数学表达：促进深度学习的有效方式

靖梅

[摘  要] 数学表达，不仅关乎言说，而且关注倾听。纵横交融的表达、感理交融的表达以及动静结合的表达让数学表达具有广度、深度和效度。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生学会“数学地表达”，更要引导学生“通过数学学会表达”（郑毓信语）。数学表达，应当成为学生数学素养的确证与表征，应当成为学生本质力量的确证与表征。

[关键词] 小学数学;数学表达;有效方式

数学表达是学生最为重要的数学素养，也是促进学生深度学习的有效方式。数学表达不同于其他学科知识的表达，它要求学生的数学学习严谨、缜密，富有逻辑。因为只有严谨、缜密、富有逻辑的思维才能生成学生有序、深刻的数学表达。数学表达，不仅关乎言说，而且关注倾听。关涉学生核心素养的数学表达，要求简约、严谨，要求条理、富有逻辑，要求独创并且深刻。数学表达，应当成为学生数学素养的确证与表征，应当成为学生本质力量的确证与表征。

一、纵横交融，让数学表达有广度

所谓“数学表达”，是指“将思维所得的成果用语言反映出来的一种行为”。数学表达的对象首先指向数学知识。过去，许多学生的数学表达往往比较单一，就是关于数学知识“是什么”的表达。纵横交融的数学表达，不仅要表达数学知识“是什么”，更要表达数学知识“为什么”“怎么样”。纵横交融的数学表达，让学生的数学学习富有广度。通过这种纵横交融的数学表达，让学生明确数学知识“从哪里来”“到哪里去”。通过富有广度的数学表达，不断拓宽学生的思维疆域。

比如教学《比的基本性质》时，引导学生深刻认识“比的基本性质”是教学的重点，引导学生“化简比”是教学的难点。教学中，笔者不仅要求学生能正确地化简比，更要求学生能进行清晰的数学表达。如“比的基本性质相当于什么”“化简比的依据是什么”“化简整数比的一般步骤有哪些”“化简小数比的一般步骤有哪些”“化简分数比的一般步骤有哪些”等，都是学生表达的对象。通过表达，学生不仅在纵向维度上理解了化简比的依据、步骤等，更在横向维度上厘清了“商不变的规律”“分数的基本性质”“小数的性质”之间的关系等。纵横交融式的数学表达，让表达具有了一定的广度。学生在数学学习中获得的数学知识不再是杂乱的、无章的、零散的，而是有着内在的逻辑的，成为一种结构化的体系存在。

纵横交融的数学表达，激活了学生的已有知识经验，让学生能主动地进行观察、猜想、验证、推理等活动。纵横交融的数学表达，让学生的数学学习灵活多变，由此提升了学生数学学习的效能，促进了学生数学核心素养的发展。

二、感理交融，让数学表达有深度

数学表达不仅是学生数学思考走向深入的有效路径，更是学生深度学习的重要支撑。数学表达是将个体学习的所思所想，通过不同的表征形式分享、交流。感理交融，是数学表达的主要特质，它能让学生的数学表达富有深度。其中，有倾听、思考、质疑、评价、修正等。在学生的数学表达之中，不仅蕴含着学生的数学理解，更蕴含着学生数学学习的元认知思维、批判性思维、创造性思维等。从这个意义上说，感理交融的数学表达有助于学生的高阶认知。

比如教学《成正比例的量》时，笔者出示了一个单价、数量、总价的数量关系表格，王老师买笔记本，买一本笔记本需要5元，买两本笔记本需要多少元？买三本笔记本、四本笔记本……呢？为此，笔者引导学生表达。刚开始，学生的数学表达非常感性，其中还夹杂着一些不科学之处。比如有学生说，一个量增加，另一个量也增加;比如一种量扩大，另一种量也扩大，而且扩大相同的倍数，等等。对于学生的不严谨、不科学的表达，笔者主动介入，及时示范“数量和总价是两种相关联的量，买练习本的数量扩大，买练习本的总价也随着扩大。但买练习本的总价和买练习本的数量之间的比值也就是商保持一定。所谓，买练习本的数量和买练习本的总价成正比例。买练习本的数量和买练习本的总价之间的关系是正比例关系。”在理解性的基础上，学生展开仿照性练习，从而让自我的数学表达逐步从感性走向理性，从模糊走向清晰，从合理走向科学。

感理交融是学生数学表达的一个主要特色。在数学表达之中，教师要让学生的数学表达言之有物、言之有序、言之有理、言之有力、言之有创。对于学生不正确、不合理、不科学的表达，要进行积极的引导，促进学生的表达从模糊到清晰、从凌乱到有序、从主观到理性，彰显学生数学表达的理据。

三、动静交融，让数学表达“有效度”

学生数学学习活动从根本上是一种思维性的活动，但这種内在的思维性活动离不开外在的操作性活动。动静交融、内外交融是学生数学表达的又一特质。动静交融，能让学生的数学表达更“有效度”。从某种意义上说，学生的外显操作是学生内在的数学表达的“外援帮助”，学生的内在的思维是学生外在的数学表达的“内源支撑”。

比如教学《圆柱的认识》这部分内容，首先学生通过直觉很容易地发现圆柱的两个底面相等。但我们知道，数学的结论并不能依赖于直觉，而必须进行有效验证。通常情况下，学生只是通过动手操作，将两个底面剪下来放置在一起，根据两个底面完全重合，从而证明两个底面完全相同，当然也就证明了两个底面相等。在这里，外显的操作尽管对学生的数学直觉进行了佐证，但归根结底还是一种外在的、感性的证明。许多教师或许会采用多样化的方式方法来引导学生证明，诸如用直尺、细绳等测量圆柱底面的周长、直径等，从而通过周长、直径相等来证明圆柱底面相等。笔者在教学中，引导学生从思维上推理两个底面完全相同。首先让学生用一个长方形来旋转，学生发现，所谓“圆柱”也就是以长方形的长或者宽为轴旋转长方形之后所形成的轨迹。圆柱的底面积决定于长方形的长或宽，由于长方形的长相等或宽相等，因而旋转所围成的圆柱的底面积就是完全相同的。如此，学生在数学表达中，就能结合操作与逻辑推理进行数学表达。动静交融、内外结合的表达，让学生的数学表达更有效度。

数学表达不仅仅是引导学生简单地“说数学”，它不同于一般的生活表达。数学表达要让学生数学学习浸润于数学的语言世界之中。从这个意义上说，数学语言是学生数学学习、数学存在的家园。不仅应当引导学生学会用“数学的语言”来表达，而且要引导学生实现自然语言、图形语言、符号语言之间的转换。通过数学表达，学生能够在数学王国中理性地栖居。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生学会“数学地表达”，更要引导学生“通过数学学会表达”（郑毓信语）。