试解“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷第21题

摘 要：“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷第21题属于统计与概率在生物学中的应用性问题，第（2）问的解答，可讨论所给方程实数根的大小，也可构造函数，将方程的根转化为函数的零点，讨论零点的大小，找到最小正实根.

关键词：全国卷;新高考;统计;概率

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）34-0058-02

收稿日期：2021-09-05

作者简介：汪继波（1968.10-），男，重庆市长寿区人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.

“新高考”2021年数学全国Ⅱ卷（海南、辽宁、重庆）第21题：

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（x=i）=pi（i=0，1，2，3）.

（1）已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E（X）;

（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p=1，当E（x）>1时，p<1;

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

本题第（1）、第（3）问较易回答，此处不予讨论，在此仅讨论第（2）问：

求解想法 此问关键在于找到这个关于x的三次方程的最小正实根，于是，可以考虑求出它的根（至多3个实数根），进行比较，但纵观全国高考题的特点，直接求出此方程的所有实数根，并非易事！这一来，解题者应有心理准备，讨论方程根的特点，比较大小，找到最小正实根，可尝试通过分解因式能否找到几个根，余下根可根据限定条件，缩小其取值范围，进而比较方程根的大小;也可以考虑构造三次函数，转化为讨论此函数的零点，求出值或比较几个零点的大小，从而找到原方程的最小正实根.

解法一 由概率分布列的性质，知p0+p1+p2+p3=1，p0=1-（p1+p2+p3），

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

1-（p1+p2+p3）+p1x+p2x2+p3x3=x

1-x-p1（1-x）-p2（1-x2）-p3（1-x3）=0

（x-1）[p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）]=0

x=1或p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0

構造二次函数g（x）=p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1），其图象开口向上，对称轴为x=-p2+p3p3<0，g（0）=p1+p2+p3-1=-p0<0，

①当E（x）≤1，即p1+2p2+3p3≤1时，g（1）=p1+2p2+3p3-1≤0，如图1，g（x）在（0，+∞）上单调递增，在[1，+∞）也单调递增，据零点存在性定理，知g（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x0，显然x0≥1，所以，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根等于1，于是，p=1.

②当E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1时，g（1）=p1+2p2+3p3-1>0，而g（0）<0，如图2，g（x）在（0，+∞）上单调递增，由零点存在性定理，在（0，+∞）上存在唯一零点x0，且0综上所述，当E（x）≤1时，p=1;当E（x）>1时，p<1.

解法二 由概率分布列的性质，知p0+p1+p2+p3=1，从而p0=1-（p1+p2+p3），

方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x

1-（p1+p2+p3）+p1x+p2x2+p3x3=x

1-x-p1（1-x）-p2（1-x2）-p3（1-x3）=0

（x-1）[p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）]=0

x=1或p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0

若方程p3x2+（p2+p3）x+（p1+p2+p3-1）=0无实数根，则p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根为1，所以，p=1;若此方程有实根x1、x2，不妨令x1≤x2，则x1+x2=-p2+p3p3，x1x2=p1+p2+p3-1p3=-p0p3<0，于是（x1-1）+（x2-1）=-p2+3p3p3<0，（x1-1）（x2-1）=p1+2p2+3p3-1p3，

①当E（x）=1，即p1+2p2+3p3=1时，（x1-1）（x2-1）=0，而x1≤x2，（x1-1）+（x2-1）<0，所以x2-1=0，即x2=1，从而x1=-1-p2+p3p3<0，此时，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根为1，所以，p=1.

②当E（x）<1，即p1+2p2+3p3<1时，（x1-1）+（x2-1）<0，且（x1-1）（x2-1）<0，因x1≤x2，x1x2<0，故x1<0，x2>1，且|x1-1|>x2-1，此时，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的最小正实根为1，所以，p=1.

③当E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1时，（x1-1）（x2-1）=p1+2p2+3p3-1p3>0，而（x1-1）+（x2-1）<0，所以，x1<0，0

综上所述，当E（x）≤1时，p=1;当E（x）>1时，p<1.

解法三 由概率分布列的性質，知p0+p1+p2+p3=1，方程p0+p1x+p2x2+p3x3=xp3x3+p2x2+（p1-1）x+p0=0.

构造函数f（x）=p3x3+p2x2+（p1-1）x+p0，显然有f（1）=0，函数f（x）的导函数f′（x）=3p3x2+2p2x+p1-1，如图3，由p3>0知抛物线f′（x）开口向上，f′（0）=p1-1，由p1<1，知f′（0）<0，于是，f′（x）有两个零点x1、x2，不妨设x1①若E（x）≤1，即p1+2p2+3p3≤1，则f'（1）=3p3+2p2+p1-1≤0，据此二次函数f′（x）的性质，知x1<0<1≤x2.

x（-∞，x1）（x1，x2）（x2，+∞）

f ′（x）+-+

f（x）

所以，f（x）在（x2，+∞）上有且只有一个零点x0≥x2，因此，1是函数f（x）在（0，+∞）上的最小正实根，从

而p=1.

②若E（x）>1，即p1+2p2+3p3>1，则f ′（1）=3p3+2p2+p1-1>0，如图4，据f ′（x）的性质，知x1<0