基于智能算法的超材料快速优化设计方法研究进展

贾宇翔 王甲富* 陈 维 随 赛 朱瑞超 邱天硕 李勇峰 韩亚娟 屈绍波

①(空军工程大学基础部 西安 710051)

②(93704部队 北京 101100)

1 引言

超材料是由亚波长单元结构按照周期性或准周期性等特定的空间分布序列构成的人工复合材料或结构，可对电磁波的幅值、相位、极化等特性进行灵活调控[1]。作为调控电磁波的重要手段之一，超材料在通信、隐身、电子对抗等领域中具有极为重要的潜在应用价值。超材料的性能显著依赖结构单元本征的电磁响应以及周期性或准周期性等空间排布方式，在给定电磁性能需求的前提下，如何快速获得最优的超材料工程化应用设计方案是一项非常具有挑战性的工作。

20至21世纪之交，随着英国帝国理工Pendry爵士[2,3]和美国加利福尼亚大学Smith教授[4]等先后发表关于左手材料的开拓性论文，国际学术界掀起了超材料研究热潮，超材料成为近二十几年来的学术热点。超材料概念不仅仅限于左手材料，有关超材料理论、设计和实验验证等工作如雨后春笋般，呈现爆炸性的增长趋势。近年来，超材料的实际应用需求牵引着设计形式的变革，超材料呈现出数字化、信息化、智能化、集成化等发展趋势[5,6]。特别地，在面向工程应用时，需要进行不同结构形式、不同结构参数、不同排布方式等超材料结构单元的整体优化设计，数量规模至少在几万、几十万，甚至达到百万/千万量级，远超人力之所能，必须借助智能算法对超材料进行设计与优化。

智能算法包括传统的启发式算法和神经网络算法[7,8]。其中，启发式算法包括遗传算法(Genetic Algorithm,GA)和粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)等方法，对超材料结构单元进行快速优化设计，通过算法迭代实现对所需电磁性能目标的优化设计[9,10]。基于智能算法的吸波超材料优化过程结合有限元法和遗传算法，其中有限元法主要用于计算具有不同结构单元的超材料吸收体的吸收性能，遗传算法用于有效地选择最优解[11,12]。机器学习类算法，包括传统的神经网络、深度学习和强化学习等可以取代传统的数值计算方法[13]，利用计算资源对训练样本进行学习，大量数据被一次性投入到构建设计工具中，而后根据所需电磁性能对单元结构进行快速设计。2018年澳大利亚国立大学Altug Hatice教授团队在Science上发表的文章，提出通过分析像素化全介质超表面的光谱来检测不同的物质，不仅介绍了简单的线性分解的情况，同时在总结部分对非线性的情况提出了基于机器学习的解决思路[14]。美国东北大学Yongmin Liu教授课题组[15]在同年提出了使用深度学习进行超材料设计，结合两个双向神经网络组成的神经网络，通过部分叠加策略组装，自动设计和优化在预定波长具有强手性响应的三维手性超材料，加速推进了按需设计纳米光子器件的实现。因此，机器学习最早应用于纳米光学，后续被逐步推广到其他频段。相比于传统的优化方法，基于数据驱动方法的机器学习算法正在迅速崛起，通过大量的数据训练神经网络并对超材料进行辅助设计。近期，崔铁军院士团队在无监督的条件生成对抗网络环境下提出了一种有效的非迭代算法来设计智能编码超表面全息图，被称为物理驱动的变分自动编码器。与传统的条件生成对抗网络有着很大的不同，该算法需要大量的人工标记训练数据，具有物理驱动的特点，从根本上解决了传统算法的困难[16]。

这些算法为超材料的优化设计提供了新的方法和途径，在超材料设计领域合理应用智能算法可以有效提高设计效率。

在超材料设计中，根据神经网络输入和输出的关系，可以大致分为如图1所示的正向设计和逆向设计两种不同的应用方法。第1种方法如图1(a)所示，通过输入结构参数(如微波结构的几何形状)来预测电磁响应(如透射光谱或微分散射截面)。这些训练后的神经网络被用来代替电磁仿真的数值模拟过程，大大减少了设计时间[17,18]。这类神经网络通过结构参数预测电磁参数，因此称为正向网络。第2类神经网络应用如图1(b)所示，以电磁响应作为输入，反向推算出几何结构，通过训练神经网络可以构建输入与输出的映射，不需要任何迭代优化，迅速达到性能指标。这一过程称为逆向设计[19,20]。代表性的工作有Liu等人[21]通过串联架构中结合正演建模和逆设计实现了对散射特性的设计，Peurifoy等人[22]利用人工神经网络来反向设计多层纳米粒子光散射。

