FI-扩张环和模的推广

李煜彦，王奇临

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南 742500)

扩张环和模的相关问题在环模理论中扮演着重要角色.称M是扩张模,如果M的任意子模是其直和因子的本质子模.众所周知,内射模、连续模和拟连续模等都是扩张模.Birkenmeier等[1]对扩张环和模进行了推广,提出了FI-扩张模的概念.称M是FI-扩张模,如果M的任意全不变子模是其直和因子的本质子模.近年来,一些作者借助于Gomez[2]引入的τ-本质子模,对扩张模进行了更广泛地推广.Charalambides等[3]提出了τ-扩张模和强τ-扩张模的概念,讨论了τ-扩张模的性质,直和分解以及若干等价刻画.Abbas等[4-5]分别研究了相关于挠理论的奇异模和非奇异模,讨论了τ-奇异模和τ-扩张模之间的紧密联系.Albu[6]利用τ-本质子模证明了Osofsky-Smith定理.Asgari等[7-10]把对扩张模的研究推广到Goldie挠理论的范畴,其中特别引入并研究了τ-FI-扩张模.李煜彦等[11-13]从挠理论的角度分别研究了Rickart模和Baer模,Rickart模和Baer模都是与扩张模有着紧密联系的模类.

受上述启发,本文提出了τ-FI-扩张模的概念,研究了τ-FI-扩张环和模的性质,给出了τ-FI-扩张模关于直和因子封闭的局部条件,证明了右τ-FI-扩张环上的某些循环模仍是τ-FI-扩张模,讨论了τ-FI-扩张模以及右τ-FI-扩张环关于本质扩张的遗传性质.

1 预备知识

引理1[3]设M是模,K,N≤M.则以下几条成立:

1)N≤τ-eM当且仅当N∈Dτ(M),且对任意0≠m∈M,N∩Rm≠0;

2)若K≤N,则K≤τ-eM当且仅当K≤τ-eN且N≤τ-eM;

3)若N≤τ-eM,则N∩K≤τ-eK;

4)若N≤τ-eM,K≤τ-eM,则N∩K≤τ-eM;

6)若N≤τ-eM,则对任意m∈M,(N:m)={r∈R|rm∈N}≤τ-eR;

7)对任意模族{Mi|i∈I},若Ni≤τ-eMi(i∈I),则⊕INi≤τ-e⊕IMi.

由文献[3，14]和[15],易得下面结论.

引理2 设K,N≤M,K是模M的直和因子.则K是N在M中的τ-补当且仅当K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM.

定义1[3]称M是τ-扩张模,如果对任意N≤τ-dM,存在M的直和因子K,使得N≤τ-eK.

引理3 设M是模,则以下条件等价:

1)对任意N◁τ-dM,存在M的直和因子K,使得N≤τ-eK.;

2)对任意N◁τ-dM,存在M的直和因子K,使得K∩N=0,且K⊕N≤τ-eM;

3)对任意N◁τ-dM,存在N在M中的τ-补K,使得K是M的直和因子.

证明由引理1,引理2易证.

下面给出τ-FI-扩张模的定义.

定义2 称M是τ-FI-扩张模,如果M满足引理3中的任何一个条件.称R是右τ-FI-扩张环,如果RR是τ-FI-扩张模.

引理4 设R是环,I是R的τ-稠密双边理想.则以下成立:

2 主要结论

性质1M是τ-FI-扩张模当且仅当对任意A◁τ-dM,存在e2=e∈EndR(Eτ(M)),使得A≤τ-ee(Eτ(M)),且e(M)≤τ-dM.

充分性 设A◁τ-dM,则由引理1知,A≤τ-eM∩e(Eτ(M))=eM.因为eM是M的直和因子,所以M是τ-FI-扩张模.

称模M是τ-补有界的,如果M的任意τ-补子模都包含M的一个非零的τ-全不变子模.

性质2 设模M是τ-补有界的.则M是τ-FI-扩张模当且仅当对任意A◁τ-dM,存在M的直和因子D,使得A◁τ-dD,并且对任意K◁τ-dM,如果K∩D≠0,那么K∩A≠0.

证明必要性 设M是τ-FI-扩张模,则对任意A◁τ-dM,存在M的直和因子D,使得A◁τ-eD.设K◁τ-dM,使得K∩D≠0,则K∩A≤τ-eK∩D≠0,故K∩A≠0.

充分性 设A◁τ-dM,则存在M的直和因子D,使得A◁τ-dD.

下面只需证A≤eD.

反设A不是D的本质子模,则A在D中存在非零的τ-补,设其为L.因为M是τ-补有界的,所以存在0≠K◁τ-dM,使得K⊆L,并且K∩D=K≠0,由条件知,K∩A≠0.而0≠K∩A⊆L∩A=0,矛盾.

文献[1]中,作者提出问题:FI-扩张模的直和因子是否仍是FI-扩张模?若不是,请举出反例.类似地,对于τ-FI-扩张模,我们也无法解决类似的问题.下面我们将从局部情形讨论上述问题.为此考虑如下条件:

(*)设M=M1⊕M2,若N1◁M,则N1⊕M2◁M.

下面给出了模M满足(*)条件的例子.

例1 若以下条件成立,则模M满足(*)条件:

1)M=M1⊕M2,且Mi(i=1,2)是M的全不变子模;

2)M=R,且R=I1⊕I2,其中Ii(i=1,2)是环R的双边理想;

3)M=M1⊕M2,N1◁M,且TrM1(M2)◁M1.

其中TrM1(M2)=∑{Imh|h∈Hom(M2,M1)}.

证明1)和2)都是易证的.下面只证明3).

f(N1⊕M2)=f11(N1)+f12(M2)+f21(N1)+f22(M2)⊆N1⊕M2.

即N1⊕M2◁M.

称模M满足SIP性质,如果M的任意两个直和因子的交仍是M的直和因子.

性质3 设M满足(*)条件和SIP性质.如果M是τ-FI-扩张模,则对任意M的直和因子M1,M1是τ-FI-扩张模.

因为M满足SIP性质,所以M1∩K是M的直和因子.设M=(M1∩K)⊕L,则M1=M1∩((M1∩K)⊕L)=(M1∩K)⊕(M1∩L),即M1∩K是M的直和因子,所以M1是τ-FI-扩张模.

引理5[1]设M是模,N是M的直和因子,K是M的内射子模.若N∩K=0,则N⊕K是M的直和因子.

推论1 设模M满足(*)条件和(C3)条件.N是M的直和因子.若M是τ-FI-扩张模,则N是τ-FI-扩张模.

由性质4的证明过程知,N是τ-FI-扩张模.

令Zτ(M)={m∈M|ann(m)≤τ-eRR}={m∈M|∃L≤τ-eRR,mL=0}.由文献[5]知,Zτ(M)是M的τ-奇异子模.若Zτ(M)=M(Zτ(M)=0),则称M是τ-奇异(非奇异)模.

1)I是τ-FI-扩张模右R-模;

证明1)易证.

3)跟2)是类似的.

下面讨论τ-FI-扩张模以及右τ-FI-扩张环关于本质扩张的遗传性质.设R是环,称环S是环R的右本质扩张,如果RR≤eSR.

定理2 设R是环,S是R的右本质扩张环.若R是右τ-FI-扩张环,则S是右τ-FI-扩张环.

证明设L◁τ-dM,D=N∩L.则对任意f∈End(N),有: