数学史融入“长方形和正方形的认识”的课堂教学*

□ 宦铭里 李绍平 洪燕君

“长方形和正方形”是人教版教材三年级上册的内容，教材中知识的呈现顺序是“四边形→长方形→正方形”。根据教材中知识的呈现顺序进行教学，过程一般是：（1）通过“认一认、画一画”，介绍四边形的概念；（2）给出长方形、正方形的“长、宽、边”的概念；（3）基于学生对长方形和正方形的感性认识，通过操作等方式引导学生了解长方形和正方形的特征，要求学生从边和角两个维度对长方形、正方形的属性进行准确的数学描述；（4）通过“画一画”“剪一剪”，进一步强化学生对长方形、正方形特征的理解。

笔者对某地区209 名小学数学教师进行了问卷调查，结果显示，83.2%的教师会遵循教材顺序设计教学程序。个案访谈中，有教师提到，教学中往往会急于让学生通过实际度量去发现几何图形的性质，对如何将学生的注意力由单纯的“动手”引向“动脑”，以有效发展学生的空间观念存在困惑。

美国数学史家卡约黎（F.Cajori）认为“学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”，即知识在发生、发展过程中具有“历史相似性”。他指出：数学史是数学教学的有效工具。由此，借鉴历史，我们拟定了“长方形→正方形→四边形”的知识探究顺序进行教学重构。实践证明，数学史融入课堂教学解决了教师的思想困惑，有助于培养学生的空间观念，促进教学目标的达成。

下面，笔者从“史料梳理→古今联系→拟定目标→设计实施→反馈与反思”的实践程序来介绍“长方形和正方形的认识”的教学过程。

一、史料梳理

上古时期的中国，人们对平面图形已有一定的认识，在西安半坡遗址出土的制作于约公元前4000 年的各种陶器上就有诸如矩形、三角形等图形。成稿于约公元前100 年的古籍《周髀算经》里提到“方出于矩”，赵爽有注：“矩，广袤也。”广与袤是矩的两条直角边，矩是用作画方的工具。“依矩画方”与红山遗址的考古研究成果吻合。赵爽的“句股圆方图说”以及刘徽在《九章算术注》里提到的计算面积时有“勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤”之说，都是指将曲尺形化为长方形，由此学者曲安京认为“矩”本意就是指“长方形”。《九章算术》“方田章”里，正方形被称为“方田”，长方形被称为“直田”。公元前300 年左右欧几里得的《几何原本》中给出了“正方形→长方形→菱形→斜方形→任意四边形”的概念顺序，且长方形和正方形的定义与我们现在使用的教材一致。《数学手册》一书中对图形面积计算给出了“矩形→菱形→平行四边形→梯形→任意四边形”的出场顺序。

综上所述，经咨询史学研究专家，再结合对农耕文化的了解，遵循“特殊到一般”的发现规律，我们得到古人对长方形、正方形的认识早于四边形，又考虑到“正方形是特殊的长方形”，从学生的心理认知序列特点出发，经访谈一线教学名师，拟定教学活动的探究顺序为“长方形→正方形→四边形”。

二、古今联系

“古今联系”的目的是促进历史与现实的沟通，使知识的历史发展顺序、教材的知识逻辑顺序与学生的认知发展顺序融合起来，让知识的发生、发展自然而然。

根据波利亚（G.Pólya）“主动学习、最佳动机、阶段序进”以及克莱因（M. Kline）“兴趣、动机、直观、文化”等教学原理，本着教学必须建立在学生认知基础之上，且符合学生的生活经验和认知规律的理念，我们着眼于知识的衔接顺序和知识的探究顺序，采用附加式、重构式把数学史融入教学中。

先把梳理过的关于长方形和正方形的史料制成约2分钟的微视频作为教学引入，再回到现实生活中，按照“长方形→正方形→四边形”的顺序引领学生进行探究，根据课堂生成，注重知识的内部关联和外部现实的拓展，使学生积累数学活动经验，获得数学家那样成功的体验，汲古润今，让知识的生成和拓展一脉相承。

三、拟定目标

基于上述分析，教学时先教学“长方形和正方形的认识”，并将教学目标设置为：（1）通过观看数学史微视频了解长方形和正方形的由来和发展，提升数学学习的兴趣和信心；（2）对于由生活实例抽象出来的数学图形，知道图形的边、对边、长和宽等概念，能初步感受长方形与正方形的联系和区别；（3）经历“量、比、折”等探究活动，积累图形学习的经验，体会“方出于矩”的数学思想，并能解释长方形和正方形的特征，发展空间观念；（4）体会图形与现实生活的联系，能根据图形特征判断长方形、正方形，并能从边和角的维度对图形属性进行准确的数学描述。