图1 神经网络应用方法Fig.1 Application methods of neural network

本文扼要总结了本课题组近几年基于智能算法的超材料优化设计方法研究进展，其类型涵盖了不同性能指标的频率选择表面(Frequency Selective Surface,FSS)、多机理复合低雷达散射截面(Radar Cross Section,RCS)超材料、聚焦超表面以及异常反射超表面等，为超材料工程化应用提供设计工具支撑。

2 频率选择表面拓扑优化设计

频率选择表面是由二维平面内周期性排列的金属贴片或孔径单元组合，对空间电磁波表现出空间滤波的特性，使得特定频段的入射电磁波通过或阻止，对频带外入射电磁波表现出截然相反的特性。通常FSS优化设计涉及单元结构、周期性大小、材料参数、结构参数等因素，是一个复杂的优化问题。人们受进化论和种群遗传学的启发，提出了一种由生物进化规律演化出的搜索和优化方法。遗传算法作为最具代表性的启发式算法，通过模拟或揭示生物学中进化和遗传发展而来的，其本质是一种迭代算法，其思想涉及数学、生物学和计算机科学等方面，为解决复杂问题提供了新的思路和手段。本节通过遗传算法对FSS进行研究，探索了FSS优化目标函数建立及优化过程，以应用需求为牵引，设计实现了一种带通型FSS[23]。

拓扑优化的拓扑构型设计，是将FSS结构按照一定的策略进行离散编码，其本质是将物理模型抽象为数学语言(二进制字符串)。拓扑型FSS的设计按照如图2所示的编码逻辑设计、简化编码长度以及编码译码的顺序进行，对双层FSS的每一层而言，可以离散为N×N个方形贴片，与之相对应地产生一个长度为N×N的编码串；当这种像素点足够小时，可以模拟出任意拓扑结构，不过随之而来的是对应编码长度呈指数增长，通过引入旋转对称的机制进行编码，可以极大减少编码单元的长度，采用旋转中心对称结构，可使编码长度减少为原有长度的 1/8；通过优化算法得到的解集需要通过译码过程，最终完成FSS建模和仿真，对于某一位编码来说，建立拓扑构型与编码序列之间的映射关系，即“1”表示对应像素点位置存在金属贴片，“0”表示空白。

图2 拓扑构型FSS[23]Fig.2 Topological FSS[23]

对于带通型FSS，通常关注通带的工作带宽、带内插损、带外抑制度等主要设计指标。就某一具体的带通型FSS要求而言，3 dB工作带宽为，带内插损小于1 dB，带外抑制要求在频率范围内S21<–30 dB。显然，这是一个多目标优化问题，采用加权组合法，目标函数可定义为

利用GA完成FSS拓扑优化设计，在保证每次迭代中个体数值仿真计算准确性的同时，还应当将GA的参数设置对优化过程收敛的影响充分考虑进来，以满足优化效率的要求。种群规模取20，最大进化代数设为200，选用偏置轮盘选择算子，多点交叉，交叉概率为0.8，变异概率为0.05。

拓扑型FSS的结构单元及其S参数如图3所示，工作频带内传输曲线满足插损要求，整体平坦，通带内插损小于0.35 dB,11.3 GHz处S21达到–20 dB,13.2 GHz处S21达到–30 dB，带外过渡带陡峭，满足带外抑制的设计要求。通过计算发现，在13.8 GHz附近出现一个强吸收峰，此为上下层FSS发生谐振导致的损耗。

3 低RCS超表面拓扑优化设计

图3 优化后的带通型FSS[23]Fig.3 The optimized bandpass FSS[23]

自美国波士顿学院Landy教授等人[24]2008年提出超材料完美吸波体以来，通过合理设计超材料单元结构，设计出合理的等效介电常数和等效磁导率，使其输入阻抗与自由空间波阻抗匹配，从而实现完美吸收的设计思路，已广泛应用于太赫兹、红外和可见光吸波材料的设计中[25]。上述超材料吸波材料基于其电磁谐振特性，通常仅具有窄带吸收效果，虽通过多谐振叠加的手段可实现拓展带宽，但其结构厚度会随之增加，加之制备工艺复杂，如光刻对准问题，实现难度高等不利因素，阻碍了其工程应用实践。

