数学竞赛中组合几何问题的常见解法

冯加辉

摘要：数学竞赛旨在激发学生对于数学的学习兴趣，使学生在参与竞赛的过程中体会数学的魅力，从而爱上数学的学习。同时，数学竞赛对于提升学生的综合能力，培养学生思维的灵活性，提升学生独立解决问题的能力和激发学生的创新精神也具有重要作用。而组合几何作为数学竞赛中的常见题型，掌握它的解题方法才能在数学竞赛中取得一定的优势。本文重点举例说明了构建模型法、数学归纳法、化整为零以及通过找共同点建立关系的解题方法。

关键词：数学竞赛;几何组合;常见解法

1.构建模型法

构造模型法是指通过将问题转化为某种题型模式，从而得到解决问题的办法，关键在于构建模型和应用模型。教师在教学的过程中要注意培养学生自己构建模型的能力，使学生不仅能够模仿老师构建的模型，还能够模仿老师分析出模型而自行构建模型，从而提升学生的创造力。

例1 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值是多少？

分析：想象投影方式，将问题归结为具体的空间几何体中解决。

解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图，设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，

因此a+b≤4，且仅当a=b=2时取等号。

本题考查的是三视图的难点，通过用移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题得到了圆满的解决。

2.化整为零，各个击破综合问题

数学竞赛中有些题型对学生的思维能力要求较高，面对一些综合性较强的问题，需要学生能够明确自己的解题目标，不被表面的复杂现象所迷惑，冷静思考，仔细分析关键点，分步处理，化繁为简。

例2 设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于。

解析：此问题可以分解为三种情况分别进行求证：

这道题以几何熟知内容为载体，构思巧妙，综合考查几何、不等式等基础知识，深入考察同学们的数学思维能力。

3.结语：

本文只重点讲解了这几种解题方法，还有很多方法需要教师和学生在亲自实践的过程中不断地进行总结和探索。组合几何虽然变化莫测，但是我们要以不变应万变，只要我们明确解题目标，冷静思考，充分发挥我们的想象力，灵活运用数学知识，一定能够找到解决的办法。

参考文献

[1]袁天舒. 立体几何问题解法研究[D].哈尔滨师范大学，2020.

[2]程振峰，李寶毅.数学竞赛中组合几何问题的常见解法[J].中等数学，2020（05）：2-8.