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化简步步为营 求值洞察类型

2021-05-14谢燕

初中生世界·九年级 2021年3期
关键词:分式化简括号

谢燕

分式的化简求值题是中考中的常见题型之一,是同学们需要掌握的重点内容。同学们只要熟练掌握因式分解、通分、约分,注意符号和正确的运算顺序,就能顺利地进行化简;只要仔细观察题目给出的求值条件,按照正确的方法代入运算,就能轻松得到准确的结果。

今天,老师就带同学们一起来复习分式化简的一般步骤,看看分式化简求值的几种常见类型。

一、稳扎稳打,步步为营

例1 (2020·江苏南通)计算:[x-yx]÷(x+[y2-2xyx])。

解:原式=[x-yx]÷([x2x]+[y2-2xyx])

=[x-yx]÷[x2-2xy+y2x]

=[x-yx]?[x(x-y)2]

=[1x-y]。

【点评】这是一道分式化简题,化简过程按照先乘除后加减,有括号的先算括号内的运算顺序。本题先进行括号内的加减运算。括号内是整式与分式的加减,应先将整式通分成与分式同分母的分式形式,这是分式化简中常见的类型,然后进行同分母分式加减;接着进行乘除运算,本题是除法,所以要倒除为乘,然后进行分式乘法运算,本质是约分,把最后的结果化到最简。这样按照解题步骤,一步一步,稳扎稳打,就能得到正确的结果。

二、直接代入,简单求值

例2 (2020·江苏宿迁)先化简,再求值:[x-2x]÷(x[-4x]),其中x=[2]-2。

解:原式=[x-2x]÷([x2x][-4x])

=[x-2x]÷[(x+2)(x-2)x]

=[x-2x]?[x(x+2)(x-2)]

=[1x+2]。

当x=[2]-2时,

原式=[12-2+2]=[12]=[22]。

【点评】本题按照题目要求,先化简,再求值。在得到最简结果之后,将x的值直接代入求值就能得到正确答案。本题给出的值含有根式,需要进行分母有理化,保证最后算出的值是最简根式。

三、整体代入,巧妙求值

例3 (2020·山东菏泽)先化简,再求值:(2a-[12aa+2])÷[a-4a2+4a+4],其中a满足a2+2a-3=0。

解:原式=([2a2+4aa+2][-12aa+2])÷[a-4(a+2)2]

=[2a2-8aa+2]·[(a+2)2a-4]

=[2a(a-4)a+2]·[(a+2)2a-4]

=2a(a+2)

=2a2+4a。

∵a2+2a-3=0,

∴a2+2a=3,

∴原式=2(a2+2a)=2×3=6。

【点评】在化简得到结果之后,根据题目给出的a2+2a-3=0条件,同学们会想,该怎么求值呢?或许有的同学想通过解方程求出a的值,然后代入求值;或许有的同学通过仔细观察发现了什么。看到题目后,你脑子里闪现的任何一个念头都是好的,都可以进行尝试。想解方程的同学可以求出a的值为-3或1,然后分别代入,得到的结果都是6;仔细观察的同学或许会发现只要将方程适当变形便能得到a2+2a这个整体的值是3,整体代入便能化繁为简。问题解决了,我们再回头看一看,如果以后再遇到这类问题,怎么处理更好呢?老师相信同学们心里已经有了正确的答案。

四、谨慎取值,正确求值

例4 (2020·四川遂宁)先化简:([x2+4x+4x2-4]-x-2)÷[x+2x-2],然后从-2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值。

解:原式=[[(x+2)2(x+2)(x-2)]-(x+2)]·[x-2x+2]

=([x+2x-2]-[x2-4x-2])·[x-2x+2]

=[-x2+x+6x-2]·[x-2x+2]

=[-(x+2)(x-3)x-2]·[x-2x+2]

=-(x-3)

=-x+3。

∵x≠±2,∴可取x=1,

∴原式=-1+3=2。

【点评】本题的分式化简要注意第一步中将-x-2化成分式形式之前有个添括号,第三步中同分母分式相加减时分数线具有括号功能。将分式化简到最简后,同学们会面临一个选值问题,其本质是考查原分式及运算过程中出现的那些分母取值不能为0,这样就很容易确定规定范围内的正确取值,从而得到正确的结果。

在分式的化简求值时,只要我们按照步骤,步步为营,注意观察,掌握方法,就一定能顺利地求得正确的结果。

(作者单位:江苏省常熟市第一中学)

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