基于问题驱动的数学能动课堂的建构与实施

韩冬至 师万军

《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质”，还指出“数学课程要通过学生的自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程、体会蕴含在其中的数学思想，遵循数学发展的历史足迹，把数学的学术形态化为学生易于接受的教育形态”。数学教学的核心是概念教学，李邦河院士曾说：“数学根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”数学概念的教学要关注生成过程，力求学生主动参与，合作探究，建构概念形成的思维框架。

让学生主动探究，变被动学习为主动学习，把学习的权利交还给学生。那么教师应如何积极引导学生探究，设置合理的问题，让数学教学更有效的落实核心素养呢？本文仅以《奇偶性》的教学为载体，谈谈基于问题驱动的数学学科能动课堂的建构与实施。

教材分析：《奇偶性》是人教版教材必修一第三章第二节的内容，主要是结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。函数的奇偶性是函数的主要性质之一，单调性是函数的“局部性质”，而奇偶性是函数的“整体性质”。与奇偶性一样，奇偶性也是把图象的对称性（几何特征）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现从定性到定量的转化。体现出数学概念逐渐抽象、严格化的过程，进一步让学生体会对于数学一般概念的学习方法。在知识体系中本节起着承上启下的作用，在已学单调性的基础上，继续研究函数的奇偶性，为日后研究函数的其他性质铺设合适的认知台阶，使学生经历完整的学习过程，对“如何研究函数性质”有所感悟。

教学实例：

环节一：创设情境，引入课题

1.观察：教师通过课件展示一组图片：蝴蝶，雪花等，让学生欣赏自然界中的对称美。

2.操作：教师要求学生将A4纸对折两次，使得折痕作为直角坐标系下的x轴和y轴，保持折叠的状态下，在第一象限内“用力”画出一个函数的图象，然后展开纸张，在第二象限内描出所印的函数痕迹，请同学互相欣赏并观察所画函数图象的特征。学生回答：虽然我们画的函数图象不同，但每一个函数图象关于y轴对称。

【设计意图】

列举生活现象，引导学生从实际生活出发，感受对称性。学生自主折纸作画，通过极为简单的实验教学，引导学生总结和归纳数学知识以及数学规律，准确把握知识的本质内涵。

环节二：引导探究，概念生成

1.活动：教师布置学生画出函数f（x）=x2和g（x）=2-|x|的图象并对图象进行观察发现规律。

2.探究：以函数f（x）=x2为例，学生对图象进行观察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推广到一般，f（-x）=x2=f（x）。学生相互补充：f（-x）=f（x）中的x可以取1，2，3等定义域中的任意数。

师：利用平面几何知识，如何借助图形刻画函数的对称关系？

生：任意x∈R，点P（x，f（x））与点P（-x，f（-x））关于y轴对称。

师：函数f（x）=x2满足f（-x）=f（x），对于其他函数是否也满足这个特征？请同学们观察自己的折纸图形，在函数图象上任意取点，从坐标角度进行验证。

生：无论函数图象是否相同，只要函数图象关于y轴对称，任意x与-x互为相反数，函数都满足f（-x）=f（x）。

教师引导学生尝试概括偶函数的定义及图象特征，并回顾研究过程，体会从特殊到一般，从具体到抽象的研究思路。

【设计意图】本节课的主线是从形到数，从特殊到一般，从具体到抽象的学习过程，也希望学生运用这种研究思路，自主类比研究奇函数，特别是折纸中的函数图象再现，既是对折纸实验的呼应，又是对任意性的理解进行提升。

通过探究，学生对问题的认识有了突破性的进展，但学生所获得的知识还是零散的，需要在教师的指导下对探究结果进行补充、整理，并用规范的数学语言进行概括。教师需要帮助学生搭建由“形”到“数”的思维桥梁，这样能更贴近学生的思维和认知。

环节三：问题驱动，自主建构

1.活动：以函数f（x）=x和g（x）=1/x为例，类比研究偶函数定义的步骤和方法，教师布置学生以分组合作的方式探究奇函数的定义及性质。

2.探究：通过设置难度递进的问题启发引导学生探究奇函数的概念形成过程。

问题1 ：f（-1）=？f（1）=？，f（-2）=？f（2）=？，f（-3）=？f（3）=？

学生：f（-1）=-1，f（1）=1;f（-2）=-2，f（2）=2;f（-3）=-3，f（3）=3。

问题2 ：表格中x值互为相反数时，相应函数值有什么特点？

学生：表格中x值互为相反数时，相应函数值也互为相反数。

问题3：定义域内任意x的取值互为相反数时是否也满足这样的特点？给出证明过程，并用符号语言精确描述这一特征。

学生：f（-x）=-x=-f（x）。

【設计意图】问题是数学的心脏。在完成偶函数探究的基础上，教师又设置了层次逐渐递进的问题，进而启发学生用类比的方法得到奇函数的定义。类比探究偶函数概念形成的过程，给学生布置活动任务，让学生以小组合作的方式进行自主探究，在探究过程中让学生体会数学概念学习的过程与方法，最后形成奇函数的概念。