通过增加结构的损耗，如水基吸波体[26,27]、离散电阻元件或电阻膜[28]，可有效拓展吸波材料带宽。相比之下，加载电阻膜的超表面吸波体，可利用丝网印刷技术实现，工艺成熟，设计过程仅需控制方阻值、结构参数和拓扑构型，便可实现吸收带宽的调控，具有较高的设计灵活度。本节综述了本课题组以加载电阻膜的超表面吸波体为研究对象，通过智能算法GA，分析了电阻膜方阻值和拓扑结构对吸波性能的影响，在充分考虑吸波材料轻质、宽带吸收性能的前提下，采用拓扑优化的方法，得到吸收带宽的最优化设计方案，利用复合材料成型工艺，实现了两种宽带超表面吸波体[29]；基于吸波和散射复合机理的编码超表面综合拓扑优化设计方法，利用拓扑优化方法设计实现了一种宽带复合低RCS超表面[30]；利用铟锡氧化膜的透光特性，设计了一种具有光学透明特性的低RCS编码超表面。

3.1 大角度稳定、极化不敏感宽带吸波超表面

吸波材料工程化应用领域，要求其具有质量轻、耐高温、耐腐蚀等特性，同时对力学性能也有一定要求，因此结构功能一体化设计的吸波材料是解决其工程实际应用的关键技术之一。此外，把所设计的超材料制作出来，并把它们集成到器件中实现特定的功能，同样是超材料从实验室真正实现工程应用的关键技术问题。

超材料吸波体拓扑优化设计将吸波体划分成20×20网格，单元采用如图4(a)所示的中心对称的编码设计，保证吸波材料对入射电磁波极化角度不敏感的同时实现拓扑构型尽可能多，增大了设计的自由度，有利于全局寻优。结构参数(周期性大小P、单元厚度d2、蒙皮厚度d1、两层超表面吸波体与夹芯上表面的距离分别为d3和d4)采用实数编码，采用十进制和二进制混合编码方法，省去了二进制与十进制之间的译码过程，从而提高计算精度[23]。

大角度稳定、极化不敏感宽带吸波材料的目标函数可定义为

其中，frange为优化的频率范围，∆fi是大于吸收阈值的频率间隔，当吸收带宽越宽，目标函数就越小，当达到最大工作带宽时，目标函数为0；针对吸收强度目标函数，其中Aaim为定义的吸收率阈值，Aj为不满足吸收率的频率采样点对应的吸收率。k为最大入射角度Theta内的角度采样点。在TE和TM模式下能够得到吸收率在不同入射角度下的频谱图，从频谱图中可以更加直观地看出吸收效果，从而判定吸收性能。

优化后的宽带复合吸波材料的周期性单元结构如图4(b)所示，不同入射角和不同极化角下的反射率图谱如图5所示，对TE和TM模式来说，随着入射角度的增加，带内吸收效果逐渐减弱，其中TM模式变化趋势更为显著，当入射角增大到60°时，仍能保持带内平均反射率低于–10 dB；当电磁波垂直入射时，随着极化角度的变化，反射率无明显变化，这也说明，基于中心旋转对称的拓扑构型能有效实现极化不敏感特性。对于电阻膜材料的制作过程，利用丝网印刷工艺，将导电碳浆印刷成所设计的结构，电阻膜的方阻值由丝网的网孔大小(通常目数越高，网孔孔径越小，方阻值越大)和导电碳浆的浓度控制，经过高温炉固化后定型，利用方阻测试仪，可准确测定电阻膜方阻值。

图4 宽带吸波复合材料拓扑构型[23]Fig.4 Schematic illustration of wideband absorber topology configuration[23]

3.2 对称性破缺吸波超表面

对称性破缺是一个横跨物理学、生物学、社会学和系统论等学科的概念，狭义上，可以简单理解为对称性元素的缺失，或原来具有高度对称性的系统，由于不对称因素的出现，导致系统对称程度降低的现象。对称性破缺广泛存在于自然界中，如人的左右手掌纹、树叶的叶脉等。基于周期性排列的超表面吸波体，在整体上表现出较高的对称性，当引入对称性破缺时，超表面性能也会随之发生相应变化，本节就其工作原理进行分析。

