基于方差最小化的直觉模糊语言多属性决策方法*

陈 晶，王中兴，姚 陈

(1.湖南交通工程学院电气与信息工程学院，湖南衡阳 421001；2.广西大学数学与信息科学学院，广西南宁 530004；3.南华大学化学化工学院，湖南衡阳 421001)

0 引言

自1998年Delgado等[1]提出用模糊语言表示评价结果以来，语言型决策理论与方法已引起国内外学者的广泛关注。Herrera等[2]为处理离散的模糊语言在集成时出现信息失真的问题，提出了模糊语言的二元语义分析法。王欣荣和樊治平[3]将二元语义引入传统TOPSIS中，提出基于二元语义信息处理的TOPSIS模糊语言决策方法。王晓等[4]针对属性权重完全未知的模糊语言多属性群决策问题，提出一种基于离差最大化的属性权重客观赋权方法。刘勇等[5]提出一种以多阶段群体评价差异最小化为目标的模糊语言群决策模型。Bapi等[6]针对属性信息相互关联的模糊语言多属性决策问题，提出一类二元语义分区Bonferroni加权平均算子，并研究算子的相关性质。王中兴等[7]扩展Archimedean S模，给出对属性权重进行自适应调整的二元语义扩展Archimedean S模集成算子，并将其应用于模糊语言多属性决策。Liang等[8]基于多粒度区间二元语义广义距离测度，给出一种处理区间二元语义信息的交互式多准则(TODIM)群决策方法。黄鲁成等[9]将集对分析思想引入TOPSIS中，运用联系向量的垂面距离，构建VASP-TOPSIS多属性决策模型。Song和Li[10]给出求解决策方案优先权重的目标规划模型及群体一致度的自动迭代算法，并将两者应用于多粒度二元语义群决策。

然而，模糊语言仅考虑准则隶属度，不能直观地表达人们思维的犹豫、模糊特征。如对汽车配置测评时，经检测汽车在许多方面都达到“优”的标准，但也存在一些方面未达到“优”的标准；此时，采用“优”“良”等模糊语言评价均不符合实际。为克服模糊语言存在的这种不足，文献[11,12]将直觉模糊集的思想引入模糊语言集，先后定义了直觉模糊语言、直觉模糊二元语义，以准确地描述准则隶属度或非隶属度双方面评价。如上述对汽车配置的测评，可用直觉模糊语言<很高,稍低>细腻表达，其意义为该汽车配置达到优的标准“很高”，而未达优的标准“稍低”。相对于模糊语言，直觉模糊语言增加了准则非隶属度描述，能更全面、细致、真实地描述决策者的偏好信息，广泛适合于军事系统效能评估、供应商评估与选择、人力资源管理等实际决策问题。

在研究语言型决策问题时，往往需要对语言型评价信息进行运算或集成。直觉模糊语言的提出改进了模糊语言缺少准则非隶属度描述的局限，使得评价结果更符合人们的直觉，但仍未能避免模糊语言运算[1,2,7,13]不满足封闭性的不足。为此，本文采用方差最小化模型定义克服越界现象的直觉模糊语言运算新方法，并对其进行详细讨论,以及给出直觉模糊语言期望值、精确值的定义，通过比较期望值和精确值给出直觉模糊语言序关系。最后，将所提方法应用于直觉模糊语言多属性决策中，为解决语言型决策问题提供新方法。

1 预备知识

模糊语言集L={l0,l1,l2,…,l2τ}(τ为正整数)是一个非空离散的集合。模糊语言li是预先定义好的评价短语，如“好”“一般”“差”等。其中l0,l2τ分别为模糊语言集的下界与上界。2τ+1为模糊语言集的粒度。例如，一个七粒度模糊语言集可表示为L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很差,差,较差,一般,较好,好,很好}。模糊语言集L通常有如下定义[1,2]：

①有序性：i

②语言取小(∧)、取大(∨)运算：若lilj，则li∧lj=li，li∨lj=lj。

③语言否定(┐)运算：┐li=lj，j=2τ-i。

①lα⊕lβ=lα+β；②λ⊗lα=lλα。

特别的，对于直觉模糊语言，若┐lμ=l2τ-μ=lν，则直觉模糊语言退化为模糊语言。

(1)

