正态分布变差系数的置信区间研究★

徐晓岭，顾蓓青，王蓉华

（1.上海对外经贸大学统计与信息学院，上海 201620；2.上海师范大学数理学院，上海 200234）

0 引言

在可靠性工程研究中经常要用到变差系数、可靠度和可靠寿命的特征量，其置信区间的研究引起了广泛兴趣。变差系数是一个应用较广的参数，由于这一参数能很好地反映变量取值的分散程度，因此它是衡量产品质量稳定性的一个重要的可靠性指标。针对全样本场合，周源泉等编制了航天行业标准QJ 1355—1988《正态分布变差系数置信上限》，徐福荣等也编制了相同名称的国家标准GB/T 11791—1989。周源泉与翁朝曦在文献[1]中研究了正态分布变差系数的置信上限插值问题。周源泉在文献[2]中推导了正态变差系数的经典精确限，为了满足工程实践的需要，利用Odeh和Owen的计算方法及Brent算法，给出了较高精度的近似限。周源泉与李宝盛在文献[3]中针对正态分布的II型截尾样本在正态均值μ＞0时，首次给出了正态变差系数的精确上限。孙祝岭在文献[4]中研究了正态分布的变差系数估计问题，提出了一个新的枢轴量来构造变差系数的经典置信区间，给出了正态分布变差系数的具有简单表达式的精确置信区间。但文献[4]也存在一些问题：首先，其认为所给出的表达式很简单，实际上其计算也是较为麻烦的；其次，该计算方法依赖于样本数据出现的次序，也就是说，虽然样本数据相同，但如果出现的次序不一样，则其也会产生不同的计算结果；从其中所给出的算例来看，其不仅在计算置信下限时发生错误，而且其置信区间长度较长，计算结果并不可信。

首先，本文研究了正态分布均值μ与方差σ2的联合置信域，该联合置信域具有较好的优良性，在大样本场合其面积和已有的置信域的面积非常接近。其次，给出了变差系数的置信区间、单侧置信下限和单侧置信上限，并通过实例说明了该方法的具体应用。

1 正态分布均值μ与方差σ2的联合置信域

正态分布参数的联合置信域的研究成果不多，主要原因是其置信域形式复杂。陈光曙在文献[5]中得到了对数正态分布总体参数的联合置信域和置信域的面积公式。由此可知，如果将对数正态分布取对数即为正态分布，所以利用文献[5]可以得到两个参数的联合置信域。马春琳在文献[6]中研究了正态分布两个参数的面积最小的联合置信域。

设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为总体X的容量为n的一个简单随机样本，记：

1.1 定理1

设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为总体X的容量为n的一个简单随机样本，则在给定置信水平1-α下，参数（μ，σ2）的联合置信域G1为：

仔细观察两个参数（μ，σ2）的联合置信域G1可以发现，其中先给出方差σ2的区间，然后利用两个枢轴量的独立性得到均值μ依赖于方差σ2的一个区间。由于通常方差σ2的估计S2数值会相对大一些，方差σ2的区间也会长一点（造成的原因是χ2（n-1）分布不对称，如此处理得到的方差σ2的置信区间不是最短的），进而造成均值μ的区间也会相应地变长。由此联合置信域G1的面积SG1会变得更大。