空间飞行器交会策略建模与仿真

李文鑫,李旷代，王 伟

(1.北京交通大学 机械与电子控制工程学院，北京 100044;2.北京宇航系统工程研究所，北京 100076；3.北京航天自动控制研究所，北京 100854)

0 引言

空间飞行器一直是军事应用和科学探索重要的载体和平台，对空间飞行器与其它飞行器交会策略的研究具有重要意义。传统地面飞行器的研究需要根据飞行器具体的形状特点以及所处环境的不同分析其具体的受力情况，因此一般不能得到地面飞行器通用的交会仿真策略。空间飞行器根据天体力学的空间规律运行，在研究空间飞行器交会过程时可以借助空间技术，这是与普通飞行器研究不同的一点。由于空间中绝大部分飞行器的运动都可看作相对于地球的二体运动，受力情况基本一致，因此结合空间飞行器所处空间环境的特殊性，针对它们的一些共性，给出了利用变轨算法和优化算法构建空间飞行器交会轨道模型的方法，在综合考虑误差因素的情况下，得到了空间飞行器交会准确度的计算模型。

1 飞行器转移轨道模型构建

空间飞行器与目标的交会过程从另一方面可看作飞行器由原来轨道向目标位置转移的轨道转移过程,可利用轨道转移技术构建其交会轨道模型。飞行器的交会轨道是其从初始轨道向目标轨道的过渡轨道，飞行器在发动机推力的作用下实现速度的变化，进而完成轨道的转换。对飞行器交会轨道的构建可利用霍曼转移或Lambert转移，其中霍曼转移一般适用于共面或非共面圆轨道转移情况，为了空间飞行器交会策略的普遍适用性采用了既可应用于圆轨道转移也可适用于椭圆轨道转移的Lambert转移[1]。

1.1 Lambert变轨算法

基于Lambert理论的飞行器转移过程如图1所示。飞行器在初始位置获得一定的速度后就可以沿着转移轨道转移到理论上的目标点位置。

图1 Lambert变轨示意图

Lambert问题也叫做Gauss问题[3]，求解Lambert问题需要结合拉格朗日时间转移方程[4]，而此方程是一个超越方程，很难求得解析解。因此现在一般求解的思路是寻找该方程的数值解，通过引入一些相对独立的迭代变量，结合时间转移方程建立控制方程组，在不断的循环迭代中求得满足精度的数值解。Lambert求解方法很多，具体可参考文献[5-10]。利用普适量法对Lambert问题求解如下。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

通过引入普适变量z对式(3)～(6)进行重新表示，推导后得到z与Lambert变轨转移时间tf之间的关系：

(8)

式中，χ、S(z)、y(z)均为z的函数，关于z及以上参数的具体定义可参考文献[11]。

在空间中，由于飞行器质量相对于地球质量可以忽略不计，则空间飞行器相对于地球运动的轨道动力学方程如下：

(9)

由以上转移轨道的求解过程可知，要利用Lambert变轨算法求得转移轨道，需要给定转移时间作为已知条件，并且目标位置不会随时间变化，这是传统Lambert变轨算法的局限性，只能解决飞行器在两个定点之间的轨道转移问题。在飞行器与目标交会的实际条件下，从发射飞行器到与目标交会的转移时间一般不能提前获得，目标的位置也处于不断变化中，这是飞行器在两个动点之间的转移问题。为解决这一问题，在Lambert变轨算法的基础上引入了粒子群优化算法和交会时间优化算法来进行飞行器转移轨道的构建。

1.2 粒子群优化算法获取转移时间

粒子群算法是一种智能算法，一般用于解决最优化的搜索问题。粒子群算法的基本原理是通过个体之间的信息共享快速找到能够满足收敛条件的最优解。该算法的具体操作是给空间中所有的粒子随机分配满足条件的初始位置和初始速度。粒子的位置就对应了问题的一个解，将粒子位置值带入目标函数就可得到一个对应的函数值，这就是粒子的适应度。迭代过程中，根据每个粒子的速度值和空间中已知的最优位置和粒子已知的最优位置更新粒子下一次的位置，在不断的迭代过程中，通过个体和种群之间的信息共享，能够很快找到满足条件的粒子值。其算法流程图如图2所示。

