《数学教学》1104问题的探究
2021-06-07重庆市两江中学校401120邓元洁
重庆市两江中学校 (401120) 邹 超 邓元洁
1.问题的呈现
《数学教学》2020年第10期1104问题是安振平提供的一道不等式题,题目如下:
设实数a,b满足a2+ab+b2=3,求(a2-a+1)(b2-b+1)的最小值.
2.问题求解及探源
问题1104等价于如下问题:
问题1 设实数a,b满足a2+ab+b2=3,求证:(a2-a+1)(b2-b+1)≥1 (1).
(1)式来源于Mathematical Reflections 2(2020)问题1514:
问题2 设a,b,c为非负实数满足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1,求证:(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)≤27(2).
下面笔者给出(2)式的一个证明,并提出了一个新的问题,作为安振平问题5445:
证明(1)、(2)、(3)式的核心步骤是证明下面的局部不等式,即求证:
3(a2-a+1)(b2-b+1)≥a2+ab+b2(4).
3.局部不等式(4)的证明
证法1:(4)式等价于3a2b2+2(a2+ab+b2)+ab+3≥3(a2b+ab2)+3(a+b) (5).
下面先证明:设a,b是正实数,则a2+ab+b2≥3(a+b)(6).
再证:设a,b,c是正实数,则3a2b2+a2+ab+b2≥3(a2b+ab2)(7).
从而(6)、(7)式相加可知(4)式成立.
证法2:(4)式等价于(3b2-3b+2)a2-(3b2-2b+3)a+2b2-3b+3≥0(8).
说明:由证明过程可以得到(4)式可加强如下不等式:设实数a,b,则有
由(9)式可以把问题(2)加强为:
问题4 设a,b,c为非负实数且满足(a2-a+1)(b2-b+1)(c2-c+1)=1,求证:(a2+b2)(b2+c2)(c2+a2)≤8(10).
下面用不等式(4)证明(2)、(3)式.