基于复变函数的斜顶巷道围岩应力分布解析解

贺 凯，常聚才，李万峰，李世辉，李 冬

(1.安徽理工大学煤矿安全高效开采教育部重点实验室，安徽 淮南 232001；2.淮河能源控股集团有限责任公司，安徽 淮南 232001)

在开采倾斜煤层时，回采巷道往往沿煤层顶板掘进，以达到不破坏巷道顶板的目的。因此，形成了应用广泛的斜顶巷道。斜顶巷道围岩的应力分布是其支护设计的重要依据，但是，由于斜顶巷道断面的不规则性，其应力分布的求解是一个难题。前苏联科学家穆斯海里什维利提出的复变函数法可用于求解斜顶巷道围岩应力分布的解析解[1]。国内外学者运用复变函数法对不同断面巷道围岩应力分布做了很多研究[1-14]。萨文[2]和陈子荫[3]求解了各向异性弹性条件下椭圆形断面巷道的应力分布解析解；施高萍等[4]分析了原岩垂直应力和水平应力对矩形巷道顶板和巷帮中点的应力集中系数分布的影响规律；陈凯等[5]采用复变函数解法对矩形巷道围岩弹性应力分布进行了求解，获得了基于曲线坐标系的应力张量解析解，分析了高宽比和侧向压力对围岩应力分布的影响规律；侯化强等[6]通过复变函数法和弹塑性理论提出了矩形巷道围岩具有塑性滑动区、裂隙扩展区及围岩稳定区的“三区”理论；宁德义[7]结合复变函数法和鲍尔丁-汤姆逊黏弹性本构模型，得到深部矩形巷道围岩的粘弹性应力分布；袁林等[8]结合复变函数和广义开尔文模型推导出了矩形巷道周边应力集中系数表达式，并分析了应力集中系数和时间的关系。其他关于不同断面巷道围岩应力分布的研究还如文献[9-14]所示。现有文献对椭圆形、矩形等规则断面巷道围岩应力分布研究较为充分，但是缺少针对斜顶巷道的相关研究。参考前人的研究成果，采用复变函数法求解斜顶巷道围岩应力分布解析解，以淮南矿业集团潘三煤矿17102(3)运输巷为工程背景，讨论斜顶巷道围岩主应力和主应力集中系数的分布规律。

1 斜顶巷道围岩应力分布求解

深埋地下的斜顶巷道可以看成无限大平面的孔口问题，所受围岩压力用垂直压力σV、水平压力σH和剪应力τ表示，斜顶巷道受力模型如图1所示。

图1 斜顶巷道受力模型

斜顶巷道围岩应力分布求解的具体步骤是：首先，将斜顶巷道外域通过共形映射函数映射到复平面上的单位圆内；其次，依据共形映射函数和边界条件确定两个表征应力分布的复位势函数的基本形式；然后，根据边界条件运用复分析的相关知识求解表征应力分布的复位势函数；最后，由复位势函数求得应力分布[1-3]。

1.1 共形映射函数

黎曼映射定理表明[15，16]，通过共形映射函数ω(ξ)可将实平面上的斜顶巷道围岩区域映射到复平面上的单位圆内，如图2所示。

图2 共形映射

针对不规则断面巷道，共形映射函数ω(ξ)无法使用有限初等函数项表示，将其展开为Laurent级数，并取有限项作为对共形映射函数ω(ξ)的近似：

式中，ξ=ρeiθ代表单位圆所在的复平面上点的坐标；An和Bn为实数，取值与巷道断面形状有关；N表示Laurent级数的阶数。本文根据参考文献[15，16]提出的算法，运用科学计算软件编程，求解An和Bn。当N趋向无穷大时，共形映射函数在巷角处的曲率半径趋近于0。因此，巷角处的曲率半径可用于度量共形映射函数的精度，曲率半径越小表明共形映射函数精度越高。曲率半径公式为：

式中，θ0表示巷角对应的单位圆上点的极角。实平面上点的坐标与复平面上点的坐标之间的对应关系为：

式中，函数Re表示取复数的实部；函数Im表示取复数的虚部。将式(3)代入式(2)即可求得巷角的曲率半径。

设点A在巷道断面边界上，点B在共形映射函数ω(ξ)的映射图形上。当N趋向无穷大时，共形映射函数ω(ξ)的映射图形与巷道边界重合，此时如果点A与点B重合，则称其为一对对应点。当点A和B表示任意一对对应点时，可定义共形映射函数的最大绝对误差为：

