非线性气动弹性系统阵风载荷迭代学习控制

吴奕诚 许行之 杨章梁 苏飘飘

【摘 要】文章研究了亚音速不可压来流中二元机翼气动弹性系统颤振主动控制问题。采用俯仰方向含有多项式非线性模型建立气动弹性动态方程，在非线性模型存在参数不确定性和阵风载荷的情况下，通过使用界限复合能量函数（BCEF）的方法，利用Lyapunov稳定性理论进行带有状态约束的迭代学习控制律设计。仿真结果显示，系统状态变量和控制变量都能够快速地达到稳定状态，表明所设计的控制律可以有效地实现对多项式非线性二元机翼颤振的抑制。

【关键词】迭代学习控制;非线性控制系统;颤振抑制;界限复合能量函数（BCEF）;阵风载荷

【中图分类号】V215.3 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2021）04-0039-05

在一定的飞行条件下，含有结构非线性的气动弹性系统可能出现极限环振荡甚至混沌等不稳定现象[1]。文献[2]对不同类型的翼段结构非线性进行了深入的讨论。非线性颤振主动控制问题主要针对的是连续的多项式非线性的研究[3-7]。文献[8-9]对间隙、双线性迟滞环等不连续非线性系统的颤振特性进行了分析。文献[10]考虑了大展弦比机翼的几何非线性的影响，并进行了气动弹性分析。

目前，针对非线性颤振主动控制中所用到的控制策略主要包括处理气动弹性系统中参数完全确定的反馈线性化方法[11]，以及解决当系统中存在参数不确定性时的自适应控制方法[3-4]、局部反馈线性化[5-6]或全局反馈线性化[7]与自适应控制理论相结合等方法。文献[12]利用L1自适应方法对包含有阵风载荷的非线性气动弹性系统进行了分析，但其控制器的设计本质上只是针对俯仰角的振动控制。文献[13-14]基于二阶滑模控制的方法设计了一个不连续的控制律，实现消除不确定性和阵风干扰的作用，然而并未讨论非线性系统状态约束的问题。文献[15-16]提出了一种新颖的迭代学习控制方法，该方法是在队列条件下，通过使用界限复合能量函数（BCEF）的方法，所设计的控制器能够满足状态约束，可以有效地处理非线性系统的参数和非参数不确定性问题。

本文针对多项式非线性二元机翼，并同时考虑非线性参数不确定性和阵风干扰，利用状态约束迭代学习控制方法实现了非线性气动弹性颤振的主动控制。

1 气动弹性模型与控制问题

二元机翼模型如图1所示，其运动方程[17-18]如下：

其中，h為沉浮位移;α为俯仰角;m为机翼质量;b为机翼半弦长;Ia为机翼惯性矩;xa为弹性轴到机翼重心的无量纲距离;kh和ka（α）分别为沉浮方向和俯仰方向的刚度系数;ch和ca分别为沉浮方向和俯仰方向的结构阻尼系数;L，M分别为气动力和力矩。ka（α）表示俯仰方向含有多项式非线性刚度，其非线性函数如下：

准定常气动力表达式如下：

其中，a为机翼弹性轴到中心的无量纲距离;ρ为密度;cla和cma分别为单位攻角对应的升力系数和力矩系数;clβ和cmβ分别为单位控制面偏转角对应的升力系数和力矩系数;β为控制面偏转角;U为来流速度。

由阵风引起的气动力和力矩表达式如下：

此处，考虑到刚度的参数不确定性，公式（7）可以写为 =g+θζ+Bβ+dg。（9）

其中，g是中包含已知参数的部分，θ是和非线性刚度相关的矩阵，ζ是不确定性参数的状态变量，表示如下：

矩阵中各系数分别为系统参数的函数，具体如下：

2 控制律设计

引入迭代学习控制算法，选择控制面偏转角作为系统输入u=  β（t），期望的状态为xd=[hd αd  d  d]T，由于控制的目的是为了抑制系统的振动，因此取xd=[0 0 0 0]T，则系统的运动学模型可表示如下：

为了推导出迭代学习控制律，误差动力学方程表示如下：

并满足如下假设：

（1）存在一个有界李雅普诺夫函数（BLF）V和一个非负的K类函数γ，有这样一个向量 ∈Rn，当|| ||→kb时，V→∞，这里|| ||为欧几里得范数，并且g（，t）≤-γ（||||）。

（2）满足队列条件，也就是先前迭代的最终状态成为当前迭代的初始状态，即ei（0）=ei-1（T）。

本文采用的学习控制率为ILC迭代学习控制，其形式设计如下：

为了确定参数更新规律，同时保证公式（11）是渐进稳定的，定义Lyapunov函数[14]：

为了便于分析，在第i次迭代时，引入非负的界限李雅普诺夫函数（BCEF），形式如下：

通过设计 ，利用李雅普诺夫稳定性理论分析系统的稳定性，可以得到△Ei（T）≤- γ（||ei||）dτ，这意味着Ei（T）沿着迭代轴是单调递减的，进而利用BCEF函数的导数可证明系统每次迭代时的有界性。最终，通过分析得到 ||ei||=0， t∈[0，T]，可见，系统状态跟踪误差是收敛的。证明过程可参考文献[14]。因此，有如下形式的参数更新规律：

