Cech上同调的单纯复形表示

黄 海， 汪 楠， 杨海波

（1. 南昌航空大学 数学与信息科学学院，南昌 330063； 2. 江西医学高等专科学校，江西 上饶 334000）

引言

拓扑空间的Cech上同调群，在代数几何中具有广泛的应用，往往通过计算Cech上同调群，则可以利用同构关系，从而计算出某些复杂的同调群[1-2]。例如：对于单纯复形K和其基础拓扑空间X，单纯复形K的奇异上同调群H∗(K,Z)同构于X上关于常数层的Cech上同调群

而为了描述这一抽象定义，很多著名的数学家都通过不同的方式对Cech上同调给出了他们的见解。如陈志华[6]和Bredon[7]通过定义单复形的方式定义Cech上同调、Griffiths P A，Harris[8]通过层和局部有限开覆盖定义Cech上同调。然而，很多情况下Cech上同调都是从几何方向着手进行定义的，考虑到Cech上同调在同调理论中的重要性，本文试着通过从代数方向出发，给出Cech上同调代数观点下的表示形式。而单纯形方法是同调代数中研究同调理论的一种重要手段，基于此，本文主要以Cech上同调和单纯复形为基础，给出Cech上同调的单纯形表示。

首先，回顾几个本文中需要应用到的主要定义，详见文献[8]、文献[9]：

定义1[8]给定流形M上的一个层F，设是M上的一个局部有限开覆盖，定义：

定义上边缘算子：

则有上链复形：

定义2[9]给定范畴∆，其对象为有限有序集，态射为非降单调函数。如果T是任给的范畴，定义单纯对象A为一个从 ∆到T的反变函子，即A:∆op→T，记A([n])为An；同样的，定义上单纯对象A为一个从∆到T的协变函子，即A:∆→T，记A([n])为An。

并在范畴∆中，对于任意的n和i=0,…,n，定义面映射εi:[n−1]→[n]和退化映射ηi:[n+1]→[n]为：

定义3[9]对一个交换范畴T给定一个单纯对象A，定义单纯复形为相关的(非规范性的)链复形C=C(A)，其中，对任意的n有Cn=An，并且由面映射和退化映射组成的边缘映射d:Cn→Cn−1为面算子∂i:Cn→Cn−1的交错和，即

1 主要结论

通过比较Cech上同调定义中的上链复形和单纯复形的定义，我们不难发现这两者之间的边缘映射存在着不少相似之处，但在单纯复形中对Cech上链复形的面算子如何定义以及的定义与单纯对象之间具体关系是我们需要解决的主要问题，下面我们将通过构造函子的方式来从单纯复形的角度具体给出的定义，并通过定义2中的面映射来重新定义面算子，从而给出Cech上链复形在单纯复形表示下的边缘映射，由此得到下面的定理。

定理1一个流形M的Cech上链复形就是一类特殊的单纯复形。

证明：给定流形M上的一个层F，设是M上的一个局部有限开覆盖，且设指标集I是有序集。

则定义从范畴 ∆到sets的函子SSK：

又定义从sets范畴到sets范畴的函子∏F：

可以得到函子：

所以A={An}是一个单纯对象，并且对任意n有 ：

又根据面映射：

所以：

所以：

根据单纯复形的定义可知，流形M的Cech上链复形就是一类特殊的单纯复形，证毕。

根据定理1知流形M的Cech上链复形与对应的单纯复形是同一链复形，由Cech上链复形得到的相关性质同样适用于单纯复形的观点下的相应性质。

定理2流形M的Cech上同调群就是单纯同调群。

证明：因为流形M的Cech上同调群是由流形M的Cech上链复形得到的，流形M的Cech上链复形是一类特殊的单纯复形，由定理1的证明可知流形M的Cech上同调群就是单纯同调群。

2 结论

本文通过对照Cech上链复形与单纯复形的定义，构造范畴∆到sets的单纯对象A和边缘映射，给出了流形M的Cech上同调的单纯复形表示，证明流形M的Cech上链复形就是一类特殊的单纯复形，并且得到流形M的Cech上同调群就是单纯同调群的结论。根据这两个结论，在探讨某流形M的Cech上链复形或者计算Cech上同调群时，不用局限于考虑流形M的几何结构，而可以将该Cech上链复形看作为一个单纯复形，利用单纯形方法或同调代数的相关方法对该链复形及其同调群进行研究。后续，将对Cech上同调的单纯复形表示的性质做进一步的研究。