四、设计实施

依据现实原则，我们选取某区二年级学生作为研究对象，学生已经学习过测量长度，具有接受新知识的相关储备。经验丰富的L老师分别在两个平行班进行授课，讲课思路一致，两次课的教学都达到了预期的效果。现将第一次教学过程呈现如下。

（一）微视频引趣

教师播放数学史微动画视频。视频先介绍基于中国农耕文化产生的《周髀算经》和《九章算术》等数学典籍；然后提到《几何原本》这一几何学的奠基之作如何深远地影响着我们的生活，介绍几何学在现代生活中的用途；最后将《九章算术》中的“直田、方田”与现在的“长方形、正方形”进行比较，借助设问引导和启发学生观察思考。

（设计意图：微动画视频的引入能激发学生的学习兴趣，且教师对视频内容进行设问，引领学生巩固知识，并启发学生对接下来的知识学习进行思考，承上启下非常自然。）

（二）探究知趣

1.第一项活动：找长方形

教师在每张课桌上提前放置一个装着几何图形纸片的信封。要求学生4 人一组，每组找出1 个长方形、1个正方形纸片，贴到黑板上。教师提问：“大家找出来的这些图形，大小不一样，样子也不一样，为什么都叫长方形？”引导学生观察“边”和“角”。当学生回答“上边和下边比较长，左边和右边比较短”时，教师把图形依次旋转90度、60度，让学生明白用“上下左右”这样的语言不能准确描述图形的属性，顺势给出“边”和“对边”的概念，并鼓励学生对他们提出的“对边相等、4个角是直角”的猜想进行验证。

（设计意图：教学始终围绕学生的课堂生成来展开，这中间既有学生的理解又有知识的聚焦。教师引导学生经历从猜想到验证的过程，有利于培养学生的批判性思维和科学精神。）

2.第二项活动：探究长方形的特点

对长方形特点的探究从角和边两个维度展开。

（1）探究角的特点。学生对“长方形4 个角都是直角”有直观的认识。学生可以通过比和折的方法介绍自己的探究过程。在比的时候多数学生用三角板中的直角把长方形的每一个角都进行了比对，个别学生通过1 次折叠发现角能重合，于是用三角板进行了2次比对，经教师启发引导，有2个学生一横一竖折叠了2 次使得4 个角重合，用三角板只进行了1次比对。

（2）探究边的特点。与角的直观性相比，如何说明对边相等对学生来说略显抽象。多数学生先用尺子测量、比较4 条边的长度；受之前折叠的启发，部分学生又通过上下边对折重合，左右边对折重合，得到“对边相等”的结论。随后，教师给出“长、宽”的概念，并再次转换图形的方向让学生进行判别，以强化学生对“长、宽”概念的理解。

（设计意图：“折”是探究活动中的一个难点，尤其是一开始学生在认知上不太容易想到“折2次”，教师需要循循善诱。教师变换图形方向，利用变式加强学生对概念的理解，对发展学生的空间观念大有裨益。）

3.第三项活动：探究长、正方形关系

教师在白板上展示方格纸上的一个长方形，并水平拖动其中的一条边使得长方形长和宽的长度慢慢相等，于是长方形变成了正方形（如图1）。教学实践表明，动态演示活动使得学生更容易理解和掌握长方形与正方形的联系和区别。

图1“方出于矩”的动态演示

教师引导：视频里，我国古老的数学著作《周髀算经》中提到“方出于矩”，是说用有直角的尺子可以画出长方形、正方形，不过用我们现在的语言来看，“方”就是指正方形，“矩”就是指长方形，看看刚才演示的这个动态图，“方出于矩”可理解成正方形从长方形中来，因此我们说正方形是特殊的长方形（画包含关系图）。我们再来看看长方形具有的特点，正方形是不是也都有呢？

（设计意图：动态演示让学生对长方形与正方形的联系和区别更容易理解，教师把课堂生成与古籍进行关联解读，拓宽了学生的文化视角，使整个教学脉络更为流畅，搭建起了历史和现实的桥梁。）

