小学数学教科书中问题解决的表征研究——基于荷兰的启示与借鉴

衣 潇 魏 佳

（渤海大学教育科学学院，辽宁 锦州 121000）

一、引言

数学与问题解决密不可分，或者说问题解决是数学的核心。“问题解决”不仅是一种教学形式，且贯穿于整个教育教学之中。在小学数学教学中，问题解决是十分重要的。数学的问题解决是在指定的问题情境中开始的，首先，教师在数学教学中要根据问题的性质、学生所学知识之间的联系和学生对数学知识的把握情况，进一步创造问题情境，引起学生之间对数学知识了解程度的辩论，能让学生的思维活动活跃起来，教师可以适当提出帮助，然后学生通过教师对这个问题给予的提示，学生主动的进行分析、探索和提出解决方案、检验解决方案等活动，从而让学生掌握这一数学知识的目的。数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：问题解决过程必须经历四个过程，即：理解问题，拟订方案，执行方案，回顾。［1］

莱斯特（2013）认为，为了提高他们问题解决的能力，学生必须“在很长的一段时间内定期进行有问题的任务”，并且必须有“给予机会的机会，解决各种类型的问题任务”。［2］通过问题解决，学生可以提高数学的基本素养。在小学数学教育中，教科书是小学数学教师教授小学数学知识的主要参考书，也进而决定了小学生所学的数学知识的内容。所以，教科书中的内容对于学生获得的学习机会（包括问题解决的学习）十分重要。

教科书在我们日常的小学数学教学中起着决定性的作用，对于荷兰来说，也是如此。本次研究选择了三本荷兰小学数学教科书，这三本小学数学教科书分别是《Pluspunt（Plus Point）》（Van Beusekom et al.2009-2013）；《Alles Telt（Everything Counts）》（Van den Bosch-Ploegh et al.2009-2013）；《Rekenwonders（Wonder Calculators）》（Projectgroep Rekenwonders Bazalt Groep 2011-2015）。为了确定小学数学教科书年级之间不同材料的可能差异，本次选于四年级和六年级上半学期内容中包含非常规问题和灰色区域问题进行了研究。

二、问题解决的概念界定

数学的问题解决可分为三类：一类是“常规问题”，波利亚在他的著作中《怎样解题》（1945年）中定义了常规问题，是指一道题目如果可以通过将特殊数据代入一道以前解过的一般题目中来求解，或者按照某一道成就而明显的例子依样画葫芦，而无须一丝一毫的独创，那么这道题目就是一道常规题目。［1］第二类是“非常规问题”，是指在数学课程中没有准确规定解决这类型问题的一般规则和原理，这种类型的问题不能直接用所学的数学公式进行解决，必须经过探索、在脑海中有一定的思维活动，再加以运用所学的各种数学公式、法则进行计算。第三类就是基于常规问题和非常规问题之间的一种问题，称之为“灰色区域”。这种题目既不是常规问题又不是非常规问题，但是通过这种问题能够锻炼学生的思维能力，是提高学生探究能力的一种数学问题。并且通过多次解决这种问题，可以提高学生非常规问题解决的能力。本次研究只对小学数学教科书中的“非常规问题”和“灰色区域”这两个层次进行研究，见表1。

表1 非常规问题和灰色区域问题的分类指标

下面列举了在认知需求有明显差异的三个问题，即：灰色区域问题、非常规问题和通过示例来进行简单计算的问题。

第一道题选自荷兰小学数学教科书Pluspunt，图1是针对六年级学生的问题，涉及一个魔术框架。这道题先给出了一些数字，学生可以根据所给出的数字，直接导出在左上空单元格中填充的数字。同样，可以直接从中间列中已经给出的两个数字中得出在中间单元格中填写的数字。这样，求解过程就可以继续进行，每次可以从同一行、列或对角线中两个给定或更早填充的数字中填充一个空单元格。由于所给的提示，这道问题所需要的创造性思维和认知要求也受到了限制。但是，它的解决方案路径不能完全确定，因为解决这道问题需要找到合适的起点，从哪一行或者哪一列出发，并且确定整个解决方案过程中可以采取的下一步是什么。因此，这道问题归类为灰色区域。但是对于这道“灰色区域”的问题，荷兰的教科书未提供有关怎样解决该任务的任何指导。

图1

第二道题是选于荷兰小学数学教科书Alles Telt四年级的内容，图2这道题是一个三角形的魔术框架，框架中的空格必须用数字1-9填充，以使三角形的每一侧加起来为17。这道题很可能没有已知的解决方案应用，并且教科书也没有提供有关如何解决该问题的说明。因此，这道题需要进行分析，将合计为17的数字相结合，同时要考虑到三角形到拐角处的三个数字结合使用两次，它们的数字加起来等于17。这道题对于学生来说，提出了更高的认知要求，需要学生拥有创造性的数学思维，所以，这道题归类为非常规问题。对于这道非常规问题，荷兰教科书未提供有关如何解决该问题的提示。

