具有非线性扩散的趋化模型弱解的有界性*

张婕燕， 辛 巧， 穆春来

1. 伊犁师范大学 数学与统计学院， 新疆 伊宁 835000； 2. 重庆大学 数学与统计学院， 重庆 401331

趋化行为是细胞沿化学物质浓度高的方向作的一种定向运动， 其研究在胚胎发育、 血管生成及种群动力学行为等方面具有重要意义． 文献[1]建立了经典的生物趋化模型， 主要用于刻画细胞对趋化—交叉扩散产生的奇异性反应的集体行为． 在过去的几十年中， 经典的Keller-Segel模型解的存在性、 唯一性、 爆破行为及渐近行为等问题的研究得到了越来越多学者的关注， 取得了大量的研究成果[2-6]． 最简单的Keller-Segel模型(记作KS模型)如下：

(1)

KS模型中的化学物质由细胞直接产生， 不同于该化学物质产生模式， 文献[12]提出间接信号产出的生物趋化模型， 用于刻画山松甲壳虫的扩散和聚集行为． 关于间接信号产生的生物趋化模型， 主要集中研究带有Logistic源的情形， 具体结果可以参考文献[13-15]． 特别需要提到的是， 文献[15]考虑具有拟线性扩散的生物模型， 其研究的拟线性扩散的生物趋化模型如下[15]：

(2)

注1关于生物趋化模型(2)的弱解的定义可参考文献[11]中定义1类似定义， 本文略．

注2当山松甲壳虫的随机布朗运动足够强烈时， 即山松甲壳虫的扩散强度超过甲虫信息素对其的趋化吸引作用， 那么这个松林中山松甲壳虫不会存在大量聚集现象， 不会对加拿大短叶松等松林造成了巨大的破坏． 如何增大山松甲壳虫的扩散运动， 可能对于未来松林的保护具有重要的意义．

定理2设D(u)是具有C2光滑的非减函数， 趋化模型(2)存在弱解且v∈L∞(0，T；W2，∞(Ω))， 则趋化模型(2)的解必唯一．

1 趋化系统解的L∞估计

引理1[16]设v0∈W1，∞， 对所有t∈(0，T)， 都有‖w(t)‖Lq(Ω)≤C， 那么对任意t∈(0，T)和q∈[1，d)可得

‖v(t)‖W1， s≤C

(3)

其中

(4)

若q=d， 则对于任意的s<+∞， 都有(3)式成立； 若q>d， 则有‖v(t)‖W1，∞≤C．

此外， 考虑到扩散系数D(u)可能具有奇异性， 先考虑其正则性的趋化模型：

(5)

其中Dσ(u)=D(u+σ)且σ>0， 利用文献[17]中Amann理论容易证明其局部适定性． 接下来， 先证明趋化系统(5)的解的全局适定性， 主要有如下引理．

‖u(t)‖Lq0≤C

证对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘wq0-1， 然后在Ω上积分可得

(6)

进一步， 对(6)式的右端的最后一项用Young不等式可得

(7)

因为u的Lq0范数有界， 则联合(6)和(7)式可知

(8)

其中C是常数， 即可知

‖w(t)‖Lq0≤C

因为

那么由Young不等式可知

和

另一方面， 对于∀ε>0， 有

进而可知

(9)

首先假设q

(10)

其中b∈(0， 1)． 由于-Δ是D到L2(Ω)的同构映射(证明见文献[16])， 其中

那么， 由Young不等式可知

整理可得

(11)

其中C是常数．

接下来， 对趋化系统(5)的第二个方程两边同乘-Δv， 然后在Ω上积分可得

由Young不等式可知

最后， 整理可得

(12)

对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘w， 然后在Ω上积分可得

由Young不等式可得

整理得

(13)

联合不等式(11)-(13)可知

(14)

1)在p+q>2时， 由Poincare不等式得

综上所述可得

(15)

现在， 联合不等式(14)和(15)可得

其中C(q)表示仅依赖于q的常数． 此外， 还有

(16)

和

这样就可以得到

‖uε(t)‖Lq(Ω)≤C(q)

(17)

其中C表示仅依赖于q的常数与时间无关．

可知(17)式成立．

当q1≥d， 则由引理1可知， 对于任意的l<+∞， 都有‖v(t)‖Ll≤C， 易知(9)式右边有界和(16)式成立， 那么对所有的q=q2

接下来， 可以利用文献[11]引理3证明得到引理3， 利用文献[18]引理4.1证明得到引理4．

引理3[11]假设定理1中所有条件成立， 则

‖v(t)‖L∞(Ω)≤C

(18)

引理4[18]设Ω⊂Rd(d≥1)是具有C1边界的有界的开区域， 假设m>0，um>0， 对∀u≥um， 使得D(u)≥m． 如果0

‖uε(t)‖L∞≤C2‖w(t)‖L∞≤C3

(19)

其中C1，C2和C3都是正数．

最后， 类似于文献[11]的证明方法， 由σ的任意性， 可知解的收敛性． 此外， 上述推导出的所有估计值均不依赖于T， 因此趋化系统(2)弱解有界性是全局的， 可知定理1成立．

2 解的唯一性

本节利用能量方法来证明定理2即生物趋化模型(2)解的唯一性， 主要证明过程如下．

(20)

则可知

(21)

(22)

进而可得

(23)

接下来， 对(23)的右边用Cauchy不等式得

和

此外可知

其中

进一步由方程(20)可知‖ψ(0)‖L2(Ω)=0． 进而可得：

最后可得

(24)

其中C是常数． 因此， 方程(24)等价于