大规模MIMO系统中块高斯-赛德尔检测算法*

叶倩倩，张治中，闵小芳，胡昊南

(重庆邮电大学 通信与信息工程学院，重庆 400065)

0 引 言

大规模多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技术通过充分利用空间资源来提高无线通信的数据速率、频谱效率和能源效率[1-4]。由于该技术增加了基站侧和用户侧的天线数量，导致信号在接收端产生叠加，因此需要MIMO检测算法对接收端的信号进行处理，恢复出发送信号。

最小均方误差(Minimum Mean Square Error,MMSE)算法[5-6]利用“信道硬化”现象[7]可以实现接近最佳的误码率(Bit Error Ratio,BER)性能，而被认为是大规模MIMO系统最具有潜力的检测算法之一。与具有检测性能最优的最大似然(Maximum Likelihood,ML)算法[8]相比，虽然MMSE检测算法复杂度得到了极大程度的降低，但仍存在高维矩阵求逆运算，复杂度为O(K3)。因此，近年来国内外学者着重于研究基于MMSE的近似检测算法来避免矩阵求逆。文献[9]提出利用Neumann级数展开算法，实现了复杂度从O(K3)到O(K2)的降低，但性能损失很大。文献[10]提出了一种共轭梯度法，能够实现比Neumann级数展开算法更优的性能，但是性能受搜索方向和步长影响较大。一些文献也提出了通过求线性方程最优解避免矩阵求逆，如理查德森迭代[11](Richardson,RI)、雅克比迭代[12](Jacobi,JC)、对称连续超松弛迭代[13](Symmetric Successive Over-Relaxation,SSOR)、Kaczmarz迭代[14]等算法虽然可以有效降低复杂度，但收敛性并不是很好。

针对天线规模增大而出现的传统检测算法高维度矩阵求逆等问题，本文将高斯-赛德尔[15](Gauss-Seidel,GS)迭代算法应用于大规模MIMO系统中，通过求解线性方程来避免复杂的高维度矩阵求逆，从而得到发送向量估计值。为了进一步加快GS算法收敛速率，本文提出一种低复杂度BGS信号检测算法，将MMSE检测器的滤波矩阵进行分块预处理，然后通过构造分裂矩阵来加快算法的收敛速率，最终达到提高算法检测性能的目的，且该算法的复杂度能够在任意迭代次数下保持O(K2)。仿真结果显示，BGS算法的性能比传统GS迭代和Neumann级数展开算法更好，而且能以较少的迭代次数逼近MMSE检测算法的性能曲线。在设定近似初始值后，能够进一步提升BGS算法检测性能。

1 系统模型

考虑在大规模MIMO系统上行链路中，每个用户配置单根天线。令K和N分别表示用户侧和基站侧的天线数量，且信道为瑞利衰落信道(该信道可用等效基带信号表示，也就是说可以用复数来同时表示信道的衰减和时延特性，复数的模描述了信道对信号的衰减，复数的相位描述了信道对信号的时延，且它的实部和虚部服从于零均值的独立同分布高斯过程)，则接收信号模型可用式(1)表示：

yN×1=HN×KxK×1+nN×1。

(1)

式中：y=[y1,y2,…,yN]T∈CN×1表示接收信号；x=[x1,x2,…,xK]T∈CK×1表示发射信号；n=[n1,n2,…,nN]T∈CN×1表示服从均值为0、方差为σ2分布的加性高斯白噪声；H∈CN×K表示瑞利衰落信道矩阵，H(j,i)表示第i根发射天线到第j根接收天线的信道衰落系数。为了避免复杂的复数运算，可将式(1)转换为等价的实数模型：

y=Hx+n。

(2)

式中：y∈R2N×1，x∈R2K×1，n∈R2N×1，H∈R2N×2K。即式(2)可以表示为

(3)

式中：Re(·)和Im(·)分别表示复数的实部和虚部。

MMSE检测算法可以实现渐近最优的系统性能，其发送信号的接收估计值可以表示为

(4)

