基于常微分方程的高压油管压力控制的问题研究

张娜 郝子硕 方秀男

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2011-5640-9248

摘  要：燃油机是目前世界上应用领域极为广泛的一种热力机械。为了控制燃油机高压油管中的压力对燃油机的供油和喷油规律进行研究。为保持管内油压160MPa不变，首先运用SPSS软件对收集到的压力和弹性模量的数据进行回归分析，建立燃油压力、密度和弹性模量的微分方程模型，进而求出160MPa时燃油的密度然后建立供油量的初等模型，使之与喷油量相同，进而解出供油单向阀开启时长为0.7ms。为将高压油管内的压力尽量稳定在100MPa左右，用SPSS对针阀运动的数据进行分析来一个周期内喷油嘴工作的时间。然后运用瞬时燃油速率公式求出工作时间的喷油量，进而建立瞬时供油的微分方程模型，求出喷油泵凸轮的角速度为400rad/s。

关键词：初等模型  供油和喷油  SPSS  微分方程模型

中图分类号：TK423                           文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2021）01（c）-0075-03

Research on Pressure Control of High Pressure Tubing based on Ordinary Differential Equation

ZHANG Na  HAO Zishuo  FANG Xiunan

（College of Science， Jiamusi University， Jiamusi， Heilongjiang Province，154007 China）

Abstract： Fuel oil engine is a kind of thermal machinery widely used in the world. In order to control the pressure in the high pressure tubing of the fuel oil machine， the oil supply and injection law of the fuel oil machine were studied. To keep tube oil pressure 160 MPa， first using the SPSS software to stress and elastic modulus of collected data regression analysis， establish a fuel pressure， density and elastic modulus of the differential equation model， and the density of 160 MPa fuel elementary model， and then set up the flow of oil to make it same as the fuel injection quantity， and then work out the oil supply one-way valve open time of 0.7 ms In order to keep the pressure in the high-pressure tubing as stable as possible at about 100MPa， SPSS was used to analyze the movement data of the needle valve to calculate the working time of the nozzle within one cycle. Then， the instantaneous fuel rate formula was used to calculate the amount of fuel injection at working time， and then the differential equation model of instantaneous oil supply was established， and then the angular velocity of the CAM for injection pump was calculated as 400rad/s.

Key Words： Elementary model; Fuel supply and fuel injection; SPSS; Differential equation model

1  问题重述

1.1 背景分析

燃油机是目前世界上应用领域极为广泛的一种热力机械，具有热效率高转速和功率范围广泛等特點，随着内燃机向高速、轻型、大功率方向发展，供油系统压力提高，其真正利用率和零部件的工作可靠性越来越引起人们的关注。燃油进入和喷出高压油管是许多燃油发动机工作的基础、某高压燃油系统的工作原理，燃油经过高压油泵从A处进入高压油管，再由喷口B喷出。燃油进入和喷出的间歇性工作过程会导致高压油管内压力的变化，影响所喷出的燃油量。

问题1：通过对问题的总结，得出以下两个方面：

（1）高压油泵和喷油管的进出速率已知，在其两孔的燃油进出稳定的情况下保证其高压油管内的压力稳定在100MPa左右，来设置单向阀每次开启的时长;

（2）同样也是在保持两孔进出稳定的情况下，将高压油管的压力从100MPa增加到150MPa，在这个过程中分别用了2s、5s和10s来调整，最后将压力稳定在150MPa，调整单向阀开启的时长。

问题2：在问题1中给出的喷油器工作次数、高压油管尺寸和初始压力下，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100MPa左右。

2  问题分析

2.1 问题一分析

要求适当地设置高压油管中单向阀开启的时长，将高压油管管内的压力尽可能稳定在100MPa左右，以及分别经过2s、5s和10s的调整过程将高压油管内的压力从100MPa增加到150MPa并稳定在150MPa。在高压油管内100MPa的情况下，建立单位时间内供油量和单位时间内的喷油量相等的数学模型，进而求出开启时长。

2.2 问题二分析

要求确定凸轮的角速度，将高压油管内的压力尽量稳定在100MPa左右。首先要明确了解高压油管的供油过程和喷油过程的原理，其次运用spss软件加以处理，建立凸轮边缘曲线和角度的图象以及针阀升程与时间关系的图象，单位时间内供油量和喷油量相同可以保证高压油管内压力不改变。因此我们通过建立供油和喷油的微分方程模型，并让供油和喷油在单位时间内相同，以此求出凸轮的角速度。

