拟一致剖分，hi是空间网格步长，且h=max0≤i≤n hi，对任意的整数k，定义有限元空间

其中Pk(x,y)是x,y的次数不超过k∈Z+的多项式的集合.问题(1)的的全离散格式为：求Un:[0,T]−→Vh，使得

其中U0=uh0(x)是u0(x)的一个逼近，Un代表u(x,t)的全离散逼近.

3.2 时间双层网格有限元方法

步骤3 基于插值结果UmI，考虑时间细网格上线性系统，即求UmF:[0,T]−→Vh，

其中fu是f关于u的导数.

4 稳定性分析

定理1 对于时间粗网格系统(6)式，TT-M系统(7)式，下面的不等式成立

证明 分两步完成：第一步，时间粗网格系统(6)式的等价形式为

先利用Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式对(11)式左端第二项进行估计有

结合(11)式和(12)式，故有

不等式两边从1加到n，得

再根据离散的Gronwall不等式，(8)式得证.

第二步，TT-M系统(7)式的等价形式为

在(15)式中，令

类似于(8)式，有

为了估计‖UkI‖2，使用下面的拉格朗日插值公式

结合(16)式和(18)式，并根据离散的Gronwall不等式，(9)式得证.

5 误差估计

为了对我们的数值格式进行误差估计，引进下面的定义和引理.定义B(u,v)=ε2(Δu,Δv).

引理3[15]实数r满足2≤r≤3，存在常数C与h无关，对任意函数

有

证明 首先，将初始问题(1)式等价于ut+Δ(ε2Δu−f(u))=0.其弱形式为

其中

下面分两步证明：第一步，令

(25)式两端从1加到n，可得

然后，根据离散的Gronwall不等式，可推得

最后，根据正交投影算子Ph的性质以及半范|u|H1和范数‖u‖H1的等价性质，(21)式得证.

第二步，首先估计时间细网格上的误差‖u(tm)−UmI‖H1，由(17)式可得

其中ϑm∈(tn−1,tn)，结合(28)式和(21)式，由三角不等式得

将(23)式中n和τc替换为m和τ，再用(15)式减去所得结果得：对任意的vh∈Vh，有

其中

然后，使用泰勒展开式估计上式右端第一项，可得

结合(30)和(31)，类似于(21)式，可推得

最后，根据正交投影算子的性质，半范|u|H1和范数‖u‖H1的等价性质，(22)式得证.

6 数值分析

在数值实验部分，采用数值例子验证理论分析的正确性和有效性.选择初始条件和精确解分别为

u0=cos(πx)cos(πy)e,u(x,y,t)=cos(πx)cos(πy)ecos(t),

计算区域为[0,2π]×[0,2π].

6.1 空间与时间收敛阶

表1 TT-M FE方法的空间收敛阶τc=10τ=

表1 TT-M FE方法的空间收敛阶τc=10τ=

h ‖u−UF‖‖u‖ 收敛节 ‖u−UF‖H 1‖u‖H 1 收敛节1 8 0.324612 0.393574 1 16 0.0887456 1.871 0.193534 1.024 1 32 0.0226662 1.969 0.0960736 1.010

表2中，给出了当ε=1,M=2,h=τ2时的L2相对误差和H1相对误差.由表2可知，关于时间的H1相对误差是二阶收敛的，同理论分析部分一致.

表2 TT-M FE方法的时间收敛阶h=τ2

6.2 TT-M FE方法和Galerkin FE方法的CPU耗时比较

表3 TT-M FE方法和Galerkin有限元方法的CPU耗时

6.3 TT-M FE方法数值解UF和精确解u的比较

图1精确解u

图2 TT-M FE解UF

6.4参数M对CPU和误差的影响

图3中，当M从2增大到20时，TT-M FE方法的CPU耗时逐渐减小，趋于平稳.这表明用TT-M FE方法求解Cahn-Hilliard方程时，可以选择较大参数M以提高数值求解的速度.

图3 M对计算时间的影响

图4中，随着参数M的增大，TT-M FE方法的L2相对误差在很小的范围内波动，这表明参数M对数值计算的精度有较小的影响.

图4 M对误差的影响

7 结论

本文对Cahn-hilliard方程的时间双层网格有限元方法进行了研究.从理论上证明了该方法的稳定性和误差估计.最后通过数值例子验证该方法的有效性和可行性.