一道椭圆试题的教学探究及其启示*

江苏省姜堰第二中学 (225500) 史记祥 朱传美

圆锥曲线的魅力经久不衰，历史上众多数学些结论家为之痴迷、陶醉.笔者在讲授此章节时，时常就某些结论引导学生进行一些引申、探究，得到了一些有价值的结论.通过这样的探究过程，很好地培养了学生的学习兴趣和探索精神，有效地提升了学生的数学核心素养.

师：这是在众多高三复习资料中常见的一道经典的试题，其证明方法并不复杂.我们感兴趣的并不在于本题的解法，而在于本题的引申及探究.

师：哪位同学来证明一下？(老师抛砖引玉，先给出引申1)

教室里安静片刻后.

生1(板书)：

图1

师：很好！我们这里把短轴两端点拓展为关于x轴对称的两点，原有结论仍然成立.那引申能否继续？(老师很自然地把问题抛给学生)

众生积极思考，跃跃欲试.

生2(板书)：

生3(板书)：

生4：证明呢？

生2、生3(害羞)：我们只是猜想，还没证出来.

师：根据我们以往的经验，这两个命题应该都是真命题，但课堂上时间有限，留给大家课后完成.

师(补充相关知识)：人们常称x轴上的横坐标乘积为定值a2的两个点为一对“伴侣点”，因为它们总是成对出现，而且相处的很和谐.

众生：哦！原来如此.

至此，学生的探究热情已被老师高高地燃起，都在积极思考着.

生5(板书)：

图2

生5：A、B就是椭圆在x轴上的一对“伴侣点”.此命题也提供了“伴侣点”的一种作法.

生5(板书)：

证明：如图2，设D(m1,n1)、E(m1,-n1)、F(m2,n2)、C(m2,-n2) (|m1|≠|m2|)，则易得A、B两点都在x轴上且横坐标分别为

师：生5利用椭圆的对称性把原有图形补充为椭圆的一个内接等腰梯形，从而发现了“伴侣点”的一种作法，看来探究很有收获.

探究仍在继续，众生忙碌，老师巡视！

生6(板书)：

师：看着应该是个真命题，下面就来证证看.

可此命题的证明难度很大，一时间，教室里炸开了锅，讨论很是热烈，因为老师也不知怎么证，就时不时地加入到各个讨论群，但转眼十多分钟过去了，还是没有成功.

师：这个命题的证明确实很难，就留待我们课后继续探讨，下面请大家再想想，能否再给出更多引申.

生7(板书)：

生7：A、B就是椭圆在y轴上的一对“伴侣点”.

师：很好.能证明吗？

仿前面的证明，众生很快就解决了！

师：厉害，这么快就学会模仿了.

众生大笑.

生8：那么在平行于坐标轴的直线上也有“伴侣点”吗？我正在找，可还没找着.

师：好，下面我们就一起来帮他找.

在师生的共同努力下，很快又得到如下引申.

下课铃已经响了，但探究还在继续……

第二天上课时，笔者还了解到:学生早已解决了引申2、引申3及引申5的证明，并且还把相关结论向双曲线及抛物线做了推广，笔者惊喜地发现学生学习椭圆的积极性大涨，当然，第二天的数学课堂气氛很好，效率也非常高.

结束语

新课标强调要凸显学生的主体地位，让学生勇于探索，亲身感受或经历数学知识的发生历程，而我们的教师往往顾忌教学效果，拘泥于教学计划，而不敢放开手让学生自发地提出问题，共同解决问题.传统的教学中教师的认真教，学生的照着学，充其量只能是一种模仿，其实，教师可以不把现成的结论和方法直接告诉学生，而应让学生自己对学习的对象进行探索、研究，自己去获得.课堂上，教师只能是组织者、指导者和参与者，教师只能起到主导、指导、向导和路标的作用；学生才是主体，是学习研究的探索者、创新者和实践者，而教师的作用就是在教学过程中要为学生营造一个宽松、和谐、积极、民主的学习环境，使每位学生都能成为问题的探索者、研究者和发展者.

数学核心素养的提升可以落实到数学教学的方方面面，老师要做学生数学核心素养提升的指导者，引路人，积极创造研究氛围浓厚的数学课堂教学，激发学生内在数学核心素养提升的强烈欲望，促成学生数学核心素养的快速提升.