内引外联巧构造

朱鸣

在解决网格图形中的锐角三角函数问题时，我们往往借助格点来确定直角三角形，并通过对图形的平移、翻折、旋转等变换，将锐角放置其中，从而达到解决问题的目的。

【引例】在如图1所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，求tan∠ACB的值。

【思路一】“内引”：其思路是在三角形内部作高，通过构造直角三角形解决问题。如图2，过点B作BF⊥AC交AC于点F，将∠ACB放置于Rt△BCF中，通过等积法两次计算△ABC的面积，一次以AB为底，一次以AC为底，求出BF的长，然后在Rt△BCF中求出CF的长，从而解决问题。这种方法也是解决此类问题的通法。

【思路二】“外联”：其思路是通过延长已知线段，或连接某些格点，在原三角形外部进行扩充，将所求问题放置其中予以解决。如图2，我们可以将视角集中于整个网格图形的左下侧，通过延长线段CB至格点E，再连接AE，即可构造Rt△ACE。由于每个小正方形的对角线长度相等，所以tan∠ACB=[AECE]=[13]。

无论是“内引”还是“外联”，其目的都是构造直角三角形，为求锐角三角函数创造条件。下面我们结合图形的变换来探讨这两种方法的运用。

一、通过平移进行外联

在网格图中，格点之间连线的交点不一定在格点处，形成的锐角也往往不在直角三角形中，如何求它们的三角函数值呢？我们先看下面的例题。

例1 在如图3所示的网格中，每个小正方形的边長均为1，点A、B、C、D都在格点上，且AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。

【思路分析】通过“内引”的办法比较困难，虽然过点B作CD边上的高或过点D作AB边上的高容易，但构造直角三角形后如何求出∠APD的对边却比较困难。如果以点A为原点，建立平面直角坐标系，可以通过求直线交点的方法求出点P的坐标，但后续求直角三角形中直角边的长比较麻烦。因此，“内引”不成，我们便想办法通过平移变换进行“外联”。将线段CD向上平移1个单位至BE的位置，将∠APD转化为∠ABE，此时角的顶点在格点上，便于我们连接格点，构造直角三角形解决问题。如图4，再连接AE，容易发现△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABE=45°，问题得以解决。当然，如果平移以后，仍然是一个一般三角形，我们可以继续运用“内引”的办法来解决问题。

二、通过翻折进行外联

在图形翻折的过程中，几何元素的不变性值得我们关注。在网格图中，图形的翻折会改变角的位置，但不改变其大小。如图5和图6，看似存在差异，但实质上，将图5沿着网格中间的水平线翻折即可得到图6，两幅图中交点P处所成的锐角大小不变，在翻折中只是改变了它的位置。这样的翻折在网格图中有什么应用呢？请看下面的例题。

例2 在如图7所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，求tan2∠CAB的值。

【思路分析】在解决2∠CAB问题时，可以利用图形的翻折进行构造。翻折方法一：如图8，将△ABC沿直线AC翻折，即可得到∠BAB′=2∠BAC，然后在△ABB′中通过“内引”，构造AB或AB′边上的高，以通法求解。其中AB=AB′=2，BB′=2BF（BF的长可以在△ABC中通过等积法来求）。翻折方法二：如图9，将△ABC和网格线沿直线AB翻折，可得到∠CAC′=2∠BAC，然后在△ACC′中通过“内引”，构造AC或AC′边上的高，以通法求解。翻折方法三：如果我们追寻“等腰出，倍角现”这条线索，如图10，只需过点B作BE⊥AC，交AC于点E，将△ABE沿着BE翻折，使点A落在AC上的A′处，连接A′B、A′D，由外角的性质可知∠A′BD=2∠CAB。虽然△A′BD不是格点三角形，但我们仍可以通过“内引”三角形的高解决问题。

三、通过旋转进行内引

对于旋转，看似只有两个元素（旋转中心和旋转角度），但它不像平移和翻折那样比较直观，相对而言，思维要求和操作难度都比较大，因此，我们有时可以借助线段自身的旋转达到发现的目的。

例3 在如图11所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、O都在格点上，D是AC边上的任意一点，AE⊥BD于点E，求sin∠BEO的值。

【思路分析】乍一看无从下手，但结合条件AE⊥BD，再仔细观察，我们会发现AO⊥BO，所以有∠OAE=∠OBD，再结合AO=BO这样的相等关系，能启发我们可以从旋转的角度考虑问题。若将△AOE绕点O逆时针旋转90°，使它与△BOF重合，在旋转过程中，△AOE的形状、大小不会变化，而旋转角度是90°，故明确了△OEF的特殊性——等腰直角三角形，所以∠BEO=45°，此时求sin∠BEO的值也就水到渠成了。

对于求解锐角三角函数类问题而言，网格仅仅是一个载体，内引和外联是解题的方法，平移、翻折和旋转是解题的策略。有了网格中隐含的直角和相等的线段，结合解题的方法与策略，难题就会变得容易多了。

（作者单位：江苏省太仓市实验中学）