拓展Lü系统的稳定性及有界性分析

王申鹏，崔岩，孙观，周六圆，赵少卿

（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620）

0 引言

1892年，Lyapunov发表博士论文《运动稳定性的一般问题》，系统性给出了稳定性的科学概念和研究方法，即Lyapunov稳定性理论。该理论简单、协调和恰当，逐步成为研究最充分、应用最广泛的稳定性理论。近年来，Lyapunov指数的概念引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。文献［1］研究了一类带外部噪声的不确定分数阶非线性系统有限时间稳定性及自适应滑模同步控制，文献［2］基于分数阶Lyapunov稳定性理论构造了控制器以及分数阶的参数自适应规则，实现了两个超混沌系统的同步。文献［3］针对分数阶时滞混沌系统设计了一种时滞相关的反馈控制器，利用Lyapunov函数法对整个误差控制系统的稳定性进行了证明。文献［4］运用Lyapunov稳定性理论，获取混沌金融系统达到渐近稳定的条件，构造其时滞系统控制器，进而实现混沌控制。文献［5］针对参数未知分数阶混沌Chen和Rössler系统的同步问题，选取了一个具有较强鲁棒性分数阶积分滑模面，应用Lyapunov稳定性理论，设计了自适应滑模控制器，利用模糊逼近的方法使系统到达滑模面的时间和抖振性能综合最优，最后实现了混沌系统的同步。文献［6］基于Lyapunov稳定性定理，通过输出反馈控制使得非线性分数阶系统稳定。文献［7］研究一类具有混沌同步的Lorenz时滞系统在零平衡点处的稳定性以及Hopf分支，得到了系统的稳定性开关和Hopf分支出现的条件，并讨论出分支周期解的分支方向、稳定性和分支周期的变化律。

在混沌系统的定性分析中，较为重要的是有界性，其能够将系统的全局化为局部，无穷变成有限[8-9]。文献［10］通过构造合适的Lyapunov函数，分别研究了T系统、分数阶金融系统与NSG系统的有界性问题。文献［11］研究了无刷直流发电机系统和一个新三维混沌系统，利用广义Lyapunov函数理论和优化理论研究了全局吸引集和正向不变集，实现了系统的全局同步。文献［12］运用Lyapunov函数直接方法和比较方法，结合Razumikhin技巧，分别讨论了系统解的有界性、一致有界性、最终有界性和系统关于两个测度的有界性的几个结论。文献［13］提出了具有唯一平衡点或两个平衡点的四维超混沌系统，通过构造恰当的Lyapunov函数证明不存在同宿轨与异宿轨， 表明此系统是非Shil’nikov意义下的超混沌。

本文提出了一种新的拓展Lü系统，从稳定性和有界性两方面对其进行整体性分析。稳定性是指系统通过内部的Lyapunov指数变化达到一种稳定状态。有界性是指系统在相平面内运动的过程中，其吸引子存在一个整体的有界范围。

1 拓展Lü系统

新三维二次型混沌系统可用以下形式描述：

其中a=-1，b=2。

2 稳定性分析

2.1 整体稳定性控制

通过非线性系统中的Lyapunov指数可以对其运动状态进行判断。若Lyapunov指数中存在一个正指数，则该系统是处于混沌状态，若Lyapunov指数均为负指数，则该系统是处于稳定状态。采用Lyapunov控制法[14]，可以控制非线性系统从混沌状态转变为稳定状态。

系统（1）属于三维二次型自治方程，当Lyapunov指数全部为负数时，该系统处于整体稳定状态。为此，可以令整个系统稳定控制在点A（2，3，5），Lyapunov指数为σ1=-2，σ2=-3，σ3=-2。

根据上述原理和参数设计控制器，实现系统的整体稳定性控制。

原系统表示为f，可得：

该系统的Jacobi矩阵为：

在系统中加入σ1，σ2，σ3，则受控系统的线性矩阵项为：

得出受控系统的常数项：

构造合适的线性控制器：

新的受控系统可以表示为：

2.2 数值仿真

采用MATLAB软件对新的受控系统进行数值仿真，令初始点为。

图2 受控系统y变量轨线稳定图

图3 受控系统z变量轨线稳定图

从图1、2、3中可以看出，通过添加一个线性控制器，系统中的Lyapunov指数均为负值，且运动状态能够快速收敛到点A（2，3，5），原系统的混沌现象被完全控制，从而得出该方法可以有效地实现对于拓展Lü系统的整体稳定性控制。

图1 受控系统x变量轨线稳定图

3 有界性分析

3.1 整体有界函数构造

通过全局吸引域可表现出系统的整体有界性，因此可以采用对拓展Lü系统进行整体函数构造的方法分析其整体有界性。

系统方程在全局吸引域中的整体性理论概述如下[15-17]：系统方程为设为混沌系统的解。若系统中存在常数则可通过构造Lyapunov函数表示整体有界性，若Lyapunov函数存在则有因此整个系统的轨线是呈现出一种收缩状态，整个系统的全局吸引域可以表示为若和则有整个 吸引域表现为正向的，呈现出整体有界状态。若系统中存在常数满足则可以得出Lyapunov指数不等式：该不等式一直成立，通过Lyapunov函数可以表示为系统的有界性为 。

因此系统（1）的Lyapunov有界性可以表示为：

证明：可以构造Lyapunov函数分析拓展Lü系统的整体有界性，该函数表示式如下：

对函数进行求导可得：

令

定义该函数：

分析函数可知，该函数 为二次函数，其局部最大值就是全局的极大值，即该函数的Lagrange极值 。

对函数求一阶偏导数

因此

3.2 整体有界性分析

利用构造出的Lyapunov函数中的不同取值，，从而得出有界域的估计方程。

（1）若m取值为0，则整体有界性估计式如下：

该有界性表现为一个圆柱形。

（2）若m取值为1，则整体有界性估计式如下：该有界性表现为一个球形。

该有界性表现为一个椭球形。

综上，该系统的整体有界性是在一定的范围内出现的。

4 结语

本文主要从稳定性和有界性两方面对拓展Lü系统进行整体性分析。根据Lyapunov稳定性理论，为使得整个系统达到稳定状态，通过控制系统内的Lyapunov指数，使其均为负值，可以实现系统稳定在期望点上。为证明该系统的整体有界性是在一定范围内出现的，可以通过构造合适的Lyapunov函数，分析其整体有界性。综上可以看出该拓展Lü系统有着较强的整体性，为其在保密通信等实际工程中的应用提供了更丰富的理论依据。