图2

第三道题是选自于荷兰小学数学教科书Rekenwonders的六年级的问题，图三这道题涉及条形模型，对于数学的问题解决，建立数学模型，可以使数学明朗化。并且条形模型也被明确表示为解决非常规问题的工具。这道题是通过给出的部分示例来完成的，示例中给出了解决特定问题的步骤，通过模型可以更好地了解问题，学生只需填写数字即可。因此条形模型作为问题解决的工具，让问题计算变得更简单。

图3 选自Rekenwonders这本书6年级的问题

经过分析的三个小学数学教科书系列都在一定程度上具有包容性的特点，其材料按照适合不同学生群体的问题进行组织。在Pluspunt和Alles Telt中，这包含三个级别的差异化问题：几乎所有学生都会的问题；对能力较强的学生的认知要求更高的问题；以及对能力较弱的学生尤其是简单的问题。Rekenwonders这本教科书提供了两个级别的问题：面向所有学生的问题和针对能力更强的学生的要求更高的问题。因此，在这本教科书中，能力较弱的学生将获得所有人的问题，而在其他荷兰教科书系列中，这些学生将获得较轻松的问题。这意味着与其他荷兰教科书相比，Rekenwonders实际上为能力较弱的学生提供了更具挑战性的问题。在Pluspunt和Alles Telt中，大多数非常规问题和灰色区域问题都包含在给能力较强的学生的材料中。在所有教科书系列中，Rekenwonders提供了两个年级中解决问题最多的任务。Pluspunt 提供了最少的四年级问题解决任务。由于Rekenwonders这本教科书中，也向能力较弱的学生提供了真正的问题解决的任务。这与另外两本荷兰教科书的结构不同，在后者中，能力较弱的学生获得了较容易解决的问题。

在教师指南中也发现：在《Rekenwonders的教师指南》中，提供了问题解决的启发式方法，例如猜测和检查。并且明确提到了学习时应该使用启发式教学。此外，教师指南还提出了一些问题建议，要求学生让他们知道问题解决的过程。这些措施包括要求学生总结问题的数据，状况和未知数，并激发他们考虑问题的表示形式。其他教科书几乎没有提供任何与Rekenwonders所提供的问题解决相似的学习促进的方法。这三个教科书系列的教师指南确实为学生可能提出的问题提供了建议，但并未为学生问题解决的学习提供建议。仅在少数情况下，Alles Telt会在学生用书中建议您画一张桌子。在Pluspunt中，有时在教师指南中强调的是，学生应该阅读问题并系统地工作。

三、启示与借鉴

教科书分析除了可以直接提供学生学习什么数学知识外，还可以揭示教科书中隐含或隐藏的选择，尤其是与源于数学教育下不同传统的教科书之间的比较，可能会为小学数学内容和教学方法提供新的启示。通过对荷兰小学数学教科书系列的内容进行分析，和对教科书的组织结构进行分析，发现了教科书中提供的学习机会还应考虑向谁提供了什么内容。根据研究得到了以下几点启示：

（一）运用模型对问题进行解决

模型是用数学的语言阐述现实世界中的事。［3］在“数学课程标准”中也说过：数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。［4］在Rekenwonders这本教材中以条形模型作为问题解决的工具，使问题只需要简单的计算即可。通过建立模型，在分析中，可以将实际问题进行符号化并从而确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，然后根据数学模型的特征，可以采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解，从而解决问题。［5］

（二）教科书中适当增加非常规问题和灰色区域问题的数量

Pluspunt和Alles Telt这两本教科书的大部分的问题都是常规问题，仅有少数的灰色区域和非常规问题。非常规问题很难通过正常的数学知识进行解决，当我们的教科书中没有包含非常规问题的类型，学生们的非常规问题解决的能力也几乎没有。灰色区域问题虽然不具备非常规问题的性质，但是学生们可以通过解决灰色区域问题，为解决非常规问题打下基础。因此在小学数学教科书中可以适当地把一些常规问题转化为灰色区域问题，让学生的问题解决能力有了更高层次的锻炼，并且提升了学生的数学素养。

（三）教科书可以适当提出问题解决的建议

Rekenwonders这本教科书对于问题解决提供了问题建议，学生在对问题进行解决时，对问题提出的意见进行了解，考虑问题解决的表现形式是否正确。让学生进一步提高综合运用所学知识提出和问题解决的能力。

正如Halmos所言：“每个有意义的生活的主要部分是问题的解决”。［6］用弗洛伊登塔尔的话说：“如果人们从不将数学作为解决问题的活动来体验，那么数学如何成为人们的心智学科呢？”。［7］如果将来的小学数学教科书（可能适用于任何数学教科书）为所有学生提供更多学习问题解决的机会，则获得此类经验的机会将大大增加。