等量异号双环电荷在轴线上产生匀强电场条件的研究*

周群益

(广州理工学院通识教育学院 广东 广州 510540)

莫云飞

(长沙学院电子信息与电气工程学院 湖南 长沙 410022)

侯兆阳

(长安大学理学院 陕西 西安 710064)

周丽丽

(赣南医学院医学信息工程学院 江西 赣州 341000)

1 引言

两个半径和电流大小方向都相同的共轴通电线圈的距离等于半径时，中间部分接近于匀强磁场，这种线圈称为亥姆霍兹线圈[1～3]．两个大小相同的共轴圆环带有等量异号电荷时，简称为带电双环．当双环很近时，在远处产生的电场等效于一个电偶极子产生的电场[4]．与亥姆霍兹线圈类似，当两环之间的距离等于某一临界距离时，两环之间的电场接近于匀强电场．文中说明了双环之间的场强随距离变化的规律，求出了临界距离和临界电场．

2 轴线上的电场随距离的变化

如图1所示，取z轴为两环共轴，原点取在两环正中间．设两个圆环的半径为a，距离为2L，均匀带有等量异号电荷±Q．

图1 等量异号共轴双环电荷的场强

当均匀正负圆环电荷中心位于原点时，在轴线上产生的场强为[2～4]

(1)

场强和距离无量纲化处理后关系如图2所示，带正电荷的圆环在轴线上产生的场强用先负后正的虚线表示，带负电荷的圆环在轴线上产生的场强用先正后负的点虚线表示，当两环重合时，L=0,合场强为零用实线表示．

图2 双环电荷轴线上的电场强度(L = 0)

两条曲线都有一个“峰”，E±(z)对z求导数，可得

(2)

(3)

如图3所示，正电荷向左,负电荷向右拉开双环，当L= 0.1a时，原点处的合场强形成一个“峰”，称为“主峰”．“主峰”附近的电场并不均匀．

图3 双环电荷轴线上的电场强度(L = 0.1a)

继续拉开双环，“主峰”不断长高．如图4所示，当L= 0.707 11a时，两个环的“峰”重叠，合场强的“主峰”达到最高．

图4 双环电荷轴线上的电场强度(L = 0.707 11a)

继续拉开双环，“主峰”不断降低．如图5所示，当L=a时，两个环的“峰”错开，“主峰”降低一些．

图5 双环电荷轴线上的电场强度(L = a)

继续拉开双环，“主峰”将分裂为两个对称的“次峰”．如图6所示，当L= 2a时，“主峰”变成了“主谷”．“主谷”附近的电场也不太均匀．

图6 双环电荷轴线上的电场强度(L = 2a)

3 轴线上的临界距离和临界电场

在“主谷”的两侧各有一个对称的拐点．如果减少双环之间的距离，两个拐点将向中垂线靠拢．当两个拐点恰好在中垂线重合时，“主谷”消失，两个“次峰”就合并为一个“平峰”，这个距离是临界距离．

在图1中，左环正电荷在场点轴线点P处产生的电场强度为

(4)

右环负电荷在轴线上场点P处产生的电场强度为

(5)

合场强为

E(z) =E1(z) +Ez(z)=

(6)

L是两环之间的半距离，是决定场强分布规律的参数．将E(z)对z求导数得

(7)

二阶导数为

(8)

解得

(9)

2LC是两环之间的临界距离，LC就是临界半距．这种双环称为临界双环或亥姆霍兹双环．临界双环在z= 0处的临界场强为

(10)

临界双环的电场强度如图7所示，在原点附近电场比较均匀．

图7 临界双环轴线上的电场强度(L = LC)

4 公式的无量纲化和MATLAB程序

取半径a为长度单位，则无量纲的坐标和距离为

(11)

(12)

MATLAB的计算功能和图形功能都很强，根据公式可设计一个简短的程序，完成各种曲线的计算和绘制(见附录)．

5 结束语

静电学和恒磁学往往有一些相似的问题．既然亥姆霍兹线圈可以在轴线上产生均匀磁场，也应该存在“亥姆霍兹双环”在轴线上产生均匀电场．这是一种十分有趣的联想．利用亥姆霍兹线圈磁场的求法，即可求得临界双环的电场．

利用MATLAB能够简单地求出临界距离，还可以将双环电荷所形成的电场随距离的变化过程用动画演示出来．