圆锥曲线中最值问题的求解策略

邹庆龙

(福建省长汀县第二中学 366300)

一、均值不等式法

均值不等式法是高中数学的一个重要公式：a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.在圆锥曲线最值的求解中，均值不等式常用于离心率的计算，题干中已知离心率，求离心率之差或之和，通过共轭方程的设立，分别表示离心率，然后利用均值不等式a2+b2≥2ab的原理，求得最值.

例1一对共轭曲线的离心率分别为e1,e2，求e1+e2的最小值.

解析设这对共轭曲线的方程为：

≥2+2+2×2

=8.

所以当且仅当a=b时，等号成立.

二、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题.在求圆锥曲线上点到直线的问题中，可以利用圆锥曲线的参数方程的定义，将点P用参数式表示出来，然后将点到直线的距离表达出来，根据三角函数的性质得到直线的最短距离，同时得到sinθ和cosθ值，即点P的坐标.

解析设点P到l的距离为d，

三、判别式法

判别式法可以判断方程是否有根以及有几个根，b2-4ac<0无实数根，b2-4ac=0有两个相等实数根，即一个实数根，b2-4ac>0有两个不相等实数根.在圆锥曲线最值求解中，若求函数式，则需构建等式，化简得出y的表达式，联立已知椭圆的方程与构建的新方程，利用判别式原理得出新方程的值.

例3已知(x,y)是椭圆x2+4y2=1上的点，试求3x+4y的最大值与最小值.

解析设3x+4y=z,

13x2-6zx+z2-4=0.

所以根据判别式Δ=b2-4ac，

得Δ=36z2-4×13(z2-4)≥0.

圆锥曲线最值求解是数学学习的重点内容，也是高考出题考虑的范围，其涉及的知识繁多，可应用的方法也是多样化.通过均值不等式法、参数法和判别式法三种方法的理解，同学们要加强核心内容的练习，熟练运用，加深对圆锥曲线内容的深化.