直觉模糊语言关于定义1中的运算法则存在以下问题:例如，对于上述七粒度模糊语言集L，若取直觉模糊语言h1=,h2=∈H，则由文献[1,2,13]中方法有h1⊕h1=,即“较差”与“较差”运算结果为“较好”，这让人不易接受；又如h1⊕h2=(l8∉L),即“较差”与“很好”运算结果可能不在模糊语言集中，出现越界的现象。

定义2[11]设H为直觉模糊语言集，h1=,h2=为H中的直觉模糊语言，则h1与h2的距离为

(2)

2 直觉模糊语言决策理论与方法

2.1 直觉模糊语言运算新方法

在实际的决策问题中，决策专家针对评价对象各评价指标所给出的评价往往存在差异。为得到评价对象的综合评价，需要对各指标的评价信息进行运算或集成。考虑到综合评价作为决策专家对评价对象意见的综合反映，其与各指标评价之间的方差应尽可能小。基于此思想，下面给出直觉模糊语言方差的定义。

(3)

其中，直觉模糊语言he=∈H为直觉模糊语言hj(j=1,2,…,n)的集成结果。

而对于权重信息完全未知的情形，方差(Var)可定义为

设hj=(j=1,2,…,n)为决策者关于第j(j=1,2,…,n)个评价指标所给出的评价，则综合评价he=与各评价指标间的方差应最小，即综合评价he=为目标优化模型

(4)

s.t.hx=〈lμx,lνx〉∈H，hj=〈lμj,lνj〉∈H，

证明：由定义2、定义3可得

根据以上分析，下面定义直觉模糊语言运算新方法。

对于前面给出的直觉模糊语言h1=,h2=∈H，则由定义4有h1⊕h1=，即“较差”与“较差”运算结果仍为“较差”；以及h1⊕h2=，即“较差”与“很好”运算结果为“较好”；两种情形均容易让人接受，且运算结果仍然属于定义中的集合。

2.2 直觉模糊语言序关系

为对直觉模糊语言进行比较或排序，下面首先给出直觉模糊语言期望值的定义。

定义5对于直觉模糊语言h=

lν(h)>∈H，期望值为

(5)

由(5)可知，期望值愈大，直觉模糊语言愈优。但仅用期望值作为排序指标，则无法比较期望值相同的两个直觉模糊语言的大小。例如，给定七粒度模糊语言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,较低,一般,较高,高,很高}，若取直觉模糊语言h1=,h2=,h3=，则有E(h1)=l4，E(h2)=l4，E(h3)=l3，故h1=h2≻h3，显然直觉模糊语言h1与h2无法通过期望值来比较大小。为此，下面给出直觉模糊语言精确值的定义。

定义6对于直觉模糊语言h=

lν(h)>∈H，精确值为

Q(h)=lμ(h)+ν(h)。

(6)

期望值相等的两个直觉模糊语言，精确值愈大，包含的决策信息愈完整、愈准确，其评价也就愈高。对于上述直觉模糊语言h1=与h2=，分别计算精确值有Q(h1)=l6，Q(h2)=l4，因而h1≻h2。

基于以上分析，下面给出直觉模糊语言的序关系。

定义7对于直觉模糊语言h1,h2∈H，设E(h1)与E(h2)分别为h1、h2的期望值，Q(h1)与Q(h2)分别为h1、h2的精确值，则

①若E(h1)≻E(h2)，则h1优于h2，即h1≻h2。

②若E(h1)=E(h2)，当Q(h1)≻Q(h2)，则h1优于h2，即h1≻h2；当Q(h1)=Q(h2)，则h1无差异于h2，即h1=h2。

2.3 直觉模糊语言多属性决策方法

模糊语言在表达模糊决策信息方面具有局限性，而直觉模糊语言同时考虑正、反双方面评价，可以更加完整、细腻地描述事物的模糊本质，因而在表达决策不确定信息时，直觉模糊语言更具表现力和实用性。为此，本文采用直觉模糊语言来表达决策信息，提出一种基于直觉模糊语言信息处理的多属性决策方法。

Step 1 根据决策者给出的正、反双方面模糊语言评价，得到直觉模糊语言决策矩阵R=[rij]m×n。

Step 2 对决策矩阵R=[rij]m×n进行规范化处理。

成本型属性评价可通过否定运算(neg)转化为收益型评价；收益型属性评价则无需转化。为方便叙述，转化后的决策矩阵仍记为R=[rij]m×n，

neg(rij)=neg()=。

(7)

Step 3 利用定义4中集成方法对决策矩阵R=[rij]m×n中第i行的决策信息进行集成，得到决策者对方案Ai的综合评价zi,(i=1,2,…,m)，

(8)

