公理演绎体系对初中生数学学习的启发

晋家奎

摘要： 数学思维是指通过大脑而实现对于现实存在物体及其他空间属性对象间的一种数量关系和本质特征的理论反映。笔者认为，数学课堂应该是美丽且合乎理性的。初等阶段的数学知识的学习尤其重要，其作为建立在数学大厦底层的基石，决定着未来各类学科取得巨大成就的上限。然而，许多初中生在研究和学习语文数学这一一门理论性极强的综合型学科时，往往都存在着两个重要问题：一就是其认知能力水平的限制，使其认知思维过程中形成了一个逻辑闭环; 二是其心智的不成熟使其易受到情绪影响。因此，亟待从理论层面论述公理演绎体系和良好的心态对初中生进行数学学习的启发式作用，从而对其学习数学知识起到极大的帮助。

关键词：初中生 公理演绎体系 邓宁-克鲁格心理效应 中学数学

如何学好中学数学？我想这是许多家长和学生都在思考的一个问题。对于成绩的提高，和绝大多数事情一样，老师只是外因，但最重要的是学生自己（内因）。有两种孩子我是不太愿意在他们身上浪费时间的：1. 懒惰，自己不想学习的孩子。有一句话叫做“天助自助者”，如果一个人自己不愿意改变，没有人能够帮得了他。2. 自以为是。有些孩子扫一眼别人的中肯建议，然后不加以尝试和实践，便说“这个方法不适合我”。不好意思，你没有那么特别。人的共性远远大于个性，这是教育有存在必要的逻辑基石。我不相信“适合你的方法”，只相信科学的方法。以升学考试为例，数学是其中最容易拉开差距的一门课程。基础扎实，认真踏实的学生往往能考到近乎满分;而普通学生可能被其甩开二三十分。因此有言：得数学者得中考。笔者认为，学好数学的两大关键在于：1.扎实的理论基础、清晰的逻辑体系;2.正确的心态。基于上述，以公理演绎体系为主进行理论知识的学习与思维框架的搭建;辅之以邓宁的心理效应积极调节心态，自信面对困难，对初中生数学的学习将会有着极大的帮助与启发。受之认知水平的局限性，初中生在思维上常常陷入逻辑闭环，对某个知识往往只停留在表面的理解层面，认为自身已经真正掌握了这个知识点。这种假象使自己进一步陷入盲目自信之中，即邓宁-克鲁格心理效应中所描绘的“自信之巅“。然而，这种缺乏逻辑思维体系和盲目自信的心态不利于中学生进行数学知识的学习。因此，亟待从理论层面论述公理演绎体系和良好的心态对初中生进行数学学习的启发式作用。

谈方法论：公理化演绎法及其体系

演绎方法是指从对于事物进行概括的一般性前提中推论得出具有个别性的结论[1]。其主要特点之一就是满足下列条件：1）若经过的为正确的推理过程2）如果所得到的结论也都是正确的。演绎法的基本格式为三段论：若 s （集合）具有 p 的性质（集合共性），且 s （ x ）为 s 的子集，则 s （ x ）具有 p 的性质。简化为，若大的前提成立，且小的前提也成立的话，得出的结论可以作为正命题。在科学中，最直接使用公理化的演绎方式就是对这种公理化的演绎。公理化的演绎主要是从一个或少数几个人的基本概念，公理，公设角度出发，通过逻辑的演绎推理，得出一系列的结论，建立起一套理论体系的方法。这些基本概念，公理，公式具有两个特点：1）最基础，不能被推导出 2）无需证明自证为真，为真命题。同时，由于演绎法的特点，在建立公理化理论的时候，需要尽可能的要求前提的正确性，既公理体系内部的无矛盾性与完备性。同时也需要要求推理过程的正确性。但是，公理并非真理，不能用静止的眼光去看待公理，科学往往是在公理体系理论内部的矛盾中突破而发展出新的理论。例如爱因斯坦根据伽利略相对性原理与经典电磁学的矛盾，提出新的公设，演绎推导，建立起狭义相对论。另一方面，随着人的认识不断进步，认识到更深一步的客观规律，旧的公理也可能不再是最基础不证自明的存在，例如由否定欧式几何的第五公设，而建立起的非欧集合。

