超静定刚架的定性分析★

高 倩 张兆军 韩明岚

(青岛理工大学理学院，山东 青岛 266033)

0 引言

超静定刚架是结构力学的主要研究对象，经典结构力学中有关超静定刚架的分析方法非常多，有力法、位移法、力矩分配法、无剪力分配法、反弯点法等，但这些为了手算方便才发明的方法，仅适用于只有几个未知量的简单结构，实际工程中的结构其未知量个数太多，手算已经不现实，所以经典结构力学在实际工程中的应用受到了极大的限制。学生在校花费大量时间来学习的经典结构力学，到了工作岗位却用处不大，工作中主要还是采用计算机软件(也就是结构力学仿真)来求解内力，但结果对否又很难判断，所以土木、水利等专业的学生急需在校学习如何对结构力学仿真结果进行判断，这也正是定性结构力学的使命，大量的专家学者和结构力学教师都意识到时代对定性结构力学的迫切需求[1,2]，也做了大量的研究探索[3-8]，但目前定性结构力学尚未形成完善的内容体系，仍处于发展的阶段。

为了推动定性结构力学的发展，本文拟从简单超静定刚架、单层双跨超静定刚架、三层单跨超静定刚架等几个实例来定性分析，综合利用经典结构力学的概念和基本方法大概估算出超静定刚架关键截面处的内力值范围(主要是M值)，以及M图的大体轮廓，以期实现对结构力学仿真结果的判断。

1 简单超静定刚架的定性分析示例

如图1a)所示为一简单对称超静定刚架，其内力的大小与杆的刚度有关，下面分三种情况进行讨论：

1)当柱的刚度比梁的刚度大很多时，可以看做是EIc→∞,EIb=有限值，此时，梁的两端相当于固定端，而柱顶端弯矩与梁端弯矩相平衡，再由转角位移公式可知，柱底端弯矩为柱顶端弯矩的一半，则整体结构的M图如图1b)所示。

2)反之，当EIb→∞，EIc=有限值时，BC杆的两端相当于铰支座，则该结构的M图如图1c)所示。

图2a)中的荷载为非对称，当梁、柱刚度EI均为有限值，且荷载偏左布置时，由于不对称性，结点会产生一个水平位移。虽然对于竖向荷载作用下的M图来说，结点转角是主要因素，水平位移是次要因素，但这个水平位移的方向是可以定性判断出来的，这种定性判断偏移的方法是很有价值的。思路如下：先加一水平链杆支座阻止该水平位移的发生，然后判断水平链杆提供的支座反力方向，而该反力是由原结构的水平位移所产生的，从而可以判断出水平位移的方向。

2 单层双跨超静定刚架的定性分析示例

图3a)所示为一单层双跨超静定刚架，下面将杆的刚度分六种极端情况进行讨论：

1)当EIc1=EIc2=EIc3→∞，EIb1=EIb2=有限值，刚结点B，C，E几乎不会产生转角和线位移，每根横梁都相当于两端固定的单跨梁，见图3b)，又因为EIc2≫EIb2，则MCB完全由杆CD来平衡，即MCE=0，所以整体结构的M图如图4a)所示。

2)当EIc1=EIc2=EIc3→0，EIb1=EIb2=有限值，三根柱子就等效于三根链杆，整体结构等效为两跨连续梁，如图3d)所示，则整体结构的M图见图4b)。

3)当EIc1→0，EIb2=EIc2=EIc3→∞，EIb1=有限值，杆BC的力学模型可以用图3c)表示，又因EIb2=EIc2，所以MCE和MCD共同来平衡MCB的大小，所以整体结构的M图如图4c)所示。

4)当EIc1→∞，EIb2=EIc2=EIc3→0，EIb1=有限值时，杆BC的力学模型可以用图3e)表示，MBC由MBA来平衡，整体结构的M图见图4d)。

6)对于图3a)所示结构，当梁柱的刚度均为有限值且相差不大时，结点的位移具体分析如下：

若B，C均为铰结点，则B，C可以任意旋转，左端顺时针，右端逆时针；若B，C均为固定端，则二者无任何转动产生；但B，C实际为刚结点，而刚结点的约束能力介于铰结点和固定端之间，所以刚结点的旋转方向与铰结点的旋转方向相同，只是旋转角度较小而已，所以图3a)的θB为顺时针，θC为逆时针，由于CD，CE，EF类似于一个硕大的格构柱，所以结点C的约束能力强于结点B，所以θC<θB。

结点E的转动是由结点C的旋转而引起的，若E为铰结点，则CE杆的力学模型见图3f)，铰结点E顺时针旋转，已知刚结点的约束能力介于铰结点和固定端之间，所以图3a)的θE为顺时针。

水平位移的情况可以用图2a)来比拟，对于整个结构而言，竖向荷载偏左布置，则水平位移向右。

该结构的结点位移虽然有四个，当荷载为竖向荷载时，结点的角位移影响大、水平位移影响小，从而整个结构的弯矩图主要由角位移引起，弯矩图的大体轮廓见图4e)，变形图见图4f)。

3 三层单跨超静定刚架的定性分析示例

图5a)为三层单跨超静定刚架，若所有杆件的EI均相等，且为有限值时，则整体呈现对称性，所以结点无水平位移产生，只有角位移，左端结点均顺时针旋转，右端结点均逆时针旋转，那么上下三层相比，哪层的结点旋转角度最大,哪层的梁端弯矩最大,柱端弯矩又呈现什么规律。由力矩分配法的收敛性可知，原结构的弯矩约等于固端弯矩和第一轮分配弯矩和传递弯矩之和，所以可以根据力矩分配法的基本原理进行定性分析，由于左右对称，下面只分析左侧杆件，右侧同理。

4 结语

计算机技术的飞速发展，引起了结构力学仿真的大量应用，从而出现了对仿真结果真伪进行判断的强大需求，这些正是定性结构力学的主要使命。超静定刚架的定性分析又是定性结构力学的主要内容，前面通过实例演示了如何对超静定刚架进行定性分析，希望通过这些实例能引导土木、水利等专业的本科生，在校阶段学会对结构力学仿真结果的真伪进行判断，为走上工作岗位做好准备。

定性结构力学可以综合利用经典结构力学的基本概念和方法对超静定刚架进行定性分析，在估算变形和内力值范围时，可利用一些极端的情况进行分析，如刚结点的约束能力介于固定端和铰结点之间，所以可以利用固定端和铰结点来估算刚结点处某些截面的内力，或者对某几处截面的内力进行比较，从而实现对结构力学仿真结果的判断。