式中，xA、xB、yA和yB表示点A和B的坐标；函数max()表示取最大值。

1.2 复位势函数的求解

围岩应力可由2个复位势函数φ(z)和ψ(z)确定。针对斜顶巷道围岩应力分布求解问题，复位势函数形式为[1-3]：

式中，复变函数φ0(ξ)和ψ0(ξ)表示在定义域内满足柯西-黎曼条件的解析函数，见式(6)；α取值与围岩所受压力有关，见式(7)。

式(6)中系数an和bn为复数。通过巷道表面的边界条件可求得系数an和bn。依据Harnack定理[1，2]，可将巷道表面的边界条件等效为两个泛函方程：

式中，γ表示巷道边界曲线；f0与巷道边界条件有关，取值为：

将式(6)、(7)和(9)代入式(8)，并利用Cauchy积分公式，即可求得复系数an和bn，具体求解过程见参考文献[1-3]。然后可通过式(10)求得围岩应力分布。

由式(10)计算得到的应力分量是基于共形映射函数ω(ξ)确定的曲线坐标系[1]，需要将曲线坐标系中的应力分量变换到直角坐标系中。由微分几何学可得曲线坐标系到直角坐标系的方向余弦矩阵为：

直角坐标系中的应力张量与曲线坐标系中应力张量可按下式转换：

2 斜顶巷道应力分析

以淮南矿业集团潘三煤矿17102(3)工作面运输巷为例，分析斜顶巷道围岩应力和应力集中系数分布特征。此巷道断面如图3所示。依据地应力测试结果，取垂直应力σV=16.8MPa，水平应力σH=13.3MPa，剪应力τ=0.5MPa。

图3 斜顶巷道断面(mm)

2.1 共形映射函数求解结果

依据文献[15，16]中提出的共形映射函数求解方法，运用科学计算软件编程求解斜顶巷道外域到单位圆内的共形映射函数的系数An和Bn。Laurent级数的阶数N不同时，共形映射函数的映射图形如图4所示。由式(4)可计算得到共形映射函数的最大绝对误差随阶数N增加的变化曲线，如图5所示。

图4 阶数N不同时共形映射函数的映射图形

图5 最大绝对误差随阶数N增加的变化曲线

由图4和图5可知，随着阶数N的增加，共形映射函数很快收敛到巷道断面边界。同时，共形映射函数的最大绝对误差迅速减小。当阶数N大于22时，共形映射函数的最大绝对误差减小缓慢，且此时的最大绝对误差很小。因此，取阶数N为22。系数An和Bn的求解结果见表1。

表1 斜顶巷道共形映射函数系数

由图5可知，真实巷道边界与求解得到的斜顶巷道共形映射函数近似的巷道断面边界之间的最大绝对误差为14.3mm。由式(2)可得四个巷角的曲率半径分别为31.4mm、31.1mm、26.7mm和56.8mm。对比文献[15，16]中共形映射函数的误差可得，斜顶巷道共形映射函数精度很高，同时考虑到实际工程中超挖和欠挖现象，本文求解得到的共形映射函数可满足计算要求。

2.2 斜顶巷道主应力和主应力集中系数分布规律

图6 斜顶巷道主应力分布

由图6(a)和图7(a)可知，斜顶巷道最大主应力和最大主应力集中系数呈现肾脏形分布。两帮最大主应力和最大主应力集中系数大于顶底板。在巷道角点处，最大主应力和最大主应力集中系数达到最大值，最大主应力最大值超过了35MPa，最大主应力集中系数最大值超过了4.5。

由图6(b)和图7(b)可知，斜顶巷道最小主应力和最小主应力集中系数呈现花形分布。巷道表面的最小主应力和最小主应力集中系数为0。在两帮和顶底板围岩中部，最小主应力和最小主应力集中系数较小。在巷道角点处，最小主应力和最小主应力集中系数达到最大值，最小主应力最大值超过了35MPa，最小主应力集中系数最大值超过了2.5。

由图6(c)和图7(c)可知，两帮最大剪应力和最大剪应力集中系数大于顶底板。由Mohr-Coulomb岩石强度准则可知，围岩内一点最大剪应力越大，围岩发生破坏失稳的可能性越大。由此可知顶底板较两帮稳定。在巷角处，最大剪应力和最大剪应力集中系数达到最大值，最大剪应力最大值超过了35MPa，最大剪应力集中系数最大值超过了8。表明巷角是斜顶巷道中稳定性最差的部位，加强巷角的支护强度有利于维护巷道稳定。

图7 斜顶巷道应力集中系数力分布

3 结 论

1)斜顶巷道的共形映射函数的最大绝对误差为14.3mm，四个巷角的曲率半径分别为31.4mm、31.1mm、26.7mm和56.8mm。斜顶巷道的共形映射函数精度很高，可用于斜顶巷道应力分布求解。

2)斜顶巷道围岩最大主应力、最小主应力、最大剪应力及其应力集中系数的最大值均出现在巷角处，主应力分量最大值均超过35MPa，主应力集中系数最大值分别超过4.5、2.5和8，巷角是斜顶巷道的薄弱部位，加强对巷角的支护强度有利于提高斜顶巷道围岩的稳定性。

3)两帮最大剪应力整体上大于顶底板，同时，最大剪应力集中系数也大于顶底板，两帮稳定性较顶底板稳定性低，加强对巷道两帮的支护强度有利于提高巷道整体稳定性。