隐藏在等量关系中的不等关系

李苏萍

数学通常用数字与符号来描述事物，从某种角度看，属于形式科学。当我们将概念或生活中的情境转化为用数学语言来表述时，因观察的角度和描述的方式不同，往往会涉及多种关系。如方程是表示相等关系的，但在学习方程概念、性质以及运用过程中，经常也会涉及不等关系，如果能挖掘出这种隐性的关系，就可以较全面透彻地理解问题。

一、藏在方程的概念中

例1 关于x的一元二次方程（k-4）x2

-2x+1=0在实数范围内有解，求k的范围。

解：根据题意，得

[k-4≠0，b2-4ac=4-4（k-4）≥0，]

解这个不等式组，得

k≤5且k≠4。

【点评】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次项系数不为0是对其形式上的必要补充。很多同学对括号内的补充内容重视不足，解题时经常忽视。从此以后，对概念中“隐藏”在括号内的条件，我们在解题时要格外留意。

例2 若关于x的方程-2x+[m2017-x]+4020=0存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 。

解：将方程变形，得[m2017-x]=2x-4020。

∵m是正整数，∴2x-4020≥0，解得x≥2010。

又∵2017-x≥0，得x≤2017，∴2010≤x≤2017。

若x=2017，则m无解。

∴当x≠2017时，m=[2（x-2010）2017-x]。令t=2017-x，则m=[2（7-t）t]。

∴0

当t=1时，m=12;当t=4时，m=3。

所以12+3=15。

【点评】本题乍一看，是求无理方程的解，但其中二次根式中被开方数的取值范围才是解题关键，是容易被忽视的“隐藏条件”。可利用被开方数大于等于0和m为正整数这些题目中的隐藏条件，将x的值变为有限可能，再一一取值验证，从而求出所有m的值。

由上述两题我们可以发现，由于方程概念的严谨性，方程本身就含有不等关系。

二、藏在数的实际意义中

例3 小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本。已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗？

解：设软面笔记本每本x元，则硬面笔记本每本（x+1.2）元。

若小明和小丽能买到相同数量的笔记本，则[12x]=[21x+1.2]，解这个方程，得x=1.6。

经检验，x=1.6是所列方程的解。

但按此价格，他们都买了7.5本笔记本，不符合实际意义。

答：小明和小丽不能买到相同数量的笔记本。

【点评】本题主要考查分式方程的应用，但题目中隐藏了不等关系，即实际生活中，笔记本的数量只可以是正整数，它排除了分数、负数、无理数等可能。所以用方程解决问题往往需要双重检验：第一，检验方程的解是否符合方程本身的特征;第二，检验方程的解是否符合实际意义。

例4 如图1，某农场老板准备建造一个矩形羊圈ABCD。他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为25m，另外三面用长度为50m的篱笆围成（篱笆正好全部用完，且不考虑接头的部分）。农场老板想将羊圈ABCD的面积建造成320m2，他的这个想法能实现吗？为什么？

解：不能。

设所围矩形ABCD的边AB为x米，则边AD为（50-2x）米。其中，[252]

根据题意，得

x·（50-2x）=320，即x2-25x+160=0。

∵b2-4ac=（-25）2-4×1×160=-15<0，

∴上述方程没有实数根。

因此，围成的矩形羊圈的面积不可能为320m2，农场老板的想法不能实现。

【点评】本题涉及一元二次方程的运用，其中农场老板的想法是否可行是由一元二次方程根的情况来决定的。本题中，由一元二次方程根的判别式b2-4ac<0得出方程没有实数根，反映成实际生活，即农场老板的想法不可能实现。

例5 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=[7]，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A、B的对应点分别为A′、B′），射线CA′、CB′分别交直线m于点P、Q。问在旋转过程中，当点P、Q分别在CA′、CB′的延长线上时，四边形PA′B′Q的面积是否存在最小值。若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积;若不存在，请说明理由。

解：如图3，设PB=x，BQ=y，PQ=a。

由△PBC∽△CBQ，得BC2=PB·BQ。

从而[x+y=a，xy=3。]

消去y，得x2-ax+3=0。

由Δ=a2-12≥0，得a≥[23]，

即当x=y=[3]时，PQ取得最小值，

则S四边形PA′B′Q=S△PCQ-S△A′CB′

=[32]PQ-[3]，

所以四边形PA′B′Q的最小面积=[32]×[23]-[3]=3-[3]。

【点评】本题的难点在于先在变中找不变，再根据不变找出变化的范围。如图4，随着△ABC绕着点C旋转，各线段、图形的面积的大小也在不断地变化，但PQ=PB+BQ、△PBC∽△CBQ这样的关系却始终没变。再运用“消元”思想，将两个关系“合二为一”，得出PB、PQ的等量关系式。此时，可根据方程的特征，将其看作是含参数a的一元二次方程，再利用根的判别式这个较隐蔽的不等关系，得出a的取值范围，从而得解。

数学是一门严谨的学科，对于同一个问题的表述有时涉及多种数量关系。这些关系有些较为明显，有些较为隐蔽。这就需要同學们平时解题时，做个勤于思考、善于挖掘的有心人。

（作者单位：江苏省仪征市实验中学东区校）