变式:若关于x的不等式组[2(x-1)>2,a-x<0]
的解集是x>a,则a的取值范围是()。
A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2
【解析】先解关于x的不等式组[2(x-1)>2,a-x<0,]得[x>2,x>a。]由于不等式组的解集是同大取大,借助数轴,得出答案a≥2。临界值a能否等于2,可将a=2代入不等式组中进行验证。故選D。
【点评】解决这类问题的思路是先求出不等式(组)的解集,有待定字母的不等式用含待定字母的代数式表示,再由解集的特征要求来确定待定字母的取值范围。同时可以借助数轴进行逆向分析。在特殊值或边界值的取舍上,一定要仔细甄别。
考点四:一元一次不等式与一次函数的综合应用
例4 (2020·湖南湘潭)如图,直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1),当kx+b≥x时,则x的取值范围为()。
A.x≤1 B.x≥1 C.x<1 D.x>1
【解析】本题可以直接用代数方法求解。将P(1,1)代入y=kx+b(k<0),可得k=1-b,再代入kx+b≥x变形整理,得-bx+b≥0。由图像可知b>0,∴x-1≤0,∴x≤1。故选A。
由于直线y=x也经过P点,所以我们如果从数形结合的角度来看一元一次不等式kx+b≥x的解集,就是找出直线y=kx+b落在直线y=x上方的部分,也就是直线y=kx+b上位于点P的左侧部分的点的横坐标所对应的自变量的取值范围。
变式:已知关于x的函数y=kx+3的图像经过点(2,0),则关于x的不等式kx+3>0的解集是。
【解析】从数形结合的角度来看不等式kx+3>0的解集,实际上就是一次函数y=kx+3的图像在x轴上方部分所对应的自变量的取值范围。故答案为x<2。
【点评】这类不等式与函数相结合的题型可以说不是解出来的,而是看出来的。我们要深刻理解不等式(组)的本质,准确把握函数值与方程的解、不等式(组)的解或解集之间的内在联系,才能灵活快速地解决相关问题。
考点五:一元一次不等式组的应用
例5 (2020·山东济宁)为加快复工复产,某企业需运输一批物资。据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱。
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资。
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元。若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元,请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少。最少费用是多少?
【解析】(1)设1辆大货车一次运输x箱物资,1辆小货车一次运输y箱物资。由“2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱”可列方程组,得[2x+3y=600,5x+6y=1350,]
解得[x=150,y=100。]
(2)设有a辆大货车,(12-a)辆小货车。由“运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元”可列不等式组,得
∴6≤a<9,
∴整数a=6,7,8。
当有6辆大货车、6辆小货车时,费用=5000×6+3000×6=48000元;
当有7辆大货车、5辆小货车时,费用=5000×7+3000×5=50000元;
当有8辆大货车、4辆小货车时,费用=5000×8+3000×4=52000元。
∵48000<50000<52000,
∴当有6辆大货车、6辆小货车时,费用最少。最少费用为48000元。
【点评】利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题,是中考中最常见的题型。本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的不等关系,正确列出一元一次不等式组。在利用不等式(组)解决问题时,求得不等式(组)的解集后,要善于根据实际问题的常规要求及附加要求,全面而完整地对解进行取舍。
(作者单位:江苏省仪征市实验中学)