图2 粒子群算法流程图

利用粒子群算法求解转移时间的函数如下：

(10)

在给定目标初始位置的情况下，利用粒子群算法以及Lambert变轨算法得到了飞行器的初始转移轨道以及相应的转移时间tf，如图3所示。然而在交会过程中，目标会沿着运行轨道不断移动，位置在不断发生变化，飞行器的实际转移轨道会随着目标位置的变化而变化，转移时间也随之改变。

图3 飞行器实际轨道示意图

1.3 转移时间优化

该优化方法的基本思路是：利用已知的定点到定点的转移时间给出一个初始的基可行解，也就是新的转移时间，然后根据提前设定的最优性判定方法对这个新的转移时间进行判定，若该初始可行解是符合条件的最优解，则输出这个可行解，停止计算；若不满足最优性条件，则由当前的转移时间根据计算结果生成一个更接近最优解的新的转移时间，再次利用最优性判定方法进行判定，在不断更新可行解的过程中，一步步接近符合条件的转移时间值。利用该算法计算实际转移时间的流程如图4所示。

图4 转移时间优化算法流程图

首先利用初始转移时间tf0给定一个基可行解：

x1=tf0+α*E

(11)

x2=tf0

(12)

其中：α为初始转移时间的一半，E为取值系数，可根据计算结果调整，初次取值时为1。

(13)

得到实际转移时间，根据目标初始速度以及位置矢量就可以得到实际交会过程中飞行器与目标交会时的位置，再结合飞行器初始位置，利用Lambert变轨算法就可以得到飞行器的实际发射速度。空间中可将飞行器与地球的相对运动看作二体运动，利用轨道动力学方程进行积分运算，就可以得到飞行器的转移轨道模型。

2 交会准确度计算模型构建

上节得到的飞行器转移轨道模型是理想条件下的理想模型，在不考虑误差因素影响的情况下，飞行器严格按照预定的轨道与目标实现交会。在实际的发射过程中，由于各种误差因素的影响，飞行器会偏离理论的飞行轨道，当偏差过大时，飞行器可能与目标实现交会，也可能不会与目标交会。在理想轨道模型中引入误差因素，并对飞行器偏离目标点次数进行统计，就可得到交会准确度计算模型。

2.1 误差分析

考虑空间飞行器交会策略的普遍适用性，这里主要对以下普遍存在的误差进行分析，主要包括：系统存在的时间误差、计算过程中由精度引起的速度精度误差、飞行器理论发射角度与实际发射角度不一致导致的指向误差、角度测量过程中存在的角度测量误差、目标理论位置和实际位置不一致导致的目标位置误差以及各被测量随时间变化所产生的附加值即模型动态误差等。这些误差在各飞行器交会过程中普遍存在，考虑这些误差的影响可以建立更加准确的空间飞行器交会策略。

确定了引入模型的误差，每次仿真过程中需要给定误差值。根据误差类型的不同，误差可按照系统误差和随机误差两种方式取值。系统误差每次仿真过程为固定值，可根据实际情况取值。随机误差在仿真过程为随机值，可给定误差范围，每次仿真过程以符合该类型误差分布方式的形式取值。一般来说，随机误差的分布方式分为正态分布和均匀分布两种。

得到误差值后，就可以利用误差转换将误差引入飞行器转移轨道的具体计算过程中。在进行误差转换时需要根据对飞行器转移轨道模型构建影响方式的不同将误差转换为对应的变化量，所以根据影响方式的类型可将误差分为以下几组：

