关于Toeplitz算子与复合算子在Fock-Sobolev空间上的乘积

秦 杰, 王晓峰

(广州大学数学与信息科学学院, 广州 510006)

(2010 MSC 47B35; 475B32)

1 引 言

在本文中,C表示复平面,dA表示面积测度. Fock空间F2的定义为

其中H(C)为C上的整函数. 对任意的非负整数m, 定义Fock-Sobolev空间F2,m为

(Pf)(z)=

其中

是F2,m的再生核函数.F2,m的一组标准正交基为

若f是C上的可测函数且满足

则稠定义F2,m上以f为符号的Toeplitz算子Tf为

(Tfg)(z)=P(fg)(z),g∈F2,m.

对任意整函数φ和h, 复合算子Cφ定义为

Cφh(z)=h∘φ.

我们定义F2,m上的Toeplitz算子与复合算子的乘积为

TfCφh=P(f·h∘φ)，CφTfh=P(fh)∘φ.

若f是整函数,则TfCφ为加权复合算子. 许多数学家研究了Fock空间上的复合算子与加权复合算子，如Carswell等[2]第一次完全刻画了Fock空间上复合算子的紧性与有界性. Cho 等[3]将其结论推广了Fock-Sobolev空间上,并刻画复合算子的有限线性组合的紧性与有界性. Le[4]和Ueki[5]研究了Fock空间上加权复合算子的有界性和紧性. Tien和Khoi[6]刻画了作用在两个不同的Fock空间上的复合算子的有界性.关于加权Fock空间上的正Toepliz、复合算子及Volterra 积分算子,可参见文献[7-9].

关于两个Toeplitz算子在Fock空间上可交换的问题，Bauer和Lee[10]刻画了以径向函数为符号的Toeplitz算子在Fock空间上的交换性. 随后, Bauer等[11]讨论了以多重调和函数为符号的Toeplitz算子在Fock空间上的交换性.此外，Appuhamy等[12]刻画了以可分离的径向多项式为符号的Toeplitz算子的换位子.

另外，算子乘积的有界性问题也已经被很多数学家讨论过，如Mengestie[13]刻画了Volterra型积分算子与复合算子乘积的有界性和紧性，文献[14]研究了Toeplitz算子的乘积在Bergman空间上的有界性. 然而，Toeplitz乘积在Bergman空间上的有界性问题直至现在仍未解决. 特别地，关于Fock空间上Toeplitz算子和复合算子乘积的有界性及Toeplitz算子与复合算子可交换的刻画, 至今仍是空白.

定义

受上述研究的启发, 我们首先讨论了以D中元素为符号的Toeplitz算子和复合算子乘积CφTf与TfCφ在F2,m上的有界性，进而给出了以D′中元素为符号的乘积与在F2,m上有界的充分必要条件. 然后我们刻画了以D中元素为符号的Toeplitz算子和复合算子可交换的充分必要条件.

2 Toeplitz算子与复合算子的乘积

在本节中, 我们讨论Toeplitz算子与复合算子的乘积的有界性.

引理2.1若i和j是两个非负整数, 则

证明 直接计算可知

证毕.

其中{aij}是一个常值序列. 令

f有拟齐次展式

其中

引理2.2设n,k,N是有限非负整数. 令

若TfCφ有界,则由引理2.1, 对任意非负整数l有

这里

则

记

利用Stirling公式有

这里～表示当l→∞时两项之商有有限正极限. 由aN≠0,bK≠0，我们有

进而|b1|≤1. 如果k=|b1|=1. 则N=n=0.

其中

E=TfCφel-

因此,

命题2.3设(f,φ)∈D且f为一个不恒为0的函数. 若TfCφ有界, 则φ(z)=b1z, 其中|b1|≤1.

证明 因为(f,φ)∈D且f是一个不恒为0的函数,我们有

其中bK,fn0,fn1均不为0. 对任意非负正整数l, 由引理2.1得

其中

不失一般性, 令

简单计算可得

由引理2.2，若k=1,则|b1|≤1;若k=|b1|=1,则N=n=0.

同理，由引理2.2，若k=1,则|b1|≤1;若k=|b1|=1,则n1=0且f0为常值函数. 证毕.

