基于非裂变形式PML边界条件的高阶有限差分波动方程正演模拟

2021-07-09中国石油辽河油田勘探开发研究院

内江科技 2021年6期

◇中国石油辽河油田勘探开发研究院郝亮

在地震波正演数值模拟中，人工边界条件的引入会产生严重的边界反射，影响了计算结果的正确性。本文研究了非裂变形式PML边界条件，并将其用于高阶有限差分波动方程正演模拟之中，取得了良好的正演模拟效果，证实了非裂变形式PML边界条件的有效性。并分析了影响吸收效果的影响因素，分析结果表明，匹配层厚度越厚，吸收效果越好，衰减因子幅度越大，吸收效果越差。

在地球物理勘探中，地震波正演模拟具有十分重要的作用，通过开展地震波正演模拟的工作，可以加强研究人员对地下实际情况的认识能力，有利于解决实际地震勘探中的一些问题，主要有4点：①研究地震波的传播规律；②验证地震记录处理方法以及结果的有效性；③指导地震资料解释和储层预测；④作为地震反演研究的基础[1-3]。目前，地震波正演模拟的方法众多，主要有有限差分法、有限元法、伪谱法等。由于实际地震波时在无限空间中的传播，而地震波正演模拟的数值计算区域却是有限的，需要人为设置边界条件，从而减弱或消除边界反射对正演模拟结果的影响。到目前为止，国内外的研究人员提出了许多行之有效的边界条件，如Higdon边界条件、Clayton边界条件、PML边界条件等，其中PML边界条件及其改进的边界条件在地震波正演模拟中得到了广泛的应用[4-6]。本文主要采用非裂变形式PML边界条件进行了地震波正演模拟，并验证了其有效性。

1 非裂变形式PML边界条件

二维均匀横向各向同性介质声波方程为：

借鉴弹性波方程PML吸收边界条件的建立过程，可以得到二维声波方程非裂变形式的完全匹配层的控制方程：

为了消除边界反射，使用完全匹配层边界条件。如图1所示，将计算区域分为A、B、C、D、E、F、G、H、J个部分。J部分中、方向的衰减因子为零，也即不进行衰减。其他部分按如下余弦型衰减因子进行衰减：

图1 匹配层示意图

2 高阶精度有限差分

为了提高差分计算精度，空间方向偏导数通常使用高阶有限差分来计算，本文使用10阶精度有限差分，它能保证精度又有比较高的计算效率。由于时间方向采样间隔一般较小，时间偏导数使用2阶精度中心差分就能满足精度要求[5-6]。则可以得到基于非裂变形式PML边界条件的高阶有限差分方程：

3 模型测试

下面我们分别在数值模拟中加入文中的边界条件和不加边界条件，来分析文中方法的应用效果。模型空间网格为200×200，纵横向间隔都为5 m，时间采样间隔为1 s，源使用25 Hz的雷克子波，位于（100，100）处，速度为2000 m/s。图2左边图为没有加入边界条件的波场模拟时间切片（0.326秒），图2右边图为使用文中的边界条件的波场模拟时间切片（0.326秒），图2左边图中出现了明显的边界反射，图2右边图中没有出现边界反射，边界的干扰得到了有效压制。综上所述，文中的非裂变形式的PML边界条件能够压制边界反射，并且能取得良好的效果。

图2 吸收效果展示

为了得到更好的应用效果，我们对匹配层厚度和衰减因子幅度对吸收效果的影响进行了分析。使用文中的边界条件对双层介质进行了模拟。图3上边3幅图衰减因子幅度为100，匹配层厚度分别为10、30、50，由图可知匹配层厚度越厚，吸收效果越好。图3下边3幅图中匹配层厚度为50，衰减因子幅度分别为100、200、300，分析可知衰减因子幅度越大，吸收效果越差。