1)第一组误差：主要影响飞行器的转移时间，比如发射时间误差Et；

2)第二组误差：主要影响飞行器的发射速度，比如初速精度误差Ev、指向误差Ealt、角度测量误差Eagl。

3)第三组误差：主要影响目标位置坐标的获取，比如目标位置误差Etar、模型动态误差Eyhc等。

2.2 误差转换

为将误差因素引入转移轨道模型需要进行误差转换。其中第一组和第三组误差直接影响模型中的时间和目标位置，可将误差值直接引入模型中。以目标位置误差为例：

(14)

第二组误差直接或间接影响飞行器的发射速度。其中初速精度误差直接影响飞行器的发射速度，对发射速度的影响如下：

(15)

指向误差和角度测量误差以角度为量纲，间接影响飞行器的发射速度，需要根据实际情况进行误差转换，以指向误差为例，该误差向飞行器发射速度的转换公式如下：

(16)

(17)

得到误差转换后的时间、发射速度、目标位置等变量后，引入第1节介绍的理想轨道模型就可以得到飞行器与目标交会的实际轨道模型。

2.3 交会准确度计算

建立起飞行器的理论转移轨道模型并在模型中引入误差因素后，飞行器的实际转移轨道模型就会因每次仿真误差取值的变化而变化。

假设每次交会仿真考虑误差因素的情况下，依据飞行器实际轨道模型计算出飞行器经过交会时间到达的位置坐标为(rsx,rsy,rsz)，目标的实际位置坐标为(rx,ry,rz)，二者之间的差向量为(drx,dry,drz)，则可以得到：

drx=rsx-rx

(18)

dry=rsy-ry

(19)

drz=rsz-rz

(20)

假设目标为球体，半径为R，飞行器与目标具有相同半径，通过计算差向量的长度l并与目标半径R和飞行器半径之和进行比较：当l>2R时，飞行器未与目标交会；反之，则可认为目标与飞行器实现了交会。

假设经过M次交会仿真，N次与目标交会，则可以得到交会准确度：

(21)

3 模型仿真

假定目标是半径为0.25 m的球体，飞行器初速为1 200 m/s，进行1 000次仿真。误差参数如表1所示。

表1 仿真误差参数

表1中系统误差为固定值，每次仿真都按误差取值项给定误差值，随机误差为随机值，每次仿真按误差分布方式在0到误差范围项之间的范围内取值，因此每次仿真误差值都不相同。

前面两节设计得到了空间飞行器的交会策略，为了验证交会策略的正确性，需要进行仿真计算交会的准确度。假定飞行器和目标具有相同的半径，可通过式(18)～(21)计算假定条件下的交会准确度。飞行器在空间中的轨道可以由轨道六根数(半长轴、偏心率、轨道倾角、近地点幅角、升交点赤经以及平近点角)确定，也可指定轨道上某一点的位置速度矢量，二者可以互相转化。这里以地心惯性坐标系为基础，首先给定了飞行器及目标初始位置及速度矢量，参数如表2所示，此时飞行器与目标之间的相对距离为20 km，相对速度为300 m/s。

表2 给定飞行器及目标参数

利用以上设定参数进行1 000交会仿真，得到飞行器与目标的交会准确度为32.5%，选取某些仿真结果列于表3。

表3 仿真结果

将表2给定的参数转换为轨道六根数，确定飞行器和目标轨道，让飞行器和目标在各自轨道上运行，运行到指定距离后进行1 000次仿真，得到在此距离下飞行器与目标的交会准确度，结果如表4所示。由表可知，随着距离增加，交会准确度不断下降。

表4 不同距离下飞行器与目标交会准确度

4 结束语

空间飞行器交会策略的构建做到了对大多数空间飞行器的适用性，可为多数空间飞行器的交会过程提供参考。利用Lambert变轨算法为飞行器转移轨道模型的构建建立了基础，粒子群优化和交会时间优化算法解决了目标位置不断变化下交会时间的求解问题，在综合考虑误差因素后得到了飞行器与目标交会的准确度。通过仿真，该模型能够快速、高效、准确地得到准确度结果。