基于先期毁伤原则的舰空导弹发射时机优化∗

（海军大连舰艇学院 大连 116018）

1 引言

在高技术条件下的局部海战中，战场的态势千变万化，舰空导弹防空作战需要在短时间内进行决策。基于目标空袭体系的不断变化，对目标尽早拦截是舰空导弹防空作战的的指导性原则之一，及时释放占用的火力通道数量，力争为后续目标创造更多的射击机会［1］。

正确灵活地选择导弹的发射时机，可提高舰空导弹的射击效果，是研究舰空导弹防空作战的关键问题之一，也是研究舰空导弹转火射击问题的理论依据。目前，舰空导弹发射时机的确定主要是采取按发射区时间窗口的方式进行规划，将其规划在一个时间区间内，但按照时间窗口规划发射时机只是定性描述。由于舰空导弹毁伤概率影响因素的复杂性，通常情况下舰空导弹发射时机的提前与其毁伤目标概率的增加是相互矛盾的。在舰空导弹防空作战中，如何确定舰空导弹的发射时机，使其在毁伤目标概率和发射时机之间取得较好的平衡，是舰空导弹取得预期作战效果的关键因素。在不同舰空导弹发射时机确定中，如何使得毁伤目标尽可能早、毁伤目标概率达到预期值是舰空导弹发射时机优化的难题，发射时机确定效果好，能够起到快速打击、充分发挥火力强度的效果，如果发射时机确定效果差，不仅达不到对目标的打击效果，同时还会影响舰空导弹转火射击能力，从而贻误战机，因此建立不同舰空导弹的发射时机优化理论是提高其防空作战灵活性和快速性的有效途径。

2 舰空导弹射击提前系数及先期毁伤原则

2.1 舰空导弹的毁伤特性

根据典型的舰空导弹的弹道特性，可得舰空导弹毁伤空中目标概率曲线，见图1。

图1 舰空导弹对典型目标毁伤概率曲线

其中：Dsy、Dsj表示舰空导弹杀伤区远界、近界的斜距在水平面上的投影；Dsmax表示舰空导弹单发最大毁伤概率下的杀伤区斜距在水平面上投影；在最大毁伤概率射程下舰空导弹单发毁伤概率为Pmax，来袭目标到达该点的瞬时称为最大毁伤瞬时tsmax；tsy表示舰空导弹到达杀伤区远界Dsy的瞬时，称为最早毁伤瞬时，相应的毁伤概率称为最早毁伤概率。依据舰空导弹先期毁伤目标准则，通常不会将毁伤时机规划到最大毁伤瞬时tsmax之后，则首发毁伤瞬时应被规划在区间[tsy，tsmax]内。

2.2 舰空导弹的射击提前系数的定义

射击提前系数是用于决定舰空导弹的预期毁伤瞬时的，假设射击提前系数为α∈[0，1]，其上下边界分别对应发射单元的最早毁伤瞬时和最大毁伤瞬时，α越大，表示毁伤时机越早［2］。设某次射击的毁伤瞬时为ths，则，即ths=α·tsy+(1-α)·tsmax。

式中：tsmax为最大毁伤瞬时，来袭目标到达该点，舰空导弹毁伤概率最大；tsy为来袭目标到达舰空导弹杀伤区远界的时刻，称为最早毁伤瞬时。

2.3 射击瞬时、毁伤瞬时及飞行时间之间的关系

假设目标匀速直线飞行的情况下，记某瞬时tsj、ths分别为舰空导弹对目标的射击瞬时和毁伤瞬时；为在毁伤瞬时为ths时舰空导弹杀伤目标所需要的飞行时间。当舰空导弹弹道特性与来袭目标运动模型及初始状态一定时，舰空导弹理论弹道任一点的舰空导弹飞行时间都是可求的，且有。

在舰空导弹任意射击瞬时t，一旦求得舰空导弹的毁伤瞬时ths，由即可求得该舰空导弹的射击瞬时。当α∈[0，1]时，α越大，表示毁伤时机越早；α越小，表明舰空导弹的毁伤概率越高。