定理2.4设(f,φ)∈D′,则TfCφ在F2,m上有界当且仅当下列条件之一成立:

(i)f≡0;

(ii)f为非零常数函数且φ(z)=b1z,其中|b1|=1.

证明 充分性显然,下证必要性. 若f≡0，则TfCφ≡0.在此情形下,TfCφ显然有界. 故假设f是一个不恒为0的常数. 由命题2.3可得:φ(z)=b1z,|b1|≤1.由于(f,φ)∈D′,则|b1|=1.令

其中fn0fn1均不为0. 利用命题2.3第一部分的证明得当n0=n1时f(z)=f(0).

若n0≠n1,由命题2.3第一部分的证明可知n1=0且f0为常值函数. 则

由引理2.1有

TfnCb1zzl∈Span{el+n},n0≤n<0.

则TfnCb1zel与TfnCb1zel-Tf0Cb1zel正交.因此, 我们有

由引理2.2知fn0为常值函数. 即f为常值函数.证毕.

接下来我们讨论CφTf的有界性. 我们有以下引理.

引理2.5设K是正整数,n与N是有限非负整数.令

证明 充分性显然, 下证必要性. 假设CφTf有界.对任意的非负正整数l，我们有

易知Q与(CφTfel-Q)正交.由Stirling公式,

故

‖CφTfel‖2,m≥‖CφTfel-Q‖2,m～

因为‖CφTfel‖2,m有限, 所以k=|b1|=1且N=n=0.由于aN≠0,则f是非零常值函数且φ(z)=b1z,其中|b1|=1.

定理2.6设CφTf在F2,m上有界当且仅当下列条件之一成立:

(i)f≡0;

(ii)f为非零常数函数且φ(z)=b1z,其中|b1|=1.

证明 证明与定理2.4的证明类似, 略.

3 复合算子与Toeplitz算子的交换性

在本节中,我们将讨论以D中元素为符号的复合算子与Toeplitz算子的交换性.

证明 由CφTf=TfCφ易知CφTf1=TfCφ1=Tf1.则

(I-Cφ)Tf1=0

(1)

不失一般性,

其中N和K都是非负整数. 由(1)式得

证明本节的主要结论需要以下引理.

引理3.2设K是一个正整数. 令

其中N>K≥1.则CφTf=TfCφ当且仅当下列条件之一成立:

(i)f为常值函数;

(ii)φ(z)=z.

证明 充分性显然, 下证必要性. 假设CφTf=TfCφ.则对任意的非负整数l有

CφTfzl=TfCφzl.

故

(2)

当l=1时,

化简可得

a1(m+1)(1-b1)=

(3)

对照系数可知

a1bKzK-1=0,

⋮

(4)

故a1bK=0. 考虑以下3种情况.

情形1a1≠0. 由(3)和(4)式可得

b2=b3=…=bK=0,b1=1.

即φ(z)=z.

情形2a1=0，bK≠0. 由(3)和(4)式可得

a1=a2=a3=…=aK=0.

因此

令l=N并代入(2)式有

考虑两边的最高次数得

由上述等式可知K=1或aK+1=0. 如果K≠1,我们考虑zK(N+K-2)与zKN-K-1的系数. 同理可得aK+2=0.类似可得当K≠1时,

a1=a2=…=aN=0.

情形3a1=bK=0.(4)式可化简为

故a2bK-1zK-3=0.由情形a1bK=0的证明可知f为常值函数或φ(z)=z.证毕.

引理3.3设K是一个正整数. 令

其中N≤K.则CφTf=TfCφ当且仅当下列条件之一成立:

(i)f为常值函数；

(ii)φ(z)=z.

证明 假设CφTf=TfCφ.则当l=1时有

l=1.

若N=0,则结论成立. 下设1≤N≤K. 对照系数可知

a1bKzK-1=0,

⋮

由引理3.2的证明可知f为常值函数或φ(z)=z.

引理3.4设(f,φ)∈D.则CφTf=TfCφ当且仅当下列条件之一成立:

(i)f为常值函数;

(ii)φ(z)=z.

证明 充分性显然. 利用引理3.1, 3.2及3.3, 必要性得证.