“数列中的存在性问题”进阶教学
2021-07-01周军
【摘 要】“数列中的存在性问题”常在高考试题中出现，解决此类问题的关键在于“转化与化归”思想。为此，可以基于学习进阶理论设计合理“阶梯”，帮助学生迁移学习经验，发展数学学科核心素养。
【关键词】学习进阶;转化与化归;专题复习
【中图分類号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2021）37-0044-04
【作者简介】周军，江苏省宜兴市丁蜀高级中学（江苏宜兴，214221）教师，高级教师。
数列作为高中数学的核心内容之一，在各地高考卷中都有精彩亮相，其中“数列中的存在性问题”因其独特的设问方式、推理逻辑、思维视角，成为命题人偏爱考查的内容。然而，学生处理此类问题时往往显得捉襟见肘，其症结在于学生不善于将“数列中的存在性问题”转化为“方程解的存在性问题”，更进一步，即使对于已转化得到的不定方程也缺乏有效的求解策略。这说明学生不善于利用“转化与化归”的数学思想，因而有必要对此做教学上的探讨。
应用“学习进阶”理论进行专题复习教学设计，能促进知识点的整合和联系，有利于学生建立系统化、层次化、结构化的认知体系，形成高阶思维。笔者依据学习进阶理论，探讨“数列中的存在性问题”的教学。
一、学习进阶的内涵和意义
学习进阶是“对学习者在一个较大时间跨度内学习和研究某一主题时，所遵循的连贯的、逐渐深入的思维路径的描述”[1]。学生对核心概念的学习并非一蹴而就，需要经过多个不同的中间水平才能到达终点。这些中间水平称为 “阶”，是学生认知发展的 “脚踏点”。一个个“阶”将学习的起点和终点连接起来，形成一条逐步精致、持续深化的思维通路。
学习是一个基于原有经验螺旋演进式的动态过程，进阶是聚焦认知发展的一个研究视角。对于课程与教学论而言，学习进阶的意义在于延续了“应为学生设定怎样的学习路径”这一核心问题的探索。[2]
二、基于学习进阶的专题复习教学
“数列中的存在性问题”常常融合数论、函数、方程、不等式等知识，蕴含着丰富的数学思想，着力考查学生的分析、转化、综合的能力。此类问题宜在高三二轮复习时以微专题的形式呈现，教师应依据学习目标为学生的认知发展提供有效路径，并在思维跃迁的关键处搭建可靠的“脚手架”[3]，以便进行学习进阶式教学。
1.进阶起点的分析。
从初中到高中，学生通过数学学习积累了一些与本专题相关的知识和经验：二元一次方程、三元一次方程有无数多个解，可以用列举法表示元素有限的集合，借助分离变量、换元等方法求简单函数的值域，数列是定义在正整数集（或其子集）上的函数等。学生必然对转化与化归有所耳闻。但学生也常有犯迷糊的时候，比如，不定方程的解是不能确定的，依据集合条件列举元素时必须逐一尝试，对于转化与化归的数学思想缺乏自觉意识，等等。这些构成了学生学习进阶的起点。
2.学习目标的预设。
“数列中的存在性问题”大致可以转化为两种类型的解方程：一是方程的个数等于或大于未知数的个数，这种类型比较容易解决，可以直接解出未知量并验证其合理性;二是方程的个数等于或小于未知数的个数，即不定方程，这种类型往往解的个数不确定。对于数列背景下的不定方程，学生可能会面临一些典型的思维障碍：数列中的存在性问题是怎样转化的，为什么不定方程的正整数解可以确定，求不定方程的正整数解有哪些思路和方法。
据此，笔者对每一阶段的学习目标预设如下：①认识数学思想“转化与化归”的本质特征;②理解问题的数列属性，探求列举不定方程正整数解的合理方式;③形成转化与化归的思维自觉;④深刻理解数列定义域的特殊性;⑤提炼“存在”和“不存在”分别对应的解题方法;⑥归纳、内化“条件转化—等式化简—合理判断”的解题思路。
3.进阶层级的划分。