2.4 先期毁伤原则下的射击提前系数取值范围

为α确定一个恰当的取值，即决定了舰空导弹的对来袭目标的发射时机。当α=0时，相当于最大毁伤概率下的舰空导弹射击；当α=1时，相当于最早毁伤时机下的舰空导弹对目标进行射击。前者可能降低舰空导弹最大拦截次数，后者可能损失舰空导弹的杀伤概率。

如对舰空导弹发射时机不加以限制的情况下，根据舰空导弹射击提前系数的定义，其取值范围为α∈[0，1]，其左右边界分别对应舰空导弹最大毁伤概率下的毁伤瞬时和最早毁伤时机下的毁伤瞬时。

3 舰空导弹发射时机优化模型

3.1 发射时机优化的数学模型

1）目标函数

基于先期毁伤的舰空导弹射击时机优化是指在保证舰空导弹满足对目标的期望毁伤概率的前提下，能够尽早实施导弹发射，此种条件下舰空导弹发射时机优化的数学模型为

2）模型相关说明

当多型舰空导弹对目标进行拦截时，即i＞1时，在αi∈[αjk，1]范围内，当有许多组α=(α1，…，αm)满足期望毁伤。每一组α=(α1，…，αm)都有相应的一组射击瞬时t=(t1，…，tm)与之对应，即对应毁伤概率分布律权重γ=(γ1，…，γm)和毁伤概率分布Q=(Q1，...，Qm)。

式中：Q(αi)=Q(ti)，i=1，…，m，为舰空导弹毁伤概率Pi(αi)的概率分布；γ(αi)=γ(ti)，i=1，…，m，称为舰空导弹毁伤概率分布Q(ti)的权重系数。

3.2 毁伤概率的分布函数和概率分布

设m个不同型号的舰空导弹武器系统对同一目标进行拦截时，其毁伤概率的计算方法与连射或齐射n发导弹杀伤单个目标的概率计算方法相同，在毁伤瞬时规划在区间[tsy，tsmax]内的约束下，舰空导弹的毁伤概率P(t，α)具有下列性质：一是舰空导弹能在预期毁伤瞬时之前，能对目标达成最大毁伤概率射击，即在射击提前系数不变时，对目标的毁伤概率是随毁伤瞬时增大的一个非减函数；二是舰空导弹能在预期毁伤瞬时之前，能对目标达成最大毁伤概率射击，即在射击瞬时一定时，对目标的毁伤概率是各型舰空导弹射击提前系数的单调、连续递降函数。在任一组能够满足毁伤概率不小于预期毁伤概率的前提下的射击提前系数α=(α1，…，αm)，均有与之相对应的射击瞬时t=(t1，…，tm)，为每一型舰空导弹的射击提前系数αi计算得到一个恰当值，就决定了所有舰空导弹的射击时机，也就完成了舰空导弹射击时机的优化分配任务，从而将舰空导弹发射时机问题转化为射击提前系数αi的计算与取值。舰空导弹毁伤目标概率的分布函数与概率分布可用下式表示：

毁伤概率P(t)的分布函数为E(P(t))=E(t)，其值由可以由下式计算得到：

根据上式可以求得毁伤概率P(t)的概率分布Q(P(t))=Q(t)。

3.3 毁伤概率分布律权重系数

舰空导弹的发射时机不同，其对目标的毁伤概率也不相同，根据舰空导弹毁伤目标概率相关计算和火力分配的基本原则，要求对目标的最大毁伤概率至少达到对目标的预期毁伤概率，即。当最大毁伤概率等于预期毁伤概率，则可以使得αi=αjk；若最大毁伤概率大于预期毁伤概率，则必须要对来袭目标的最小毁伤概率和预期毁伤概率二者之间的关系进行分析。

本文研究舰空导弹发射时机优化的基本准则是力争先期毁伤，尽可能期望舰空导弹较早的毁伤目标，这就要求舰空导弹发射时机目标函数中的毁伤概率的分布律的权重越大，因此给出如下权重函数γ(t)。

