整体建构小学数学知识结构 使学生的认知走向通透

黄平

“关系数学”观认为，数学学科中的任何知识、方法、思想都不是孤立的，都是与其他数学知识、方法、思想相关联的。在小学数学教学中，秉持这样的一种“关系”数学观，有助于实施整体性教学。整体性教学，需要教师对数学知识进行整体解读，需要教师引导学生整体建构，需要教师引导学生整体反思，从而让学生的数学学习呈现出一种有机的结构样态、体系样态。整体性教学能有效地提升学生的学习力，让学生的认知走向通透。

一、对数学知识的整体解读

在数学教学中，教师首先要对数学知识进行整体性解读。整体性解读，包括课时内容解读、单元内容解读、类知识解读以及跨教材、跨学段解读。这是一个从宏观到微观、又从微观到宏观的反复解读的过程。宏观上，整体性解读就是要把握数学知识的“高观点”“大概念”，从而让教师形成教学的“大视野”;微观上，整体性解读就是要“见微知著”，就是要让教师能从“知识点”中发现“知识线”“知识面”乃至于“知识体”。

在对数学知识进行整体性解读过程中，教师要以“高观点”来驾驭，对相关数学知识进行左顾右盼、瞻前顾后。首先，从大的方面来划分，要明确这一数学知识属于哪个数学领域，“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”还是“综合与实践”;其次，在同一个数学学科领域比如“数与代数”之中，要考量属于“概念”“计算”还是“应用”等;再次，要解读显性的数学知识背后的隐性的数学思想方法。例如：解读“公顷和平方千米”（北师大版五年级上册）这部分内容，很多教师往往只关注这一课时内容，缺乏对数学知识整体性解读，结果造成了学生所获得的数学知识都是点状、孤立的，时间久了就会走向认知模糊。笔者在对这部分内容进行解读过程中，尝试将“公顷和平方千米”放置到面积单位系统中去进行解读、考量，构建了一种整体性的知识关联。将“平方十米（公亩 ）”放置其中，将“公顷”解释为“平方百米”，从而构建了“平方毫米”“平方厘米”“平方分米”“平方米”“平方十米（公亩）”“平方百米（公顷）”“平方千米”等的序列，这样的序列有助于学生对数学知识进行整体性建构。不仅如此，在知识解读中，笔者还将“面积”“面积单位”与“长度”“长度单位”进行比较，并将这样的一种解读延伸、拓展到“体积”“体积单位”“体积单位之间的进率”。

计量单位的学习主要有两个方面的内容，其一是引导学生建立计量单位的大小（量值）的概念，其二是让学生把握计量单位之间的关系。整体性解读能实现这两个方面教学内容的统一。在数学教学中，如果教师仍然以“知识点”作为教学单位，以“课时”作为组织单位，那么学生获得的知识就是碎片化、单子式的。而如果教师以“类知识”作为教学单位，以“板块”作为组织单位，则能让学生进行整体性、系统性、结构性的学习。

二、对数学知识的整体建构

对数学知识的整体性建构，是指教师在教学中将“相邻”“相关”“相反”“相近”等内容进行整合，从而让学生对数学知识的理解能达到举一反三、触类旁通。对数学知识的整体建构，有时需要对原来的教材内容进行解构，进而对原来的教材内容进行整合、重构。整体性建构以“结构”为中心，将教学变成了动态的、发展的、有个性的再创造学习过程。对数学知识的整体性建构，让学生的学习空间从封闭走向开放，让学生的知识结构从平衡走向新的不平衡，让学生的探究过程从无序走向有序。