Step 4 根据定义5和定义6计算zi的期望值E(zi)与精确值Q(zi),(i=1,2,…,m)。

Step 5 根据各方案Ai(i=1,2,…,m)的期望值和精确值，按定义7对各方案进行比较与排序。

3 数值实例

考虑对某大型企业进行产业投资，共有4个备选方案：智能手机业(A1)，房地产业(A2)，家电业(A3)和互联网业(A4)可供选择。现从4个指标(属性)：技术创新(G1)，市场走势(G2)，政策扶持(G3)，资金回笼(G4)对各方案进行评价。决策者根据实际需要选取七粒度模糊语言集L={l0,l1,l2,l3,l4,l5,l6}={很低,低,较低,一般,较高,高,很高}，对这些方案的各项属性进行评价。其中，属性的权重向量为w=(0.25,0.3,0.15,0.3)T。由于问题的复杂性以及人们思维的模糊性，决策者难以用模糊语言准确地评价，于是采用直觉模糊语言进行评价。

例如，该企业对投资智能手机业(A1)关于公司自身的技术创新(G1)水平的评价为，即企业认为智能手机业(A1)具有技术创新(G1)的可能性很低，而不具有技术创新(G1)的可能性一般。企业对是否具有创新性保留着一定的犹豫不确定性。

决策者给出各方案关于各属性的评价见表1。

表1 决策者给出各方案关于各属性的评价

下面采用本文决策方法，确定最佳的投资产业。

Step 1 根据决策者的评价，得到直觉模糊语言决策矩阵R=[rij]4×4,

R=

Step 2 4个指标均为收益型属性，属性评价信息无需转化。

Step 3 根据式(8)对决策矩阵R中第i行决策信息进行集成，得到方案Ai(i=1,2,3,4)的综合评价值zi,

Step 4 计算zi的期望值E(zi)与精确值Q(zi),(i=1,2,3,4),

Step 5 依据期望值E(zi)与精确值Q(zi)(i=1,2,3,4)，对各方案排序有A3≻A4≻A2≻A1。故该企业投资的最佳产业是家电业(A3)。

结合决策矩阵中的数据及其权重进行分析，不难发现方案A3关于4个指标的评价比其他方案高，利用本方法得到的结果与其一致。比较方案A4、A2和A1，易知A4优于A1，A2优于A1。比较方案A4和A2，可以发现G1和G3两个指标下的评价A4优于A2，G2指标下的评价A2优于A4，综合得方案A4优于A2。

4 对比与分析

在本小节中，将文献[7,10,12]方法与本文方法进行比较，具体如表2所示。

表2 不同决策方法对比与分析

从表2可知，本方法与已有方法存在明显的不同之处。本方法通过方差最小化模型，客观地集成评价信息，适用于权重值为实数或未知且属性值为直觉模糊语言的多属性决策问题，较文献[7,10]中模糊语言决策方法，能更完整地描述决策者的偏好信息，减少决策信息的丢失。其次，本文基于最优化理论与方法，提出直觉模糊语言新型运算，避免了现有语言型运算[7,13]存在越界或违反直觉的不足。再者，文献[12]中决策方法通过直觉模糊语言决策形式背景及规则提取模型，得到各方案的加权相似度，与本文基于方差最小化模型集成群体评价信息的方法，均适合处理属性评价信息包含不确定性的情形。但本方法运算更简单，且结论部分更容易让人理解。文献[14]基于目标规划模型与群共识迭代算法确定群体一致度，与本文通过距离测度构建的偏差最小化模型均适应于群体意见分歧较大的群决策问题，但文献[13]中方法需要决策者事先给出群体一致度阈值ε、群体共识度η，因而决策的主观性较大，实际处理起来往往更为繁琐且复杂。

5 结论

直觉模糊语言同时考虑正、反双方面评价，能全面地表达决策者的偏好信息，因而较模糊语言更符合人们犹豫、不确定性的表述习惯。本文在直觉模糊语言集概念的基础上，给出直觉模糊语言方差的定义，并通过方差最小定义了直觉模糊语言新型运算，以及给出直觉模糊语言期望值、精确值和直觉模糊语言序关系定义，进而给出一种直觉模糊语言决策新方法。该方法在一定程度上克服了现有语言型决策仅依靠准则隶属度描述决策者偏好的局限，也避免了语言型决策运算存在着越界或不符合人们直觉的不足。