3  模型的假设

（1）燃油经孔口没有能量损失，孔口的阻力系数为零。

（2）不会因为燃油的油量而使高压油管的疲劳强度发生改变。

（3）忽略燃油的静压力可能会引起的高压油管管体的膨胀或收缩。

（4）假设外界大气压对高压油管没有影响。

（5）假设外界温度变化忽略不计，对高压油管和油体没有影响。

4  模型的建立与求解

4.1 问题一

为了得出单向阀开启的时长需要建立燃油进入高压油管的流量Q1、喷油量Q2之间的初等方程模型来求解单向阀开启的时长。

其中ρ为高压侧燃油的密度，因此我们需要求出160MPa时的燃油密度.根据注释1燃油的压力变化量与密度变化量成正比，比例系数为。分式中为燃油密度，E为弹性模量。建立的数学模型如下：

由可分离变量的微分方程知识可知，该公式可进一步变形得到：

P和E的数据在附件2中，通过建立一元线性回归方程来建立两个变量之间的关系，数学模型如下：

由表格中的数据可知，R2=0.971，r趋近于1，表明模型的拟合程度很好。

本文通过运用SPSS和excel软件能够求出方程的系数和图像，通过表格可知b=8.862、a=1379.2、 R2=0.971。于是方程为：

R2接近于1，因此压力和弹性模量的相关关系很强，通过excel作图也可以直观看到两者之间相关性很强。因此带入到密度与压力的公式中可得：

代入数据，当压力为100MPa时，燃油密度为 可得：

建立初等数学模型来求解：

求得喷油嘴每秒喷油量440mm3，因此供油口每秒供油也是440mm3。

设单向阀开启时间为t，每秒工作n次，可列出如下方程式[3]。

代入所需的数据，可以求出单向阀应该开启的时长0.7ms。

4.2 问题二

由题意知，凸轮通过推动柱塞压缩腔内燃油，确定凸轮的角速度，使得高压油管内的压力尽量稳定在100MPa左右，因此我们需要建立供油和喷油之间的数学模型来找到所需的目标值。根据附件1中的数据我们可以建立极角和极径之间的关系。

由于凸轮是一个具有曲线轮廓的构件，可推出凸轮推动柱塞的过程符合三角函数运动规律[2]。

推程时的运动方程为：

回程时的运动方程为：

本文通过SPSS软件可以建立时间和针阀之间的关系，可求喷油嘴的喷油过程

几何供油规律方程式：

喷油规律方程式：

设t2～t3为供油时间，t0～t1为喷油时间，于是在工作时间内供油量和喷油量为：

单位时间内供油量和喷油量相同，并且设单位时间内柱油塞工作次。

由物理知识得：

综合以上各方程式建立供油和喷油的数学模型，并带入相关数据，求出凸轮的角速度为400rad/s。

5  结论

5.1 模型的优缺点

常微分方程是可以解决连续型的问题，前提条件是要求高压油泵的流体速度和密度都是连续可导的。在解決流体力学中的问题时需要建立一系列的假设条件，但在实际解决的过程中是很难实现的，所以应当考虑更优化的模型，而本文所采用的常微分模型无论是从选择的深度还是广度都是不够的，只进行了简单粗略的模型建立与求解，还有很多的不足，有待改良。

5.2 模型的优点

（1）模型的建立思路明确简洁，适用于高温燃油发动机在实际生活中的理论研究，控制压力和提高工作效率。（2）常微分方程数学模型可以根据函数和变量间的变化率直接得出函数。

5.3 模型的缺点

（1）此模型在实际应用过程中所涉及的假设条件可能无法全部实现;（2）理论得出的数值和实际上的计算结果往往会有差别，受密度和压力等的环境影响，理想条件也可能会出现误偏差，实际操作时也可能会出现设备的损坏，会带来误差。

参考文献

[1] 张志昊，杨青，孙柏刚，等.250MPa共轨系统的压力波动特性及燃油物性参数试验研究[J].北京理工大学学报，2019，39（11）：1113-1117.

[2] 赵万林. 柴油机高压共轨系统供油及喷射过程压力波动仿真研究[D].北京：北京交通大学，2019.

[3] 杨兴宇，唐玲莉，潘一帆.高压油管的压力控制[J].农机使用与维修，2020（3）：5-6.

[4] 付辉，陶云鹏，卢楚楠.基于多目标优化的高压油管压力控制[J].内燃机，2020（6）：4-5.

[5] 葛志来，季鑫烨，曹天明.高压油管的压力优化控制[J].工程技术与发展，2019（3）：8-9.

[6] 姜启源，谢金星，叶俊编.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2017.