在阶段性学习目标设定后还要依据学情设计进阶的具体层级。教师划分进阶层级的方式大致分为三步：一是通过问卷、学习单、作业、考试等方式调查和收集学生的“迷思概念”;二是分析学生的学习疑问和困惑，以专题形式整合零散的疑问;三是依据知识点、迷思点、易错点、疑惑点等梳理逻辑序列，划分进阶层级。笔者通过收集学生在学习单和作业中呈现的处理“数列中的存在性问题”的错题，整理后发现学生的错误关键在于缺乏将数列存在性问题向不定方程正整数解问题转化的意识以及求解不定方程的方法。笔者的层级划分和教学过程如下。
（1）模式识别，深化理解
习题1：设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn = [anan+m]（m∈N*）。是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数;若不存在，请说明理由。
师：你能说说这个题目的问题模式吗？
生1：我觉得这是一个探索性问题。
师：为什么呢？请具体说明。
生1：题目中出现了“是否存在”，意味着解题时应考虑存在和不存在两种方向，有一定开放性吧。
师：考虑很全面。进一步该如何处理呢？
生2：先根据Sn=n2，求得an=2n-1;再假设存在m，使得b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列，即2b4=b1+bt，则2 × [77+m] = [11+m] + [2t-12t-1+m] 。下面，解方程有些困难，感觉需要通分、交叉相乘“硬解”。
生3：这个不定方程比较复杂，需要先化简，可以将方程变形为2 × [77+m] - [11+m] = [2t-12t-1+m] ，先左边通分得 [13m+7（7+m）（1+m）] = [2t-12t-1+m]，两边取倒数得[（7+m）（1+m）13m+7] = [2t-1+m2t-1]，分离常数得[（7+m）（1+m）13m+7] = 1+[m2t-1]，移项通分得[m2-5m13m+7] = [m2t-1]，两边约去m得[m-513m+7] = [12t-1]，两边取倒数得t = [7m+1m-5]，分离常数得t = 7 + [36m-5]。依据整除性，当m - 5 = 1，2，3，4，6，9，12，18，36时，分别存在t = 43，25，19，16，13，11，10，9，8适合题意。因此，符合题意的m共有9个。
师：生3分析得有理。求不定方程的正整数解时，要有明确的目标意识，可以进行未知量的分离。这一过程的实现必须关注等式的结构特征，利用取倒数、分离常数等方法优化运算，化繁为简，最后利用约数枚举不定方程的正整数解。请同学们反思一下研究过程，能否提炼出解决此类问题的一般路径。
生4：我认为这个数列中的存在性问题应转化为不定方程存在正整数解的情形来研究，大体可以按照以下流程进行：转化条件→化简方程→合理判断→存在→准确列举（利用约数缩小方程解的范围）。
师：非常好！提炼研究问题的一般套路其实就是习得一种可迁移的一般观念，那么在迁移过程中可能会遇到哪些问题呢？请大家讨论并发表看法。
（学生分组讨论，合作探究）
此题为学生提供思维程序化和抽象化的有效支架，让学生体验深度理解“转化与化归”这一数学思想的进阶学习过程，同时通过开放性话题的研讨，营造“愤悱”之境，为后续认知同化或顺应引发心理暗示。
（2）思维迭代，精准迁移
