换个角度看轴对称图形

卢奕斌

[摘  要] 许多课，大家上得大同小异，除了教材编写的原因之外，还因为我们对某个概念的认识是相近的。一堂几乎改头换面的数学课，背后更多的是对某个概念地进一步理解。对于北师大三下《轴对称（一）》一课中轴对称图形的概念，我们普遍把其定义成“对折后两边能够完全重合的图形。”张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》一书中从刚体运动的角度对“轴对称图形”有不一样的认识，以此为据，换个角度看《轴对称（一）》一课，有可以改进的空间。

[关键词] 角度;轴对称图形

缘起

佛家有句话，叫“相由心生”，说的是你的内心决定你的外貌。许多课，大家上得都差不多，除了教材编写的原因之外，还因为我们对某个概念的认识是相近的。网上有句名言，“乔布斯重新定义了手机”，他把手机定义成了一个微型电脑，一个电话，一个浏览器，从此实体键盘开始远离手机，只剩一个大屏幕。手机再次长成了大同小异的样子。我们的数学课堂也是一样，在一段时间里，对某个概念的教学总是相近的，但如果有专家对某个概念进行了重新定义，某位名师进行了精彩的演绎，和这个概念相关的课堂就可能会发生很大的变化。寒假里，笔者研读了一本书张奠宙老师的《小学数学教材中的大道理》，他对轴对称图形下了一个不太一样的定义，如果从他给的定义出发来上一堂《轴对称图形》课，应该会有一个不太一样的课堂。

轴对称图形

一、教材这样编

先看看北师大三下课本《轴对称（一）》是怎么编排这一内容的，教师用书上确定的学习目标是：

1. 通过观察和操作活动，初步认识轴对称图形。

2. 会直观判断轴对称图形，能用对折的方法找出轴对称图形的对称轴。

所以教材提供了如下主题图

这是一组由图案、图形和文字组成的材料，让孩子通过观察，发现这些图形两边一样，通过操作折一折验证两边一样，从而引出两个概念：轴对称图形和对称轴。后面是几组直观判断和对折找对称轴的材料。

一路下来，许多老师给轴对称图形下的下定义就是对折后两边能够完全重合的图形。一些负责任的老师还把这句话抄下来让孩子去读，去背。在实际教学中，孩子们对以上图形并不会有争议，部分孩子很难接受的是长方形的对角线居然不是对称轴，平行四边形居然不是轴对称图形，它们明明也分成了完全一样的两部分，怎么就不行了。问题出在哪？原因之一是孩子们对轴对称图形的理解停留在“相同”，我们在带孩子们认识的第一份材料里，带给孩子对轴对称图形的初体验就是两边一样，虽然安排了对折环节试图去强调“重合”的相同，但是没有让孩子看见在“重合”的相同之外还有“不重合”的相同;原因之二有方法难实现，孩子们能接受对折是验证轴对称图形的好方法，可面对印在纸上的图形，要在头脑中完成对图形进行对折的想象实在太难了。

二、教授这样说

张奠宙教授是怎么看待这一内容的？

平移、旋转和翻折这三种运动是最基本的平面图形运动。在小学数学教材中，往往把平移旋转放在一起，而把翻折放在“对称”一节，并称作轴对称。为了对刚体运动有一个完整的认识，并为中学里学习平面几何打基础，建议明确提出“翻折”运动，并和平移、旋转放在一起考查。

张奠宙教授的观点和课本最大的差别在于：课本是从名词的角度来介绍轴对称图形，有的图形具有轴对称的性质，怎么知道？对折一下，用是否重合做判断。张老师认为应该从动词的角度来认识轴对称运动，把一个图形翻过来，得到一個位置不同的图形。如果从名词的角度出发，我们的课堂更多的精力放在观察、判断、验证上，如果从动词的角度出发，我们的课堂应该往认识翻折，想象翻折上使点力。可不可以在观察操作之外，增加一段翻折的体验，在保证认识名词的“轴对称图形”的同时，也认识一下动词的“轴对称变化”？

三、我想加一环

在经历完教材安排的观察、发现、验证、总结之后我增加了这样一个环节：

问孩子们数学的平面图形里有轴对称图形吗？大部分情况下都会有孩子提到平行四边形，如果没有孩子提出，教师也可以自己给出平行四边形。问题提出后就聚焦问题：要知道平行四边形是不是轴对称图形，你会怎么折？

根据学生回答，呈现各种折痕

师：仔细观察，同学们想到的各种折法都做到了一件事，这件事是什么呢？

生：两边完全一样。

师：接下来我们就要实际验证一下，看看对折之后——

生：能不能完全重合。

师：同桌合作，完成所有折痕的操作，并总结你的发现。

在操作之后，孩子们会发现所有的折法都不符合轴对称图形的要求，明明两边看着完全一样，折起来却不能完全重合，这对大部分孩子而言，打击是巨大的，是观念不能承受之重。

人人有话说：两边完全一样并不一定是两边能够完全重合。

进一步启发学生思考：为什么这些图形两边完全一样都不能完全重合呢？让孩子们选取几个上台演示，看见把折的那一边翻了一下，体会“翻折”两字。

如果我们选取这个平行四边形的一半——三角形为材料，翻折一下，你能创造出怎样的轴对称图形？

孩子们实物操作用三角形在作业纸上翻折，描出轴对称图案

观察翻折的两边一样，和不是翻折的两边一样有什么不一样？

教师根据学生回答，旋转这些图形，感受轴对称图形的美——平衡

结语

一个概念的定义发生变化，一堂课的样子就发生变化，我不止一次见证这样的情况发生，从教多年，触动最大的一堂课是：认识方程。

在很多年以前，老师们认可的方程的定义就是：含有未知数的等式。我们的课堂可以是这样的：教师不断在天平两边放180克香蕉，未知质量的苹果和300克的砝码，生成许多学习材料：x+30=180，180+□=300，180+x=300，180+x>300，180+x<300……接着，教师指导学生把以上式子进行分类，先把式子分成等式和不等式，再把等式分成有未知数和没有未知数，最后给含有未知数的等式一个名称，叫作方程。

近两年，多次听到完全不同的版本，有的老师认可张奠宙老师的定义：为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。他的课堂就是为了让学生感受列方程的目的是寻找未知数，关键是等式关系。有的老师认可史宁中老师的定义：方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中一个用字母表示未知量，这两个故事有一个共同点，数量相等。他的课堂就是为了让学生感受两个主角干同一件事。

之所以会呈现出两类三堂天差地别的《认识方程》课，原因都在于不同的人心里装了一个不一样的方程的概念。胜者就是那个真正抓住方程的本质的老师。从前，笔者更偏向于看名师实录型图书，与其告诉我为什么要那样做，不如直接告诉我应该怎么做;现在，我却越来越偏爱看偏理论的图书，不必告诉我应该怎么做，请告诉我这到底是什么东西，它从哪里来，要往哪里去。那一堂堂迥然不同的课的背后是对概念理解的差异，是对孩子理解的差异，是对课堂理解的差异，是我们的认知定义了我们课堂的样子。