式中：λ为在毁伤瞬时与毁伤概率曲线中的斜率，并同时过点(tch，0)的直线；tch为舰空导弹预期毁伤瞬时；t为舰空导弹的实际毁伤瞬时。

4 发射时机优化模型的蚁群算求解

蚁群算法是一种新的进化算法，近年来应用领域迅速扩展，如控制天然气的分流、优化工作计划和市场战略评估等，其应用已经取得了引人瞩目的成果，在军事领域上同样具有广阔的应用前景［3-5］。例如，文献［6］提出了一种将遗传算法和蚂蚁算法相结合的混合式算法，首先用遗传算法在全局搜索出一组粗糙的最优解，以此作为蚁群算法的初值，再利用蚂蚁算法的实施程序，最终求出最优解，通过算例分析证明，运用该方法获取的最优目标分配问题，能够满足大型水面舰艇编队防空的目标分配问题。文献［7］提出了一种基于解算连续空间优化问题的改进蚂蚁算法，构造了与蚁群转移概率有关联的评价函数，将每条最优路径上余留的信息数量限制在某个固定区间，能够更快地寻求到连续空间优化问题的精确最优解。本文提出一种基于网格划分的连续域蚁群算法进行结算，网格是直接搜索中的重要概念，因为它描述了对搜索空间的一种规则抽样。实际上，是指将变量区域利用网格划分的方式实现网格化，从而在网格点上求取目标函数和约束函数，对于满足约束条件的网格点，比较解与目标函数值之间的数量差，从中选出较优者，并把该点当做一次迭代的结果；继续进行循环计算更新，直到满足条件为止。

4.1 发射时机优化模型的应用实现

为了方便采用基于网格划分的连续域蚂蚁算法解决舰空导弹发射时机的优化问题，发射时机优化模型可以采用舰空导弹杀伤目标的时间函数进行描述。

式中，ti∈[tsy，tjk]⊂[tsy，tsmax]，i=1，2，...，n，tjk由下式计算。

舰空导弹射击提前系数和发射时间分别由下式计算。

式（9）中，Tfi(ti)为舰空导弹i在瞬时ti弹目遭遇时导弹的飞行时间。

由式（6）描述的舰空导弹发射时机优化模型可知，是以时间t为变量进行描述的函数形式，则模型的约束条件为变量的连续递增函数。因此，基于网格划分思想的搜索窗口的产生及信息素更新的具体实现包括初始搜索、全程搜索、窗口更新三个步骤。

4.2 初始搜索

利用蚁群算法求解的变量应为舰空导弹毁伤目标的时刻ti，设其搜索窗口为TiNc=[TsyNc，TsmaxNc]，其中，Nc为具体的循环次数，即搜索窗口的更新次数，取值为[0，∞]。采用网格策略搜索，第一次的搜索窗口为Ti0=[Tsy0，Tsmax0]⊂[tsy，tjk]，i=1，2，…，m。初始搜索窗口的右端点可以取变量的最大值tjk，即Tsmax0=tjk；设置网格宽度为Δt，即限定算法的搜索精度，记N为搜索窗口的网格数量，通常使N·Δt远小于 min{tjk-tsy，i=1，2，…，n}，这样就能使得初始搜索窗口的宽度保持在Tsmax0-Tsy0=N·Δt，搜索范围的左端点可以记为Tsy0=Tsmax0-N·Δt，而每个窗口包含N+1个网格节点［8～10］。

4.3 全程搜索

将每个变量进行N等份，即将变量区间进行网格化，从而在n维空间中构成了(N+1)×n个点的网格形式，每只蚂蚁从第1列至第n列的网格点中依次选择一个点来完成一个解的构建，并根据各网格点留下的不同信息量，用以影响其余蚂蚁的移动路径［11］。基于此能够完成参数空间的构设。

如图2所示，状态空间所示的状态为()1，2，4，…，3，此种状态条件下对应的解为

图2 连续优化问题的状态空间解

蚂蚁选择第i(i=1，2，…，n)列上的一个点时，是根据N+1个点的信息素分布情况进行随机选择的，从第一级到第N级之间的状态选择概率为

式中，t为蚂蚁算法的运行时刻，将蚂蚁构建出一个完整的解记为一个时刻；τij(t)为第i列第j个节点的信息量，其更新公式为

式中：f为目标函数值，ρ为挥发系数，Q为常数。

假设某组窗口下的循环次数为C，蚂蚁的数量为M只，M只蚂蚁中每一只都能形成一个解，首先判断式（6）约束条件是否满足，对满足约束条件的解计算目标函数值才有意义，M只蚂蚁经过C次循环之后，就可以得到该组网格搜索窗口下的最优解，记为to=(t1o，t2o，…，tno)。