习题2：已知数列{an}的通项公式为an=[n2n+1]，是否存在正整数m，n（1 师：这道题从形式上看，跟前面研究的问题类似，处理方式会有变化吗？ 生1：不太确定，不过前面我们归纳了数列中的存在性问题的解决路径，可以先尝试一下。根据条件得到方程（[m2m+1]）2 = [13] （ [n2n+1]），即[m24m2+4m+1] = [n6n+3]。借助前面的化简经验，两边取倒数，分离常数可得[-2m2+4m+1m2] = [3n]，但接下去好像无法转化为利用整除性筛选方程解的结构。 师：能自觉迁移已有的学习经验，这是思维进阶的重要表现。遇到障碍，要学会理性思辨，要善于回溯本质。利用约数，筛选不定方程的可能解，本质上是在等量关系的范畴缩小变量的范围，方便有限列举。那么，表征变量范围最直接的数量关系是什么呢？ 生2：应该是不等关系。我明白了，可以利用等式中一个变量的范围控制另一个变量的范围，如果能够将其中某一个变量制约在一个收敛的区间内，结合正整数的条件，自然可以得出有限个解。譬如，因为m∈N*，n∈N*，所以[3n] >0，因此-2m2+4m+1>0，从而1 - [62] 生3：由生2的做法产生联想，根据方程[m24m2+4m+1] = [n6n+3]的右边，直接变形得[n6n+3] = [16+3n] < [16]，所以[m24m2+4m+1] < [16]，即2m2-4m-1<0，从而1 - [62] 师：有理有据。求不定方程的正整数解着力点在于约束变量的范围，使得枚举检验成为可能。除了利用整除性，还可以利用不等关系来实现。 本题为学生有效迁移解决问题的一般观念提供思维载体，引导学生明晰此类问题的本质在于通过控制变量范围达成有限列举，进一步形成规范化和系统化的思维方式。 （3）高阶跃迁，适度创新 解决数列存在性问题的一般步骤为：转化条件→化简方程→合理判断。其中最关键的一步是合理判断，如果存在，可求出解，如果不存在，需要推出矛盾。显然，相比“存真”，探究“证伪”更易引发挑战性学习，促进学生高阶思维发展。教师应依据学生的学习进展，适度启发，适时调控，从而帮助学生实现思维创新、能力提升。 习题3：已知an= 3·2n-1-2，试问：数列{an}中是否存在不同的三项ap，aq，ar（p 师：与前面的題相比，你能说说这道题最突出的不同之处吗？ 生1：涉及的未知变量由两个变成三个，感觉不定方程变复杂了。 师：为了让我们的解题思路更明确，不妨先猜一猜存在还是不存在。 生2：我觉得不存在。从函数的角度看，数列{an}是一个单调递增的指数型数列，而指数函数y=2x的图象是单调递增的，为凹函数，等差数列的通项是一次函数，图象为直线，而直线与指数函数图象至多有两个交点，因此不可能出现三项成等差数列。 师：精彩！运用函数观点研究数列问题，先直观判断，后代数求证，合情合理。下面请大家严格求证一下不存在的理由。 生3：假设存在正整数p，q，r（p 生4：对于方程2q = 2p-1+2r-1，两边同除以2q ，得1 = 2p-q-1 +2r-q-1 = [12q-p+1] +2r-q-1 ，所以1 - 2r-q-1= [12q-p+1]。因为p，q，r为正整数，且p 生5：按照生4的思路，我发现另一种推出矛盾的方法。对于方程1- 2r-q-1 = [12q-p+1]，因为p，q，r为正整数，且p 师：非常好，殊途同归！从本质而言，矛盾的焦点集中在等式两边“范围”的不和谐，可以通过对奇数与偶数、整数与分数、正数与负数、有理数与无理数等的判断来揭示矛盾。 此题营造了理性思辨、多维创新的思维场域，学生体验了从几何直观到代数推理的思维跃迁，形成了大胆猜想、小心求证的科学探索精神，创新了转化与化归的应用视角。 【参考文献】 [1]郭玉英，姚建欣.基于核心素养学习进阶的科学教学设计[J].课程·教材·教法，2016，36（11）：65. [2]刘晟，刘恩山.学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J].教育学报，2012（2）：81-87. [3]周军.思维支架：学习进阶撬动深度课堂的着力点[J].中小学数学：高中版，2018（11）：1-4.