环节四：概念应用，深化理解

教师激发学生的创造力，教师让学生转换角色，变身命题人，根据所学内容，让每位同学设计两个函数，同桌互换并判断所写函数的奇偶性。

展示部分同学自编试题及判断奇偶性的过程。

生1：自编函数f（x）=x3+2021x。

判断过程：函数f（x）=x3+2021x的定义域为R。

因为任意x∈R，都有-x∈R，且

f（-x）=（-x）3+2021（-x）=-（x3+2021x）=-f（x），

所以函数f（x）=x3+2021x是奇函数。

生2：自编函数g（x）=2021。

判断过程：函数g（x）=2021的定义域为R。

因为任意x∈R，都有-x∈R，且

g（-x）=2021=g（x），所以函数g（x）=2021是偶函数。

【设计意图】学生能够自编试题其实是一种自我反思意识的形成，学生反思意识的形成是一个由“被动”到“主动”、由“自发”到“自觉”、由“他控”到“自控”的过程。自编试题对学生来说有一定的难度，它需要学生真正理解和灵活应用数学概念，所以自编试题对学生来说是一种挑战，但同时也能激发学生学习数学的热情和增强学生学习数学的自信。

环节五：课堂小结，提炼升华

教师通过课件再次展示一组图片：大兴机场、圆明园万方安和、精美的饰品等，让学生欣赏生活中的对称美，鼓励学生将来把对称性应用到工作中，设计出更多让人惊叹的建筑和作品。与课前导入呼应，让学生再次感受到数学是美的，有效运用数学知识可以创造出更多的美。

学生针对本节课的学习过程进行课堂小结，有总结知识点和方法方面的，也有谈学习过程感受的，其中一名学生说，通过本节课的学习知道了研究函数性质的办法，特别期待对后续函数性质的学习。

【设计意图】整堂课的探究过程所体现的由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，也是数学概念学习的基本思维和方法。学生在课堂小结时能够从数、形两个角度对函数的奇偶性有深刻的认识，体会数形结合的数学思想。

教学思考：

本节课的整体设计是类比函数单调性的研究办法构建相应的研究框架，先举例一些函数图象，给学生一定的直观感受，通过观察其几何特征的共性，提出探究问题，把函数图象的这种对称性转化为代数关系，再通过具体实例引导学生计算并得出取值规律，在此基础上建立奇偶性的概念。设计主线是：具体函数——图象特征（对称性）——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定。整个过程体现了从形到数，从特殊到一般，从具体到抽象的学习。奇偶性概念的本质属性有两个方面：形的特征和数的表示。前者是对函数几何特征的图形表述，也就是对称性;后者表现为函数性质的数学符号语言的表示。单从奇偶性的定义内容来看，具有一定的抽象性，对于学生而言不好理解，但函数性质的处理一般是由其图象入手，通过图象的直观性体现函数的内在性质，再通过对函数值的计算，把函数值外显到坐标系中，由形到数，再由数到形，沟通形与数，实现从定性到定量的转化，保证了学生的理解水平，并对此知识产生了更深刻的感悟。

1.情境合理，追求教学的自然质朴。

本节课的引入立足于生活中的常见现象，力求朴实自然，但简朴中蕴含神奇的对称;接着过渡到动手实验环节，激发学生的学习兴趣，亲自感受创造对称图形。现实世界情境和数学实验情境完美的结合，引发学生挖掘其中的规律和本质，用数学的眼光去观察，用数学的思维来思考。

2.问题驱动，顺应学习的思维方式。

一堂好课必然会激发学生的求知欲，而问题是实现这个目标的催化剂。课堂的每一个问题的提出，都是学生思维活动的开始，本节课运用一系列的问题，以问题串的形式出现，由浅入深，由简单到复杂，环环相扣，教师作为引导者，适当适时点拨、启发、指导，问题的设置均在学生最近的发展区，学生能够在已有知识体系的基础上总结出概念的核心要素，将函数单调性的任意性迁移到本节课，顺势突破学生在本堂课学习中的难点。一系列问题串的设置自然承接课堂，教师的追问进一步提高学生的认知效果，使得整节课的教学流程清晰顺畅，顺应学生的思维方式。通过问题的驱动，使得学生的思维从“起车”到“加速”，走上“高速”，达到深度思维的学习。

3.能动探究，培养学生的核心素养。

波利亚说：“学习东西最好的途径是亲自去发现它，最富有成效的学习是自己去探索、去发现。”普通高中阶段的数学课程基于新课改的理论与实践背景下进一步着力引导学生的深度学习、自主探究与合作交流相融合的学习方式。从不同视角下观察学生、从不同范式下设计教学，发展学生的创新思维以及对学习的自主性、批判性和迁移性。本节课老师大胆放手，把课堂交给学生，引导学生积极思考，主动交流，尊重学生的发言权和決定权，给学生充足的时间，让学生清楚有效地表达自己的观点，形成自己的理解力。学生通过对概念的探究，感悟数学知识的内在本质，欣赏数学世界的无限风光。

新课标、新教材、新高考背景下的数学新授课教学应该关注学生的学习过程，尊重学生的认知水平，关注知识的衍生过程，合理设置问题，充分调动学生参与，体会概念生成过程。发展学生的思维，回归数学理性，培养数学乐趣，是我们数学教学真正的价值追求。希望通过能动课堂的教学实践培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

编辑/李    莉