在MMSE检测算法中，若有一个可逆矩阵X与滤波矩阵W近似，并满足

(5)

则W-1可用式(6)表示：

(6)

当N≫K时，W具有对角占优特性。若式(6)中的X用D来表示：

(7)

式中：D为W的对角矩阵，E=W-D。在Neumann级数展开中，若只取式(7)的前i项，则

(8)

虽然该算法在极大程度上减少了算法复杂度，但是当i≥3时，其计算复杂度仍为O(K3)。

2 基于GS改进的检测算法

2.1 BGS迭代算法

本文将矩阵求逆问题转换为求解形如Ax=b的K维线性方程。在大规模MIMO系统中的信道矩阵H满秩，并且满足列渐进正交，因此W是对称正定矩阵。基于此，可以引入GS算法求解该问题。为了进一步加快GS算法收敛速率，本文提出的BGS信号检测算法对GS算法的滤波矩阵分解进行优化处理，将分解公式W=D-L-U中的对角矩阵D转化为分裂矩阵DB。而分裂矩阵DB则是由滤波矩阵W进行分块预处理构造，可以表示为

(9)

式中：ai,j和di,j分别表示矩阵A和矩阵DB的第i行第j列元素。

将DB带入GS算法的分解公式，则

W=DB-LB-UB。

(10)

式中：DB为W的分块对角矩阵，LB和UB分别为W的分块下三角矩阵和分块上三角矩阵。

因此，BGS算法的迭代方程为

(11)

式中：x(0)是初始解。

令B=(DB-LB)-1UB，则式(11)表示为

(12)

式中：B表示BGS算法迭代矩阵。

综上所述，基于BGS的信号检测算法伪代码如下：

输入：信道衰落矩阵H，接收信号y；

(1) 计算MMSE滤波矩阵W=HHH+δ2I；

(3) 初始化：x(0)=0；

(4) 根据式(9)计算分块对角矩阵DB；

(5)计算LB和UB；

(6)循环

(7) fori=0,1,2,3,…

(8) 根据式(11)更新x(i+1)；

(9) end for

在大规模MIMO系统中，由于N≫K，所以为了减少算法收敛所需要的迭代次数，采用一种近似的初始估计值[16]，如下所示：

(13)

式中：D表示W的对角矩。

2.2 收敛性分析

迭代矩阵B=(DB-LB)-1UB的特征多项式为

|λI-B|=|λI-(DB-LB)-1UB|=

|(DB-LB)-1(λ(DB-LB)-UB)| 。

(14)

由于|(DB-LB)-1|≠0，所以特征值满足

|(λ(DB-LB)-UB)|=0 。

(15)

又因为滤波矩阵W具有对角占优特性，所以式(15)高次方程的根模|λ|<1，因此该迭代过程是收敛的。

2.3 复杂度分析

(16)

由式(16)可知，所提出的BGS信号检测算法的第i次迭代的计算复杂度来自两部分[17]。

第二部分是求解线性方程(16)。令F=(DB-LB)，式(16)的计算如下：

当m=1时，

(17)

当m=3,5,…,K-1时，

(18)

式(17)和(18)中的fm,m表示F的第m行m列元素，m=1,3,5,…,K-1。

综上所述，该算法的复杂度能够在任意迭代次数下保持O(K2)。表1给出了不同算法的计算复杂度。

表1 不同算法的复杂度

3 仿真与分析

3.1 收敛率仿真

为了验证本文所提出算法的收敛速率，本节通过Matlab仿真，对比分析基于GS信号检测算法和基于BGS信号检测算法的收敛性。设基带信号为64QAM调制，K=16，并定义α=N/K。以‖x(i+1)-x(i)‖作为检测算法收敛误差的准则，两种算法在不同天线规模下的收敛误差仿真如图1所示。

