轴承不对中与轴承摩擦激励耦合作用下轴系的振动特性分析

覃文源，张智轩，刘文，谭焕成

(中国航发商用航空发动机有限责任公司，上海201108)

推进轴系是重要的船舶动力传递系统，其振动不仅会影响到自身工作性能，更是主要的辐射噪声源[1-2]。其中，水润滑橡胶轴承的摩擦激励是轴系产生异常振动的重要诱因之一[3-8]。水润滑橡胶轴承具有无污染和吸收振动的特性，其被广泛应用于艉轴支承[9]，但是由于螺旋桨的悬伸布置，在低速、重载以及开、停机等工况下，水润滑橡胶轴承往往处于混合润滑或者边界润滑状态[1,10]，不良的润滑状态会导致相对较大的轴承摩擦激励力，进而诱导轴系产生异常振动、噪声。由于对低噪声轴系的迫切需求，研究者们在有关轴系振动特性及其影响因素等方面开展了一系列研究工作。文献[11]分析了轴系静态不确定因素对多跨转子系统非线性动力响应特性的影响。文献[12]对存在联轴器不对中的轴承-转子系统振动特性以及稳定性进行了研究。刘占生等[13]综述了有关转子系统中联轴器不对中问题的研究。Jun等[14]分析了动力润滑滑动轴承的压力分布对轴系载荷分布的影响。文献[15-16]考虑了有不对中效应存在下滑动轴承的动力润滑特性。李方等[17]采用有限元方法分析了轴承不对中对螺旋桨轴系静态特性的影响。马斌等[18]建立了标高-非线性支承力-弯曲振动系统动力学模型，并分析了艉轴承标高对推进轴系横向振动特性的影响。文献[7]采用实验方法分析转速、轴承载荷、轴承冷却水温度以及轴承安装状态对水润滑橡胶轴承摩擦噪声的影响。文献[19]研究了滑动轴承润滑膜刚度对推进轴系振动特性的影响。文献[20]研究了螺旋桨激励下推进轴系扭转、纵向、弯曲耦合振动特性。文献[3-5，21-22]等考虑了轴承界面摩擦激励与推进轴系、壳体动力学特性的耦合，并采用解析方法分析了轴承界面摩擦力对系统振动特性的影响。目前，对推进轴系安装状态和水润滑橡胶轴承摩擦激励耦合作用下的轴系振动特性的研究还不够充分，基于上述研究，本文重点研究轴承不对中与轴承摩擦激励力的耦合作用对轴系弯、扭耦合振动特性的影响。

1 动力学建模

推进轴系的简化模型如图1所示。其中，前、后支承均简化成单点弹簧-阻尼器并联支承；水润滑橡胶轴承相对较长，同时受不良润滑状态的影响，故将水润滑橡胶轴承简化成分布弹簧艉支承；分析时，仅考虑联轴器至螺旋桨轴段，如图1(b)所示；螺旋桨、联轴器分别简化成具有等效质量和惯量的刚性圆盘；坐标系方向如图1(b)所示，原点位于所分析轴段的最右端。

图1 推进轴系简化模型

1.1 轴承支反力

分析轴承的支反力时，将其表示成弹簧支承力与阻尼力的和。其中，轴承主方向刚度和阻尼远大于交叉刚度和阻尼[23]，本文中未考虑轴承的交叉刚度和阻尼。

式中：Fbs为弹簧支承力，Fbd为阻尼力，kyy、kzz分别为轴承y、z方向的主刚度，kyz、kzy为交叉刚度，cyy、czz为轴承y、z方向的阻尼，cyz、czy为交叉阻尼，δy、δz分别代表轴承y、z方向的相对弹性变形量。

kyy、kzz分别是δy、δz的函数[18]：

式中：kyy0、kyy1、kyy2、kzz0、kzz1、kzz2均为待定常系数。

1.2 摩擦模型

轴承-轴颈接触界面的摩擦模型对分析结果起着决定性作用[24-26]。当转轴运转时，轴承-轴颈接触模型如图2所示。转轴和轴承之间的摩擦激励可以等效为通过转轴轴心的摩擦力Ff和力矩Mf，为了模拟低速、重载工况下水润滑橡胶轴承的摩擦特性，本文选用经典的Stribeck速度指数依赖型摩擦系数模型。

图2 轴承-轴颈接触模型

动摩擦系数μd表示如下：

式中：α0、β0均是由实验确定的常数，μs为静摩擦系数，vr为轴承-轴颈间相对滑动速度，sgn(·)为符号函数。

摩擦力Ff，力矩Mf：

式中：FN为轴承-轴颈间法向接触力，R为转子半径。

艉轴承-轴颈接触界面正压力的垂向分量FNsy：

式中：Fbsyi为艉支承第i个分布弹簧的支反力，n为艉支承分布弹簧的数目，Fgs为艉支承承受的相应重力分量。

轴承-轴颈间相对滑动速度的水平分量vrz：

式中：Ω为转轴自转角速度，θx为转轴扭转振动角位移，z为转轴水平方向的振动位移。同理，可以得到相对滑动速度的竖直分量。转轴的横向、扭转振动通过轴承界面摩擦激励力耦合。

1.3 轴系动力学模型

基于拉格朗日方程和有限元方法建立推进轴系的动力学模型。将轴系离散为2节点的Timoshenko梁单元，分析轴系的横向、扭转振动特性，并考虑转轴陀螺力矩的影响。

每个节点的自由度表示如下：

式中：5个自由度分别为沿y、z方向的平动自由度以及绕y、z、x轴的转动自由度。

刚性圆盘的运动微分方程：

式中：ud为刚性圆盘对应的节点自由度向量，Md、Gd分别为刚性圆盘质量矩阵和陀螺矩阵，相应矩阵的详细表达式可见参考文献[27]，Qd为相应节点处的广义力向量。

弹性轴单元的运动微分方程：

式中：us为弹性轴单元相应节点自由度向量，Ms、Gs、Ks分别为弹性轴单元的质量矩阵、陀螺矩阵以及刚度矩阵，相应矩阵的详细表达式可见参考文献[27]，Qs为相应节点处的广义力向量。

