基于LV的SD模型反馈关系判定

汪 勇 徐 韬 庞天泽

(上海市城市建设设计研究总院(集团)有限公司1) 上海 2001254) (重庆市市政设计研究院2) 重庆 400020) (西安建筑科技大学土木工程学院3) 西安 710055)

0 引 言

系统动力学(SD)方法是一种以系统内部信息反馈控制理论为基础，结合系统论、反馈控制论及决策论的系统仿真方法，它强调系统的行为模式主要取决于其内部的动态结构和反馈机制，通过变量间的反馈关系建立量化模型，利用计算机仿真模拟预测结果[1-2].

SD模型在构造过程中存在反馈关系不明显或处于动态变化的状态的反馈环，此时就无法直接构造反馈回路.需要将这些变量的反馈关系通过多种手段做出合理的量化.Peter[3]提出了系统动态反馈复杂性(system dynamic feedback complexity)的概念；Wolstenholme等[4-5]通过定义正负两对的反馈环来构造双循环基模，得出的模型更具有普遍性；国贾仁安等[6-7]提出了动态反馈复杂性层次分析的概念，利用流率基本入树建模法、枝向量矩阵反馈环计算方法、基模生成集法对反馈基模进行了深入了研究，创建了更贴合实际的系统运行全部反馈环分析法.这一系列方法为我国SD模型的研究提供了规范化的框架.

本文在上述研究的基础上，提出一种基于Lotka-Volterra判定理论(LV理论)的系统动力学(SD)模型反馈环节点研究的方法.LV理论是生态学中用以研究物种变化关系的重要理论，它的最大特点在于具有时变性质，能将不断变化的变量关系量化[8-9]，这为SD模型中动态反馈关系研究提供了思路.文中通过经济-人口-运输的系统背景，阐述运输子系统下运输方式关系变化对GDP的影响.

1 LV理论改进SD模型

1.1 经济-人口-运输系统关系

经济-人口-运输系统中存在多个反馈循环，可通过人口与运输两个子系统来预测经济水平子系统.人口子系统中研究的成果比较丰富，相关数据便于查询，但运输子系统是一个动态非线性的复杂系统，不仅受影响的因素多，而且系统内部各变量也在相互影响.以系统动力学的视角剖析整个经济-人口-运输系统，通过LV理论判定运输系统变量之间的动态变化节点，对LV判定环中关系不明确的反馈暂时用虚线标注.构建SD模型下的经济-人口-运输系统关系图，见图1.

图1 经济-人口-运输系统关系图

运输系统关系图中大致分为三个循环：①经济水平→人口数量→运输需求→运输价格→运输收益，此循环为负反馈；②经济水平→人口数量→运输需求→运输投资→运输运量→运输供给→运输收益，此循环为正反馈；③运输方式A→运输方式B→运输方式C，此循环无法直接判断，运输投资的增加会增大总体的运量，但该循环中各变量(即各种运输方式)间存在相互影响的关系，可表现为促进、竞争、单向影响或无关联的Logistic发展模式，即子系统中的单体变量的发展情况则需要通过LV理论分析界定.

经济水平直接促进运输需求的增长，同时运输需求增长可通过增加运输价格或增加运输投资两种方式实现，但由前面分析看出循环①是个负反馈过程，从系统角度来看，循环②增加运输投资才是促进经济发展长久之计.在循环②中存在更子一级别的循环③，循环③中各变量(即各种运输方式)的关系相互影响，并处于动态变化当中，为研究循环②下的运输经济效益，需对循环③中变量关系进行LV判定，建立时变情况下的LV-SD模型.

1.2 构造LV-SD系统

将反馈图中经济、人口、运输三个子系统作为整个系统的边界条件.运输子系统中存在运输方式关系模糊的反馈环，为建立完整的系统动力学方程，需对该反馈环进行LV判定，求得相应的作用系数f，构造Lotka Volterra-System Dynamic模型(简称：LV-SD模型)在图1反馈关系的基础上，结合经济、人口，以及综合运输的特点，给出经济-人口-运输系统流图，见图2.

图2 经济-人口-运输系统流图

系统中包含的变量方程较多，篇幅所限，不一一列举，可参见文献[10-12].现将主要参数(见表1)及LV判定环中的方程列举如下.

表1 主要参数

LV判定环方程：

Rs=Ry×fy+Rg×fg+RGDP×fgdp

Ry=R1+R2+R3+Rr×fr

R1=Rt×ft1+R2×f21+R3×f31

R2=Rt×ft2+R1×f12+R3×f32

R3=Rt×ft3+R1×f13+R2×f23

(1)

运输系统中各种运输方式间的作用系数需通过LV理论判定，这里对LV理论进行交通化改造，以运输方式环中三种运输方式来阐述系统的LV判定过程(即公路运输、水路运输及航空运输)，令：x1，x2，x3为公路、水路及航空交通运输方式的现有运输需求量；k1，k2，k3为对应运输方式在现有环境下的饱和容量指标，大于零为未饱和，小于零为过饱和；r1，r2，r3为三种交通运输方式的单位增长率.

根据Lotka-Volterra理论，不同物种间的作用系数f，由物种间的影响比例与环境容纳量决定，即f=α/k，公式重新定义如下：

αij为单位投资下运输方式i对运输方式j的影响比例(i、j=1、2、3,i≠j)；fij为运输方式i对运输方式j的作用系数，且fij=αij/kj，作用系数f的正负决定着反馈关系，其中正号为抑制作用，负号为促进作用.三种运输方式随时间的演化情况存在下列关系[13-15].