4.第四项活动：探究正方形特点

基于对长方形“边、角”的探究经验，学生通过“比、折”，验证了“正方形有4个直角”；对于“4条边都相等”，大多数学生通过直尺测量也很快得到了验证。

师：除了直尺测量，大家还有不同想法吗？

生：用折的方法。上下对折重合，上下边相等；左右对折重合，左右边相等。

师：上下边重合，说明上下边相等，那么相邻的边要怎么折才能重合？看来还缺这关键一折，怎么折？

生：斜着折。

师（演示对角线对折）：这样相邻的两边也重合了，说明这两边也相等，所以——（教师停顿）

生（众）：所以正方形的4条边都相等。

师：还可不可以再折？之前长方形折了几次，想一想？

生（激动）：斜着折，再折一下，4 条边都重合，都相等。（演示：对角线对折再对折）

师：对。刚才同学们利用不同的方法得到正方形确实是4条边相等。既然正方形的4条边都相等，我们就把每条边的长叫作正方形的边。（板书：边）

（设计意图：教师围绕“折”不断设疑，牵引学生在不同角度的“折”的过程中充分感知图形的具象，把握长方形和正方形的特点，促进学生对知识的内化，帮助学生发展空间观念。）

（三）活动展趣

教师请两个学生拿着长方形和正方形模型，上讲台向大家展示并描述这两个图形的特征，之后教师指出，“直田、方田”作为长方形和正方形的古代称谓，就是突出考虑了“边、角”的特点得来的。

（设计意图：这个活动考查学生能否准确使用数学语言从边和角的维度认识和刻画图形属性。当学生对图形的特点非常了解后，再来理解“直田、方田”就顺理成章了。）

（四）练习激趣

教师首先出示—个大信封，里面装了不同形态的几何图形纸片，要求学生通过慢慢露出的部分来猜测是长方形还是正方形，并说明判断理由；然后，教师从生活物品中抽象出图形让学生进行识别；最后，教师布置课后作业：动手在一个长方形里画出一个最大的正方形。

（设计意图：“猜信封”活动既检验了学生对长方形和正方形特征的掌握情况，又帮助学生厘清了判断图形的步骤，使学生对知识的理解从直观感觉上升到了理性分析，完成了由“动手”到“动脑”的提升。接下来的联系实物进行判别，拉近了实际生活与数学问题的距离，加深了学生对数学学习本质的理解。最后的课外作业，进一步帮助学生内化长方形与正方形的关系。）

（五）总结升趣

师生一起，从看微视频环节开始，回顾和梳理整个学习过程，并归纳了“量、比、折、画”等认识图形的方法。之后，教师从信封里拿出1 个平行四边形，把它和黑板上的长方形、正方形放在一起，请学生给这些图形取个统一的名字。有学生说“平行四边形”，教师马上又拿出1 个梯形放到黑板上，一学生说“有4 条边，叫四边形”，教师说：“这节课我们就是在研究边、研究角，既然这些图形都有4 条边、4 个角，那为什么不叫‘四角形’？同学们，这个问题大家回去再想一想，我们下节课再来讨论。”

（设计意图：这节课虽然探究活动多，但环环相扣，教学主线明晰，最后的问题为下节课的演绎和归纳教学埋下了伏笔。）

五、反馈与反思

（一）问卷反馈

课后笔者对学生进行了问卷调查。调查结果显示，有69%的学生对数学微视频的内容“完全理解”，26%的学生“基本理解”，5%的学生“一般理解”；所有学生都表示“很喜欢”这样的上课方式，因为它“生动有趣”；最喜欢“猜信封”活动，对穿插数学历史故事的环节印象深刻；能分清长方形、正方形的特点和区别；对最后提出的“四边形”概念感兴趣。

（二）结论与反思

本节课在讲“四边形”的内容前，先进行“长方形和正方形的认识”教学，调整了教材上知识的呈现顺序。虽然面对的是低年级学生，但学生对知识的理解从直观感觉上升到理性分析的过程非常和谐，完成了由“动手”到“动脑”的提升，教学目标顺利达成。

课后，笔者在对授课教师的访谈中了解到，数学史的融入为教师提供了新知引入的话题，为学生提供了探究活动的素材，对史料及其蕴含的思想、方法等进行重构后应用于课堂教学，能有效解决教学中的困惑；同时微视频是一种比较便捷的运用数学史的方法，有助于促进数学史从历史形态走向教育形态，能提高学生的学习兴趣。