图1 不同算法的收敛速率对比

图1中可以看到，GS算法和BGS算法在大规模MIMO信号检测中的收敛性较好，能够以较低的迭代次数使收敛误差达到在10-5。此外，当天线规模相同时，本文所提出的BGS算法的仿真曲线位于GS算法的下方，可以判断出BGS算法收敛速度更快，并且算法的收敛速度随着α的增加而加快。

3.2 BER性能仿真

为了验证本文所提出算法的检测性能，本节给出Matlab环境下的蒙特卡洛仿真结果，对比分析MMSE算法、Neumann算法、GS算法以及BGS算法在不同天线规模和调制阶数下的BER性能。大规模MIMO系统上行链路中，假设每个用户为单天线模式。在瑞利衰落信道中，设置各天线的发射功率为1 W，基带信号调制方式为64QAM调制，天线规模N×K为64×16、128×16、256×16的仿真结果分别如图2(a)～(c)所示，其中i表示不同算法迭代次数以及Neumann级数的展开项数。

图2 64QAM调制下不同检测算法的BER性能对比

由图2(a)可知，当迭代次数i增加时，不同算法的检测性得到了不同程度的改善。以MMSE算法BER性能曲线作为参考，在迭代次数相同的条件下，Neumann级数和GS算法检测性能不如BGS算法。在大规模MIMO系统中，BGS算法中的分裂矩阵DB比GS算法中的对角矩阵D含有更多的信道信息，可以有效降低系统的误码率，加快算法收敛速率，以较少的迭代次数逼近MMSE检测性能。在N×K为64×16、迭代次数i=4时，BGS算法的检测性能便能和MMSE算法相匹配。当基站侧的天线数量增加时，能提供的分集增益越高，通过分析图2可以看出，不同算法的检测性能都随着α的增加而得到极大的提升。在相同误码率下，N×K为64×16时比N×K为128×16时需要的信噪比更高，而N×K为128×16时比N×K为256×16时需要的信噪比更高，且N×K为256×16的性能比N×K为64×16的性能有8 dB左右的增益。

此外，在相同信道和天线发射功率下，设置基带信号调制方式为256QAM调制，天线规模N×K为64×16、128×16、256×16的仿真结果分别如图3(a)～(c)所示，其中i表示不同算法迭代次数以及Neumann级数的展开项数。

图3 256QAM调制下不同检测算法的BER性能对比

由图2和图3可知，当采用256QAM调制时，各算法所需要的信噪比比64QAM调制更高，其性能损失超过了5 dB。此外，当N×K为128×16时，BGS算法只需要迭代3次就可达到近似MMSE检测算法的BER性能，此时BGS算法复杂度仅为MMSE算法的16.41%，对比GS迭代算法复杂度降低了12.5%。

为了进一步提高高阶调制下系统的检测性能，采用式(13)的近似初始估计值与零向量初始值进行仿真比较。设基带信号为256QAM调制，N×K=256×16，i=2的仿真如图4所示。

图4 设置初始值的BGS算法BER性能对比

由图4可知，若采用近似初始值，BGS算法能在迭代次数i=2时接近MMSE的BER性能曲线，而此时算法的复杂度仍然保持在O(K2)。因此，采用近似初始估计值的BGS算法在高阶调制下的大规模MIMO系统中具有较好的检测性能。

4 结 论

本文引入GS算法来求解大规模MIMO信号检测高维度矩阵求逆问题，通过迭代得到发送信号估计值。为了加快算法收敛速率，提出了BGS信号检测算法。通过理论分析，BGS算法复杂度能够在不同迭代次数下保持在O(K2)；通过仿真分析，在大规模MIMO系统中，不仅BGS算法收敛性较好，而且检测性能比Neumann级数算法和GS算法也更好。在设置近似初始值后，在高阶调制下的大规模MIMO系统中也能够近似MMSE检测性能。由理论推导和仿真分析可知，BGS算法可适用于大规模MIMO信号检测。