“替换法”化整为零

刘国范

同学们一定听过《曹冲称象》的故事吧！曹冲用石头代替大象，化整为零，称出石头的重量，算出了大象的重量。其实，这则故事中蕴含着一种重要的数学方法——替换。通过替换，可以把本来不易解决的问题变成容易解决的问题。

【问题1】

丁丁买了1支钢笔和16本习题册，共用了24元。已知买8本习题册的钱可以买1支钢笔，每本习题册是多少元？1支钢笔呢？

【思路点睛】如果花24元只买了习题册，要求每本习题册多少钱？相信大家会这样计算：总价÷本数。在问题1中，丁丁既买了习题册，又买了钢笔，该怎样算呢？丁丁把用来买1支钢笔的钱买习题册，可以买8本。这样，丁丁一共买了16+8=24 （本）习题册，总的价钱不变，仍是24元。

问题1转化为“用24元买24本习题册”，两个未知量转化成一个未知量，就很容易算出1本习题册的价钱了。

当然，我们也可以这样想，把用来买16本习题册的钱省下来买钢笔，能买到16÷8=2 （支）钢笔。我们得到了“用24元买3支钢笔”这样的关系，也能较容易算出两种商品的单价。

解：24÷（1×8+16）=1（元），1×8=8（元）。

答：每本习题册是1元，1支钢笔是8元。

【想一想】如果24元钱全部买钢笔，你会算吗？

【问题2】

3个玻璃球和1个钢球，一共重160克。1个钢球比1个玻璃球重40克，每个钢球重多少克？每个玻璃球呢？

【思路点睛】有两种不同的替换方法：假设全部是玻璃球或全部是钢球。根据题意，可知“1个玻璃球的重量+40克=1个钢球的重量”“3个玻璃球的重量+1个钢球的重量=160克”。

假设全部是玻璃球，也就是把1个钢球替换成1个玻璃球，总重量会发生什么变化呢？总重量变少了，总重量少了40克，现在的总重量是160-40=120（克）。问题2即转化为“4个玻璃球重120克”，容易算出1个玻璃球的重量。

解：160-40÷（3+1）=30（克），30+40=70（克）。

答：每个钢球重70克，每个玻璃球重30克。

【试一试】如果把3个玻璃球全部替换成钢球，该怎样解答？

【问题3】

小杯容量是大杯的    ，6大杯和4小杯共2600毫升。大杯和小杯的容量各是多少毫升？

【思路点睛】通过以上两个问题的解决，大家很快能得出“10杯的总容量是2600毫升”，当然这里的“10杯”是含大杯与小杯的总数量。

按照刚才的想法，采用替换法，将大杯换成小杯或小杯换成大杯。

先来考虑将大杯全换成小杯。

6大杯可以换成小杯数：6÷   =9 （杯）。替换后，小杯的杯数是：9+4=

13 （杯）。总容量不变，仍是2600毫升，所以每个小杯的容量为2600÷13=200（毫升）。

解：2600÷（4+6÷   ）=200（毫升），200÷    =300（毫升）。

答：大杯的容量是300毫升，小杯的容量是200毫升。

【試一试】如果“将小杯换成大杯”该怎样做呢？比一比这两种替换的方法哪种更方便。