4.4 搜索窗口更新

5 实例分析

某舰艇编队分别配置了三种型号的舰空导弹，对空中多批次目标进行拦截，以对一个目标进行拦截为例来规划各型舰空导弹的发射时机，以此来验证上述发射时机优化模型和蚁群算法的实现。如三型舰空导弹均能对来袭目标进行拦截，根据最早毁伤时刻的先后为依据进行编号，D1为1#舰空导弹、D2为2#舰空导弹、D3为3#舰空导弹。规定在D=12km时，毁伤自然时T=0，各型舰空导弹对来袭目标的最早、最大毁伤概率对应的射程和毁伤瞬时用DL、DM、tL、tM表示，见表1。

表1 最早、最大毁伤概率对应的射程和毁伤瞬时

各型舰空导弹对来袭目标的毁伤概率曲线和导弹飞行时间曲线如图3、图4所示。

图3 各型舰空导弹毁伤概率曲线

图4 各型舰空导弹飞行时间曲线

通过以上分析可以得出，舰空导弹对于目标的期望的杀伤概率与不同的毁伤瞬时的情况下，可以采用本文提出的改进式蚁群算法，分别计算出各型舰空导弹武器系统最优的发射时刻、毁伤瞬时和射击提前系数。下面分不同情况进行分析论证，以不同的期望毁伤瞬时和预期的毁伤概率为想定条件，提出三种想定情况，采用基于改进的蚁群算法优化舰空导弹的发射时机。

情况1：预期毁伤瞬时为20s之前，以不小于预期的毁伤概率0.85拦截来袭目标。将目标分配给D2、D3，毁伤时刻t2=15.2s、t3=20s，射击提前系数α2=0.4696、α3=0，发射时机，毁伤概率P2=0.6594、P3=0.5596、P*=0.85。

情况2：预期毁伤瞬时为18s之前，以不小于预期的毁伤概率0.9拦截来袭目标。将目标分配给D1、D3，毁伤时刻t1=6.5s、t3=17.8s，射击提前系数α1=0.2168、α3=0.3667，发射时机，毁伤概率P1=0.5827、P3=0.7604、P*=0.9。

情况3：预期毁伤瞬时为18s之前，以不小于预期的毁伤概率0.95拦截来袭目标。将目标分配给D1、D2、D3，毁伤时刻t1=4.6s、t2=16.5s、t3=16.2s，射击提前系数α1=0.4457、α2=0.2723、α3=0.6333，发射时机，毁伤概率 P1=0.5035、P2=0.7583、P3=0.6506、P*=0.95。

蚁群算法参数设置：蚁群信息素挥发系数为0.2，搜索精度为0.1s，常数Q=1，信息素初始值为1，蚁群中蚂蚁的数量为10个，搜索循环的次数设为10，满足条件算法停止的次数为3。情况3中蚁群算法的蚂蚁数量为20，算法循环次数为20，其他参数不变。

通过上述分析可见，当将来袭目标分配至D1、D2、D3毁伤概率特性相差较大的舰空导弹时，在能够满足预先给定毁伤概率的基础上，对于毁伤概率伤概率较大的舰空导弹来讲应尽量提前其射击时机，而对于毁伤概率较小的舰空导弹来讲应保证尽可能高的毁伤概率时发射导弹。在发射时机相同的情况下，对于杀伤概率曲线变化较缓的舰空导弹应优先发射。

6 结语

本文立足于舰空导弹防空作战的特点，提出了基于先期毁伤原则的舰空导弹发射时机的优化准则，同时引入了与“先期毁伤”相关的“射击提前系数”这一参数及其计算方法，并明确了先期毁伤原则下的射击提前系数的取值范围。基于先期毁伤思想建立了舰空导弹发射时机优化模型，重点论证了舰空导弹毁伤概率的分布概率及权重函数，提出基于网格划分的连续域蚁群算法对舰空导弹发射时机优化模型进行解算的方法，采用此方法对舰空导弹的发射时机进行实时优化，既能做到较早毁伤目标，减少火力通道占用时间，又能保证以预期毁伤概率杀伤目标，取得预期的作战效果。