对数学知识的整体性建构，包括“预建构”“互建构”和“深建构”。在预建构中，教师要为学生的自主思考、探究预留充分的可能性时空;在互建构中，教师要引导学生深度研讨、交流，让学生的思维、认知相互碰撞;在深建构中，要让学生重塑学的角色。比如“正比例和反比例”（北师大六年级下册）这一学习内容是六年级的重点学习内容，这一学习内容是建立在学生已经学习的“比”“比例”等相关知识基础上展开的。在教材中，“正比例”和“反比例”是分开来进行教学的。尽管这样的一种“各个击破”的编排方式有助于学生掌握正反比例的意义，但也容易导致学生数学学习的模式化、判定数量关系的机械化。为了提升学生的问题解决能力，培育学生的问题解决灵性，笔者在教学中，将这部分内容整合起来进行整体性教学。首先，正反比例尽管知识内容不同，却有着相同点，都是“两种相关联的量”。为此，笔者在教学实践中，将正反比例整合起来进行整体教学。通过出示多种表格（不相关联、和一定、差一定、商一定和积一定），引导学生探究分类。学生首先将数量关系表格分成两类：一类是不相关联的量;另一类是相关联的量。在此基础上，引导学生认识深入分析相关联的量，将“商不变的数量关系”以及“积不变的数量关系”进行比较，从而让学生厘清正反比例的意义。通过整体性教学，学生形成了整体性的认知，如“相关联的量不一定成比例”“成比例的量一定相关联”，如“两种量商一定就成正比例”“两种量积一定就成反比例”，等等。整体性建构有助于学生在比较中鉴别，从而把握知识的本质属性。

对数学知识的整体性建构，要放眼学科知识的长度、俯瞰学科知识的广度、凝视学科知识的厚度。作为教师，要用数学学科内在的“组织形式”“构成秩序”将知识进行统整、融合，从而形成学科知识结构。借助于学科知识结构，就能形成学生数学学习的整体性观念、整体性意识。通过整体性知识建构，能有效地提升教师的课堂教学效益，促进学生数学学习力的提升。

三、对数学知识的整体反思

整体性教学不仅包括整体性建构，还包括整体性反思。在学生学完一段知识之后，教师有必要将学生已有知识提取出来，引导学生比较、勾连，从而促进学生对数学知识的整体反思。在整体性反思过程中，教师要力图用整体性的思想、观念、上位知识等进行统驭。反思的过程，就是梳理知识的过程，就是感悟数学思想方法的意义的过程。通過整体性反思，能提升学生的数学认知。

在整体性反思中，学生的数学认知从“点状”走向“线性”，从“个别”走向“整体”，从“单一”走向“多元”。比如“因数和倍数”（北师大五年级上册）“分数的意义和性质”（北师大五年级上册）以及“分数的加法和减法”（北师大五年级下册）这些内容，尽管它们被教材编排在不同的年级、单元之中，但它们之间有着密切的关联。因此，在教学相关知识之后，教师要引导学生进行整体性反思。如在教学“分数的意义和性质”时，可以引导学生反思“因数和倍数”;在教学“分数的加法和减法”时，可以引导学生溯源，如计算“分数的加法和减法”的主要方法就是“通分”，而“通分”的依据是“分数的基本性质”，而“分数的基本性质”的灵活运用诸如约分、通分等离不开“最大公因数”和“最小公倍数”，进而离不开“因数和倍数”这一单元的相关知识。这样的整体性、溯源性反思，能让学生切身感受、体验到数学知识的前后贯通性、整体性、结构性，并且认识到先前的学习对于现在学习的功能、作用、意义，同时也能认识到现在的学习对以后学习的功能、意义和价值。如此，让学生数学认知形成了一个整体性、系统性、关联性的结构，对“源知识”“数学知识前后关联”产生了一种通透性的把握，并进而达成了触类旁通、连点成线、结线成网的教学效果。

整体性教学是小学数学教学的理性回归与突围。整体性教学超越了单元教学，它以“类知识”“类结构”作为载体、媒介、支撑。借助于整体性教学，实现了数学教学目标与过程的统一、教学预设与生成的统一、数学知识与能力的统一。整体性教学真正实现了教师“有深度的教”以及学生“有深度的学”。整体性教学，有效地提升了学生的数学学习力，发展了学生的数学核心素养。

■ 编辑/魏继军