对于周期性排布的吸波超表面，对入射电磁波产生响应，实现能量吸收，由于具有高度的对称性，吸波超表面单元所产生的电磁响应是统一的。如图6所示，利用拓扑优化设计的超表面吸波体，可实现6.7～20.0 GHz频带内90%以上的吸收率[29]。

图5 吸收率随极化方式和入射角变化[23]Fig.5 Variation of absorptivity with polarization mode and incident angle[23]

图6 基于拓扑优化设计的超表面吸波体Fig.6 Metaurface absorber based on topology optimization design

当超表面吸波体部分单元结构因表面材料脱落、老化失效等因素，使得原本高度对称的周期性吸波体产生对称性破缺时，所引入的对称性破缺单元会引入新的传输特性响应，对超表面整体性能产生影响。为便于分析，假定超表面单元出现的对称性破缺是均匀的，如图7所示，这样的对称性破缺结构与编码超表面具有高度相似性，因此利用编码超表面设计理论对对称性破缺的吸波超表面进行分析。

如图7所示，编码超表面由M×N个编码单元组成，编码单元间隔(周期)为d，其中黑白色块分别代表编码“1”和“0”，两种编码单元对应的反射系数为

图7 对称性破缺超表面吸波体结构示意图[29]Fig.7 Structure illustration of the symmetry broken metasurface absorber[29]

Em,n是编码单元(m,n)的辐射电场，k0是自由空间波矢，A0和A1分别是编码单元“0”和“1”的反射幅度，P0和P1分别是编码单元“0”和“1”的反射相位，编码单元“0”和“1”的反射相位差记作∆P=|P0−P1|，将各编码单元反射电场对远场中某一点处的贡献进行二维求和(积分)，即可达到远场辐射电场：

其中，θ和φ分别是球坐标系中的俯仰角和方位角。对于1-bit编码超表面，编码单元的反射幅度为1，相位是0或π，此时式(4)可以简写为

从式(5)可以看出，远场电场分布只与ϕ(m,n)及其分布有关，因此，通过调控编码超表面上编码单元的数量与排列方式即可实现远场波束的调控。当θ=0,φ=0时，编码单元相位差达到[143◦,217◦]，即可实现大于10 dB的RCS缩减，因此优化的目标函数可以定义为

其中，[fstart,fstop]为优化的频率范围，phaseb0(f)和phaseb1(f)分别为采样频点处编码单元“0”和“1”的反射相位。当优化达到最大工作带宽时，目标函数值fitness1达到最大。

作为编码超表面的重要应用之一，可以通过合理设计编码单元的排布实现降低RCS的效果。不同于3.1节提到的吸波材料通过吸收入射电磁波并将其转换成内能所实现的RCS缩减，其原理是将入射电磁波散射到非来波方向的半空间中，从而降低来波方向的反射能量。

据编码超表面计算式(4)，可得对称性破缺的超表面吸波体的归一化(与同尺寸金属板对比)后向RCS(θ=0)：

其中，α为编码单元“0”和“1”的数量比，记作α=n0/n1,n0和n1为对应编码单元数量。由此可以快速计算出后向散射场分布，进而利用优化算法优化编码序列，对后向散射场分布进行调控。

针对低RCS设计目标，结合式(5)，编码序列优化目标函数可定义为：fitness2=max(Etotal(θ,φ))，其中Etotal(θ,φ)为半空间范围内反射电场的分布，当适应度函数值达到最小时，反射电磁波RCS在半空间范围内分布相对均匀，且达到最小值。

分别对传统编码超表面(A0=A1=1)和对称性破缺的编码超表面的编码序列进行优化，优化目标是后向散射尽可能小。最终所得最优编码序列如图8(b)和图8(c)所示，将如图8(a)的金属板作为对比，计算了其远场电场分布，结果如图8(d)—图8(f)所示。

与金属板对比，传统编码超表面由于散射或吸收作用能够实现后向RCS的缩减。周期性超表面吸波体出现对称性破缺后，其远场方向性得到改善，使得后向RCS进一步得到缩减。这种对称性破缺在超表面吸波体的应用中具有潜在的价值。换言之，即便是超表面吸波体在使用过程中出现部分结构单元老化失效或脱落，在一定条件下，其RCS缩减性能并不一定变差，甚至可以得到改善，这种思想可以用于指导超表面吸波体的设计和后期使用维护。