人的共性往往大于个性，这是教育存在必要的逻辑基石。科学的学习方法，将对初中生进行数学学习起到正向促进作用。然而很多学生基础不扎实，不会用数学语言来学习概念，定理。正如我们上面所述，数学是一门十分严谨的学问。数学家们认为日常生活语言（如中文、英文）往往存在歧义，不利于理性思考。他们致力于从理论层面解决这一问题，于是从欧几里得的几何原本开始，就引入了几何语言（数形结合等）。而从笛卡尔开始，我们用字母抽象地代表数，从而诞生了代数语言（代数式、方程、不等式和函数自然随之诞生）。对于数学上的每一个概念，我们都应利用数学语言对其一丝不苟地理解，这样才能真正学好数学。例如：

什么叫做有理数？

许多学生往往支支吾吾，回答缺乏清晰的逻辑，这就是基础不扎实的标志。我们应当从公理演绎体系出发，用数学语言将其表达出来：

若一个数Q可以表示为 ，其中m，n均为整数，且m，n互质，则就称数Q为有理数

有了这个严格的数学语言的定义，并结合公理演绎体系，我们才能证明以下定理：（1）若p是无理数，q是有理数且q不等于0，那么pq是无理数。（2）若p是无理数，q是有理数，那么p与q进行加减运算后是无理数。请读者自证。在建立公理演绎体系的基础上，我们应盯住目标，将其和已知相结合，联想相关的定理，定义、方法，大胆猜测，小心求证！综上，构建公理演绎体系并将其融合到中学生日常学习数学的过程中，将会增强其思维逻辑性，从而更好地提升学生的数学能力。

鄧宁心理效应在初中生学习心态上的体现

现阶段初中生心智的不成熟，认知能力的局限性[2]，使其往往容易受到情绪波动，从而影响自己的日常学习。受之认知水平的局限性和心智的不成熟，初中生在思维上常常陷入逻辑闭环，对某个知识往往只停留在表面的理解层面，认为自身已经真正掌握了这个知识点。这种假象使自己进一步陷入盲目自信之中。然而，这种缺乏逻辑思维体系和盲目自信的心态，将会对日后数学学习产生极大的消极作用。从愚昧之巅到绝望低谷，上面这条曲线被称之为达克效应。这几乎是每个人认知前进的必经之路。简单点概括这个过程，当我们对某个事物完全不了解的时候，处于坐标系的零点位置，这时候的我们，知道自己不知道。但我们逐渐深入一点时，很快有一个开悟的过程，这种开悟会让我们觉得自己“都懂了”，“那玩意也不过如此”。这时的我们，就处于愚昧之巅。但打击就接踵而至，很快会陷入低谷，觉得太难了，这就是绝望低谷。在绝望低谷之后，是缓慢的回升，上图中叫开悟之坡。为什么会产生这个现象？因为这是认识事物从整体到细节的过程！整体是宏观的，简单的，概念化的，而细节是繁琐的，杂乱的，甚至无规律的。在数学学习过程亦是如此。

总结与展望

思维能力的培养和学生健康的学习心态往往被现阶段的中学老师所忽略，取而代之地是一味刷题、补课。殊不知，唯有将大厦的框架构建好、基石打牢，如此才能在数学这一美妙的道路上一直走下去。这对于学生后续在高中和大学数学的学习十分重要。因此我们在数学学习和解题中必须十分重视严谨性这一点，具体就是要做到每一步都要有理有据[3]。数学大多数的推理需要符合假言推理这种演绎推理模式。我经常对学生说： 学数学不能靠感觉，不允许说“我觉得…”，“我以为…”，每一步都要有理有据。同时，在知识的学习过程中，应认真踏实，保持良好、正确的心态。希望每位同学都能做到“一日三省”，以公理演绎体系为主进行理论知识的学习与思维框架的搭建;辅之以邓宁的心理效应积极调节心态，自信、勇敢地面对困难！在追寻真理的道路上越走越远！

参考文献

[1] 数学问题解决认知模式及教学理论研究[D].南京师范大学

[2] 徐速.《国内数学学习心理研究的综述》[J]心理科学

[3] 史宁中《数学课程标准若干思考》[J]数学通报1-5