3 算例分析

仿真过程中所用到的系统参数取值如下[16]：b=0.135 m，m=12.387 kg，Ia=0.065 kg·m2，xa=[0.087 3-（b+ab）]/

b，kh=2 884.4 N·m-1，ch=27.43 N·m-1·s-1，s=0.6 m，ρ=1.225 kg·m3，cla=6.28，clβ=3.358，cma=（0.5+a）cla，cmβ=-0.635，a=-0.684 7。非线性部分以四阶多项式表示，其参数选为{Kaj}，=[6.8614 7.8480 663.288 7 65.275 2 -4992.794 4]，颤振控制器迭代学习增益取值为kb=0.35，p=1，λ=0.012。对于以上参数，选取速度为16 m·s-1，初始条件为h（0）=0.02m，α（0）=0.1rad，h（0）=α（0）=0。

设计过程中考虑阵风干扰，对于三角阵风，其表达式如下：

wG（τ）=2w0 （H（τ）-H（τ- ））+2w0（ -1）（H（τ-τG）-H（τ- ）） （19）

其中，H（·）表示單位阶跃函数，τG=UtG/b，tG=0.5，w0=0.7。

正弦阵风和指数阵风干扰其表达式分别如下：

wG（τ）=w0sin（6πτ/τG）-（H（τ）-H（τ-τG）） （20）

wG（τ）=H（τ）w0（1-e ） （21）

其中，τG=UtG/b，tG=1.05，w0=0.07。

3种阵风干扰的速度分布如图2所示。图3为图2所示的外部干扰下所对应的系统开环响应。从图3（a）、（b）可以看出，在三角阵风干扰下，当U=10 m/s时，h、α收敛于零点，而从图3（e）～（f）可以看出，当U=16 m/s时，在指数阵风和正弦阵风的作用下，系统在短暂的瞬态后，产生了极限环。这是由于当U=10 m/s，线性系统的极点为（-1.47±14.596i，-0.648 6±7.050 3i），系统是稳定的;而当U=16 m/s时，系统极点为（-3.413 4±13.148 8i，0.892 2±12.200 5i），系统变得不稳定了。

图4为在三角阵风干扰下，w0=0.7，U=10 m/s时的系统闭环响应。很显然，在加入控制后h、α都收敛于零点，相比较于开环系统响应的图3（a）、（b），开环系统的收敛时间大约是7 s，而闭环系统的收敛时间大约是3 s，因此控制后的闭环系统有一个更快的响应时间。图5为在三角阵风干扰下，w0=2，U=16 m/s时的系统闭环响应。可以看到，尽管增大了阵风的强度，而俯仰方向的响应在2 s内就收敛到零，沉浮方向的响应在大约2.5 s时收敛到零，这表明控制输入的增益[b33 b44]T是随着来流速度的增大而增加的，可见，此时控制面的控制效率提高了。图6是在正弦阵风干扰下，系统的闭环响应。从图中可以发现，俯仰方向的振动在2 s内就被抑制了，而沉浮方向的振动抑制用了大约3 s。指数阵风干扰下闭环系统的响应如图7所示。可以看到，系统的振动都被抑制了，响应的收敛时间大约都在3 s内。但从图8却看到，当w0的值增大到1时，指数阵风干扰的其他参数均不变，此时系统响应尽管仍然收敛于稳定状态，但不再收敛于零了，俯仰方向的响应收敛于稳定状态的平衡值大约是0.065 rad，而沉浮方向的响应收敛的平衡值大约是-0.008 m。以上的分析表明，在考虑模型参数不确定性和指数阵风、正弦阵风及三角阵风的干扰下，所设计的控制器可以有效地实现对非线性颤振的抑制。

4 结论

通过使用界限Lyapunov函数（BLF）的方法设计控制器，不同于传统的全局正定和径向无界的Lyapunov函数（QLF），BLF会在参数接近一定的限定值时趋向于无限，通过确保BLF沿系统轨线的有界性，从而防止了违背约束条件，因此可以有效地处理非线性系统的参数和非参数不确定性问题，保证状态跟踪误差达到一致收敛。

传统的迭代学习控制过程需要相同的初始条件，即每次迭代开始都需要时间和状态的重置，而本文所推导的迭代学习控制方法，其前提是基于队列条件，它不同于重复控制（RC），仅需要时间上的重置，因此具有更广泛的适用性。利用其控制思想，还可方便地推导出具有输出约束的非线性迭代学习控制器。

参 考 文 献

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