n级时间球πn的统一公式

李玉发 李宇航

(1.广东省惠州市第一中学 516001;2.澳大利亚国立大学)

一、基本原理

听了张景中院士报告《点如何相加》，以及扬学枝教师对点量的研究，深受启发，在点方程、线方程、面方程和体方程等方面得到了自己的一些想法.

为弄清点量，我们提出时点、零点、光点的相关定义：

定义1n维的时点Pn=(x0,x1，…，xn-1)(n∈N+,xk∈R,k∈N)，P0=(x0)=x0.

定义2 零点On:O0=Φ，O1=(0)，O2=(0,0)，O3=(0,O2)，…，On=(0,On-1).

定义3 数光点Tn:T1=(1)，T2=(0,1)，T3=(0,0,1)，…，Tn=(On-1,1).

形光点Jn:J0=(1)，J1=(0,1)，J2=(0,0,1)，…，Jn-1=(On-1,1).

有结论：Tn+1=Jn(n∈N).

为了使不同维度的点能加减，我们提出升维、加减的相关定义：

定义4 升维：(k∈N,n∈N+,xk∈R)

(1)x0=(x0)=(x0，0)=(x0，02)=(x0，0n).

(2)(x0,x1)=(x0,x1，0)=(x0,x1，02)=(x1,x2，0n).

(3)(x0,x1，…，xk)=(x0,x1，…，xk，0)=(x0,x1，…，xk，0n).

定义5AB=B-A；OB=B.

定义6 关于形时空间Jn与数时空间Tn，有(0)J0={(x0)|x0∈R}=T1=R(称为0维点时空或1元数时空)；

(1)J1={(x0,x1)|x0，x1∈R}=T2(称为1维线形时空或2元数空间或复平面时空)；

(2)J2={(x0,x1,x2)|xn∈R,n∈N}=T3=R3(称为2维面形时空或3元数时空)；

(3)J3={(x0,x1,x2,x3)|xn∈R,n∈N}=T4=R4(称为3维体形时空或4元数时空)；

(4)J4={(x0,x1,x2,x3,x4)|xn∈R,n∈N}=T5(称为4维形时空或5元数时空)；

(2)零点On的模|On|=0；

(3)若|Pn+1|=1，称点Pn为单位点，记Pn+1=En；

(4)光点Tn是单位点，Tn的模|Tn|=1；

二、主要结论

结论1Pn=(x1，…，xn),(xk∈R，k，n∈N,n≤5)，Tn={Pn|n∈N*},半径为r的球形Pn=rEn-1的模空间Mn(r)测度记为Dn-1(r)，则

(2)点线可加：(D0+D0)r=D1(r),

(D1(r)+D1(r))r=D2(r);

结论4 由J0={(x0)|x0∈R}=R1=T1得一维实点就是实数，一般可得：Jn=Rn+1=Tn+1.

结论5n维球形空间En(直形空间Xn，椭形Sn(a0,a1，…，a2))的测度记为Dn，有维度公式：同一数时空间的维度=同一形时空的维度+1，即Jn={(x0,x1，…，xn)|xn∈R,n∈N}=Tn+1=Rn+1.

为了让二维以上点量既能加减又能乘除，定义旋转点.

Wn={Wn|En+1=(cosθn+1)En+(sinθn+1)Jn+1(n∈N*),E1=T1=1,T2=i,i2=-1},

eWn=eWn-1cosθn+Jnsinθn(n∈N*),θ0=0,T2=i,T0=-1,

(D4n,D4n+1,D4n+2,D4n+3,D4n+4)=(点，线，面，体，新时点),n∈N.

三、具体应用

由结论7可推出下面一些结论：

由结论1与结论7可推出下面一些结论：

证明n=0或n=1时，可验证(A)成立，即

假设n=k，(A)成立，有

n=k+1时，

由结论1与结论7，两点相加得线，两线相加得面，面积分得体，体积分得时间(点)，即

(D4(k+1)(r)+D4(k+1)(r))r=(πk+1r4k+4+πk+1r4k+4)r=2πk+1r4k+5=D4k+5(r),

(D4k+5(r)+D4k+5(r))r=(2πk+1r4k+5+2πk+1r4k+5)r=4πk+1r4k+6=D4k+6(r),

=πk+2r4k+8=D4k+8(r)，

综上，(A)对一切n∈N都成立.

点评深刻准确地理解、挖掘、建立数学中的数与形的关系，并恰当、巧妙地进行转换是数学学习与研究的基本功之一.

例1(2014年广东理科第9题)求不等式|x-1|+|x-2|≥5的解集.

点评把一元不等式转换为二元不等式组，比较难求一维的边界点P1(-1),P2(4)升维转换为易求的椭圆边界曲线的顶点A1(-1,0),A2(4,0).

(2)(1+2cos2A)2=a2+b2.

分析设z=cosA+isinA，w=b+ai=z+z3+z5，有w=z3(z-2+1+z2),而k=(z-2+1+z2)∈R，w是z3的实数倍，所以w=kz3(k∈R).

即(cosA+cos3A+cos5A)+i(sinA+sin3A+sin5A)=k(cos3A+isin3A).

所以w=b+ai=k(cos3A+isin3A).

由模的公式对|w|2展开，得(1+2cos2A)2=a2+b2.

点评本题有多种证法，可以从不同的角度去思考，去探索，可以从三角、几何、复数等不同方面去思考，只要我们努力去挖掘其隐含的意义，何愁难关不破！