将各部分运动微分方程综合，可得轴系的运动微分方程：

式中：M、C、G、K分别为轴系的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵以及刚度矩阵，Fg为轴系重力矢量，Fb为轴承支反力矢量，Ff为系统所受摩擦力矢量。

系统阻尼选用Rayleigh比例阻尼[28]：

式中：α、β均为比例阻尼系数。

利用模态叠加法[29]对方程(13)进行降阶：

式中：Ui(x)为第i阶模态向量，选用的模态向量已经考虑了轴承标高变化对轴系静态特性的影响，qi(t)为相应的模态坐标。

基于方程式(15)，将方程式(13)中的各量由物理空间转换到模态空间：

式中：M′、C′、G′、K′分别为模态空间中相应的质量矩阵、阻尼矩阵、陀螺矩阵以及刚度矩阵，M′=UTMU，C′=UTCU，G′=UTGU，K′=UTKU为模态空间中的重力矢量，F′g=UTFg，Fʹb为模态空间中的轴承支反力矢量，为模态空间中的摩擦力矢量，Fʹf=UTFf。

2 数值仿真

2.1 模型参数

橡胶轴承简化成5个并联分布的弹簧支承，艉支承的总刚度[17]（单位N/m）如式(17)、式(18)所示，5个分布弹簧的刚度均为总刚度的1/5；L=20 m、L0=0.85 m、L1=9.65 m、L2=7.5 m，轴截面半径R=0.14 m；弹性模量、泊松比、密度、剪切模量分别为2.1×1011Pa，0.3，7 850 kg/m3，0.769×1011Pa；螺旋桨的质量、极转动惯量以及直径转动惯量分别为mp=2 000 kg、Jpp=600 kg·m2、Jdp=300 kg·m2；联轴器端质量、极转动惯量以及直径转动惯量分别为mc=1 000 kg、Jpc=200 kg·m2、Jdc=100 kg·m2；前支承刚度kyyf=kzzf=1.0×108N/m；后支承刚度kyyr=kzzr=2.5×108N/m；弹性联轴器的扭转刚度和径向刚度分别为2.5×106N·m/rad，8.0×106N·m。

2.2 动力响应

采用二分法迭代求解轴系的静平衡位置，并分析轴系的固有振动特性。模态截断时，横向振动取前36阶模态，扭转振动取前16阶模态，阻尼系数α=0.13，β=1.7×10-4，主轴转速为60 r/min，采用4阶Runge-Kutta方法求解方程式(16)，主要分析前、艉支承标高变化对转轴横向、扭转振动时域及频域特征的影响。其中，ωb1、ωb4、ωb5、ωb7、ωb8、ωb9分别对应横向振动第1、4、5、7、8、9阶频率；ωt1、ωt2、ωt3、ωt4分别对应扭转振动第1、2、3、4阶频率。

图3、图4分别对应前支承标高抬高、降低0.004 m时，转轴的横向、扭转振动时域及频域特征。为了进一步明确前支承标高的影响，将支承标高抬高0.004 m，降低0.004 m以及标高未发生改变3种状态下转轴的横向、扭转振动频域特征加以比较，如图5所示。

图3 前支承标高抬高0.004 m，转轴横向、扭转振动时域和频域特征

图4 前支承标高降低0.004 m，转轴横向、扭转振动时域和频域特征

图6、图7分别对应艉支承标高抬高、降低0.004 m时，转轴的横向、扭转振动时域及频域特征。为了进一步明确艉支承标高的影响，将支承标高抬高0.004 m，降低0.004 m以及标高未发生改变3种状态下转轴的横向、扭转振动频域特征加以比较，如图8所示。图3、4、7所示系统响应均表现为在系统阻尼作用下逐渐衰减，且横向、扭转振动耦合效应较弱；如图5所示。一定程度的前支承标高改变量对系统振动强度的影响较小，是因为对艉支承压力分布的影响较小；图6所示系统响应有自激振动现象产生，如图8所示，第7、第9阶横向振动以及第1阶扭转振动强度得到明显放大，且表现出较强的横向、扭转振动耦合效应。

图5 前支承标高对轴系振动特性的影响

图6 艉支承标高抬高0.004 m，转轴横向、扭转振动时域和频域特征

图7 艉支承标高降低0.004 m，转轴横向、扭转振动时域和频域特征

图8 艉支承标高对轴系振动特性的影响

3 结语

诱导轴系产生异常振动的因素较多，其中，轴承不对中和艉轴承摩擦激励以及两者的耦合作用是不可忽视的影响因素。本文建立了轴承不对中与艉轴承摩擦激励耦合作用下推进轴系的动力学模型，并利用四阶Runge-Kutta方法分析前支承、艉支承标高分别抬高、降低对系统横向、扭转振动响应特性的影响，可为识别轴系异常振动噪声、改善轴系振动特性提供参考。

主轴转动状态下，轴承界面摩擦力主要受主轴转速、轴承正压力以及轴承-轴颈界面接触状态的影响。相对于前支承，艉支承的标高改变会在较大程度上影响艉支承压力分布，在轴承摩擦力作用下，艉支承标高改变会对系统振动产生相对较大的影响，容易诱导自激振动现象，系统某些阶次振动强度得到明显放大，且系统振动耦合效应增强。