3.3 基于吸波和散射复合机理的低RCS超表面

在RCS缩减的现行手段中，完美吸波材料和散射对消均可实现后向电磁波的完整调控。本课题组基于编码超表面设计思路，结合拓扑优化设计理论，提出了基于吸波和散射复合机理的低RCS超表面综合拓扑优化设计方法[30]。这种复合机理的设计思路能够有效综合不同RCS缩减手段的优势，结合拓扑优化设计，可以快速设计出满足个性化需求的低RCS超表面。

首先，从编码超表面对反射电磁波的调控入手，由编码超表面工作原理分析可知，反射电磁波远场RCS缩减值可表示为，其中A0和A1分别是编码单元“0”和“1”的反射幅度，P0和P1分别是编码单元“0”和“1”的反射相位，编码单元“0”和“1”的反射相位差记作∆P=|P0−P1|，β为编码单元“0”的占空比。当编码超表面的编码单元都是由吸波材料组成的，即编码单元的反射幅度较小，以90%吸收率为例，编码单元反射幅度为A0=A1=0.1，调节编码单元之间的占空比或/和相位差，即可实现后向RCS的调控。当占空比满足β=0或β=1时，编码超表面退化为单纯的周期性超表面吸波体；当编码单元结构确定后，即编码单元之间的相位差为固定值时，仍可通过改变编码单元的占空比，实现后向RCS调控。

图8 金属板与超表面的对比[29]Fig.8 Comparisons between metal plate and metasurfaces[29]

图9 低RCS编码超表面[30]Fig.9 Low RCS coded metasurface[30]

采用如图9(a)所示超表面吸波体中心轴对称的拓扑构型优化方法，将两种编码单元拓扑构型的优化和编码序列(占空比)的优化进行综合考虑，采用综合优化的方式，利用GA设计实现宽频带低RCS编码超表面。优化目标函数定义为fitness=max(|σr|)，即保证后向散射RCS在半空间内均匀分布的同时，尽可能实现缩减。

优化得到的两种编码单元结构如图9(c)，图9(d)所示，两种编码单元采用电阻膜结构实现，编码单元“0”和“1”优化所得电阻膜方阻分别为150 Ω/sq和6 Ω/sq。优化所得的编码超表面如图9(b)所示，其中编码单元“1”占比为34/64。

优化所得基于复合机理的编码超表面的RCS缩减性能如图10给出的12.0 GHz,15.0 GHz,18.0 GHz和20.0 GHz三维远场图所示，通过和金属板对比发现，在吸波和散射的共同作用下，编码超表面后向RCS得到明显缩减。

3.4 光学透明低RCS超表面

随着技术的发展，在一些军事设施中，如飞机座舱盖、装甲车前挡风玻璃等，要求在保证透光性的前提下，降低目标RCS，从而提高武器装备战场生存能力，显然这些要求都对低RCS表面的设计提出了新的要求。

利用铟锡氧化膜的阻抗特性和透光性，结合编码超表面设计方法，本课题组设计实现了一种基于吸波和散射复合机理的低RCS超表面。采用如图11所示中心轴对称的拓扑构型，将单元表面划分成20×20拓扑编码区域，介质基板为厚度h的PMMA(εr=2.25(1+0.001j))，背面是完整的低电阻率ITO 膜，类比金属背板，充当反射背板[23]。

图10 RCS远场图[30]Fig.10 RCS far-fields[30]

图11 拓扑结构单元[23]Fig.11 Topology unit[23]

采用综合优化的方式，将两种编码单元拓扑构型的优化和编码序列(占空比)的优化进行综合，在保证后向散射RCS在半空间内均匀分布的同时，尽可能增大后向RCS缩减，整个优化过程与3.3节的优化方法一致，不再赘述。

优化所得的编码超表面单元“0”和“1”的占空比分别为52.3%和47.7%，通过优化所得的编码超表面序列排布如图12(a)所示，计算可得对应的后向归一化RCS如图12(b)所示。

为进一步验证上述宽带光学透明低RCS编码超表面的性能，在厚度仅为0.175 mm的PET薄膜上，采用激光刻蚀技术，制备了如图13(a)所示的由两种编码单元结构组成的编码超表面。使用光谱测试仪(Ocean Optic,OFS-2500)测量波长为380～780 nm范围内的平均透光率，测量结果为77%。在微波暗室中，测量了反射电磁波法向RCS,6.2～20.8 GHz频段内后向RCS缩减均大于10.0 dB，满足预期效果。