在这样的合作竞争过程中，三种运输方式的发展方向会随着环境容纳量ki、影响比例α的变化而变化.将式(2)进行简化，令：

a1=r1，b1=r1/k1，c1=r1α12/k1，d1=r1α21/k1；a2=r2，b2=r2/k2，c2=r2α12/k2，d1=r2α32/k2；a3=r3，b3=r3/k3，c3=r3α13/k3，d3=r3α23/k3.得到式(3).

(3)

按照灰色模型的直接建模法，以xi(t+1)-xi(t)、[xi(t+1)+xi(t)]/2作为dxi/dt的白化值、背景值(i=1、2、3)，将式(3)进行离散化得式(4).

(i=1、2、3,j(1)=2、1、1,j(2)=3、3、2)

(4)

将t=1，2，…，n-1时的数据依次代入式(4)中得式(5).

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

(i=1、2、3,j(1)=2、1、1,j(2)=3、3、2)

(5)

(i=1,2,3;j(1)=2,1,1;j(2)=3,3,2)

(6)

比较式(5)和式(6)，可得：

运输方式的增长率：ri=αi；

现有环境下的饱和容纳量：ki=αi/bi；

影响比例：

α12=c2/b2，α13=c3/b3；α21=c1/b1，α23=d3/b3；α31=d1/b1，α32=d2/b2；

作用系数：

f12=c2/a2，f13=c3/a3；f21=c1/a1，f23=d3/a3；f31=d1/a1，f32=d2/a2.

2 案例分析

2.1 模型参数计算

利用Vensim软件对LV-SD模型进行仿真，模拟重庆市综合交通运输系统中三种运输方式的作用关系变化对GDP的影响，建立三维LV判定下的SD运输系统，见表2.考虑到公路运输的客运量占比过大，故选择铁路、水路及航空运输进行分析.

表2 模型参数值 单位：千万人

铁路客运量白化值为x1(t+1)-x1(t)，背景值为[x1(t+1)+x1(t)]/2；水路客运量白化值为x2(t+1)-x2(t)，背景值为[x2(t+1)+x2(t)]/2；航空客运量白化值为x3(t+1)-x3(t)，背景值为[x3(t+1)+x3(t)]/2.

将xi(t+1)-xi(t)、[xi(t+1)+xi(t)]/2代入矩阵中，经计算得出数据如下.

根据以上运算数据，现将运算结果整理如下.

铁路运输需求增长率ft1=r1=a1=1.678 212 962，铁路运输对水路运输的作用系数f12=1.005 614 518，铁路运输对航空运输的作用系数f13= 0.951 632 425.

水路运输需求增长率ft2=r2=a2=-1.716 599 739，水路运输对铁路运输的作用系数f21=2.034 201 16，水路运输对航空运输的作用系数f23=-0.379 563 8.

航空运输需求增长率ft3=r3=a3=-2.055 530 424，航空运输对铁路运输的作用系数f31=1.382 347 463；航空运输对水路运输的作用系数f32=-0.413 235 732.

将LV判定环中计算出的作用系数带入系统动力学方程中，以2010年为基准年，参照文献[13]中部分给出的方程数据，应用SPASS统计分析，获取或标定上述动力学方程中的各个参数，见表3.其中关于GDP年增长率、人口出生死亡率及技术革新率等的作用系数，利用SPASS分析反复调试检验，再依据历史经验并结合专家建议获得的综合数值结果.

表3 2010年模型初始参数值

将系统中的常量数据代入方程，图3为LV理论判定前后模型运输方式子系统的关系变化.

图3 LV判断前后运输方式关系流图

2.2 模拟结果与检验

通过LV-SD模型运行仿真，仿真结果对比SD模型以及历史数据见表4.

表4 GDP预测结果对比

由表4可知，观察2010—2015年内GDP预测量与实际统计数据的误差，LV-SD模型预测的历年平均误差为3.24%，SD模型预测的历年平均误差为4.50%，两者较历史数据而言，LV-SD模型预测精度提高了约1.26%，可见LV-SD模型较原有的SD预测模型预测精度有了近28%的提高.

3 结 论

1) 系统动力学模型中存在反馈关系不固定且随着时间或空间维度处于不断微变的反馈环.

2) Lotka-Volterra理论的引入证明了系统动力学模型反馈关系中存在随时间细微变化的节点，节点的位置决定着反馈关系的正负与大小.Lotka-Volterra理论利用历史累积数据，可以量化系统关系微变的节点，将复杂系统变量关系分割成模块化的循环变化关系.

3) 短期预测中，系统反馈环中的关系不会出现大的变化，反馈关系可通过一次LV判定求得，而反馈节点需进行多次LV判定来确定节点区间位置；在长期预测中，为保证系统动力学模型的精度，需系统反馈环多次进行LV判定来保证变量关系的即时更新，因此判定次数倍数增长，过程复杂，体现不出具体的优势，需对LV-SD模型做更深入的优化研究.

4) 基于专业领域的限制，LV判定下的SD模型节点研究仅以运输系统为例，而未对其他领域进行验证.需不同领域学者专家对LV-SD模型进行改进验证.