例析焦点三角形，求解椭圆离心率

叶宇桦

圆锥曲线的离心率是高考常考知识点，是椭圆和双曲线极为重要的性质。根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》的要求，高中生要掌握椭圆的几何性质，包括范围、对称性、顶点和离心率。离心率是椭圆性质中的难点，考法非常灵活，有直接法、带点坐标法、通径法和焦点三角形法等，每一种方法又可以细分出不同的小题型。笔者根据自己的教学经历，将焦点三角形法细分成以下四种类型，供大家参考。

一、焦点三角形的角

题目给出焦点三角形的两个角的大小，或者一个角的取值范围，可以利用正弦定理将离心率中a，b，c的比值转化成焦点三角形中角的正弦值之比，从而求出离心率的大小或者取值范围。

例1.点p是椭圆C1：=1（a>b>0）与圆x2+y2=a2-b2的一个交点，且2∠PF2F1=∠PF1F2，其中，F1，F2分别为椭圆C1的左、右焦点，则椭圆C1的离心率为（）

A.   B.   C.   D.

【解析】点P是椭圆与圆的交点，所以∠F2PF1=90o;又因为2∠PF2F1=∠PF1F2，所以∠PF1F2=60o，∠PF2F1=30o则e=，答案选A。

例2. 已知椭圆=1（a>b>0）的左、右焦点分別为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A.      B.

C.       D.

【解析】△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，若设∠PF1F2，则∠F2PF1=∠F1PF2=，由60°<∠PF1F2<120°可知，，进一步求得，答案选A。

【评析】对于焦点三角形PF1F2，若设∠PF1F2=，∠PF2F1=，则有

二、焦点三角形的边

已知焦点三角形中三边或者两边的关系，利用椭圆的定义、完全平方式、余弦定理等求解椭圆离心率。当焦点三角形位置比较特殊，如，顶点恰好为椭圆与坐标轴的焦点，还可以用特征三角形或者直角三角形的三角函数值以解答。

例3.设分别为椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点，椭圆C上存在一点P使得|PF1|-|PF2|=b，|PF1|·|PF2|=ab，则该椭圆的离心率为（）

A.            B.          C.            D.

【解析】题目给出两条焦半径的两个关系式，还有隐含的椭圆的定义|PF1|-|PF2|=2a，观察三个式子的形式，可以联想完全平方式：（|PF1|-|PF2|）2=（|PF1|+|PF2|）2-4|PF1||PF2|，代入可得b2=4a2-ab，两边同时除以a2得到，解得，从而，答案选C。

例4. 已知椭圆C的焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点。若|AF1|=2|F1B|，|AB|=|BF2|，则椭圆C的离心率为______。

【解析】根据题意画出图形，设|BF1|=x，则|AF1|=2x，|BF2|=|AB|=3x利用椭圆的定义求出|AF2|的表达式，在△ABF2中利用余弦定理求出cos∠ABF2，在△BF1F2中，利用余弦定理求出|F1F2|的表达式，代入离心率公式求解即可.根据题意，作图如下：

设|BF1|=x，则|AF1|=2x，|BF2|=|AB|=3x，由椭圆的定义知，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=x+3x=4x=2a，因为|AF1|=2x，所以|AF2|=2x，在△ABF2中，由余弦定理可得，，在△BF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|·cos∠ABF2，即|F1F2|2=x2+（3x）2-2·x·3x·，解得，所以，所以椭圆离心率.故答案为：。

另外，顶点A恰好为椭圆上顶点，△AOF1为特征三角形，|AF1|=|AF2|=a，|AB|=|BF2|=由余弦定理可得，，又因为，所以解得。

三、焦点三角形的面积

对焦点三角形而言，椭圆上的顶点P的变化引起焦点三角形的面积的变化，其取值范围是（0，bc]。当点P位于椭圆短轴所在的顶点时，焦点三角形面积取得最大值。利用焦点三角形面积的取值范围或者最大面积作为临界值，可求解离心率。

例5. 已知F1、F2分别是椭圆的上下两个焦点P，若椭圆上存在四个不同点 ，使得△PF1F2的面积为 ，则椭圆的离心率的取值范围是（）

A.         B.     C.        D.

【解析】由椭圆的对称性可知，当椭圆上存在四个不同点P，使得△PF1F2的面积为时，焦点三角形面积的最大值大于，即bc>。将a=2，b=代入得到，解得1

例6. 已知，分别是椭圆=1（a>b>0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以c为半径的圆内切于△PF1F2，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A.B.C.D.

【解析】不妨设内切圆圆心为M，连接MP、MF1、MF2，焦点三角形被分成三个小三角形。

由于，故，即，整理可得，两边同时除以a2可得3e2+3e-1≤0，解得。结合0

四、构造焦点三角形

题中只给出一个焦点，将另外一个焦点补到图中，根据椭圆的定义和对称性，得到a，b，c的值或者比值来求解离心率。

例7. 已知椭圆E：=1（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）

A.       B.       C.       D.

【解析】如图所示，设F'为椭圆的左焦点，连接AF'，BF' ，则AFBF' 四边形是平行四边形，所以4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a，所以a=2.取M（0，b），因为点M到直线l的距离不小于，所以，解得，从而，椭圆E的离心率的取值范围是，答案选A。

例8. 椭圆=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________.

【解析】设椭圆的另一个焦点为F1（-c，0），如图，连接QF1，QF，设QF与直线交于点M。由题意知，M为线段QF的中点，且OM⊥FQ.又O为线段F1F的中点，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|=2|OM|.在Rt△MOF中，tan∠MOF==，|OF|=c，可解得|OM|=，|MF|=，故|QF|=2|MF|=，|QF1|=2|OM|=.由椭圆的定义得|QF|+|QF1|==2a，整理得b=c，∴a==，故e==.

责任编辑  钟春雪