4 基于遗传算法的宽带超材料吸波结构

图12 编码超表面[23]Fig.12 Coded metasurface[23]

图13 超表面样品[23]Fig.13 Metasurface sample[23]

按周期排列的纵向金属线阵列可以与相邻的吸收峰组合成连续的吸附峰[31,32]。通过调整金属线的长度和数量等参数可以有效地提高吸收效率，如引入弯曲金属线结构、提高金属线的占空比以及加载其他吸波材料等[33–36]。由于水平金属线的长度会影响电磁波的阻抗匹配，通过优化水平金属线的纵向轮廓，也可以提高SSPP的吸波性能。本课题组对电磁超材料吸波结构体的纵剖面进行了讨论，并基于遗传算法提出了SSPP电磁超材料吸波结构优化方案，其优化流程示意图如图14所示。根据不同的曲线函数可以建立相应的结构模型，通过遗传算法对大量随机样本进行交叉迭代和选择，优化后得到最优系数矩阵，建立最优结构，实现电磁超材料吸波体的设计[37]。

将长度渐变的金属线外边缘可以看作连续曲线上的一些离散点。由于结构高度对称，只需要设计1/8的结构即可。这些金属线外边缘在坐标系上的取值范围可表示为：x∈[0,5],y∈[0,25]，单位为mm。在此范围内，三次函数可以拟合任意逐渐变化的曲线。从而将SSPP吸波体的优化转化为边缘轮廓曲线的优化，取三次函数为

图14 基于遗传算法的优化流程示意图[37]Fig.14 Optimization flow illustration based on genetic algorithm[37]

其中，[a,b,c,d]为函数f(x)的系数矩阵，f(x)为吸波结构纵剖面曲线。曲线函数f(x)及其对应的水平金属线结构如图15所示，不同系数的三次函数产生了不同的曲线。曲线被归一化到介质基板的指定区域，水平金属线的外部边缘随着函数线f(x)的变化而逐渐变化。根据曲线所描绘的轮廓进行建模，调整系数矩阵[a,b,c,d]会影响水平金属线的形状，进而影响吸波效果。优化目标函数可由式(9)表示：

图15 曲线与金属线形[37]Fig.15 Curve and metal line shape[37]

其中，ΔFi是频率范围[fmin,fmax]内满足要求的频点，即在10.0～30.0 GHz电磁吸收率大于90%的频点。

根据最优线型进行建模如图16(a)所示，其反射率在10.0～30.0 GHz时小于–10.0 dB，在目标波段电磁波吸收率大于90%。从图16(c)和图16(d)可以看出优化模型在不同频率下的表面电流和能量损耗的分布，不同长度的平行金属线产生不同频率的谐振，能量损耗的分布与表面电流的分布相近，通过长度渐变的金属线可以实现多个谐振频点的叠加，进而实现宽带吸收。

5 基于Hopfield网络的电磁超表面

对于给定的图像或矩阵，联想记忆是指网络能够找到其相似的图像或矩阵。在这种情况下，超单元类似于图像，这意味着可以关联更多相似的超单元。与遗传算法相比，Hopfield网络具有更少的参数和更快的收敛速度，根据联想记忆的功能，可以有效地减少编码序列的遍历次数[38–40]。利用Hopfield网络计算结构的相似编码序列，如果相似度大于90%，则新结构与现有结构相似。因此，网络只需记住现有的结构，并关联更多的相似单元即可实现对未知单元的搜索。通过这种方法，在线极化条件下，可以快速找到宽带内具有指定相位曲线的单元。

图16 吸波体的电磁响应[37]Fig.16 Electromagnetic response of the absorber[37]

本课题组提出了一种通过Hopfield网络寻找超单元的超表面设计方法[41]。利用Hopfield网络的联想记忆特性，能够有效地过滤掉许多不合理的设计并减少全波仿真的次数，进而提高超单元图案的搜索效率。

Hopfield网络是一个反馈全连接网络，即所有的信息在所有神经元之间共享[42]。除了输入和输出外，所有神经元之间还存在相互作用。单个神经元之间的相互作用导致了整个网络的混沌现象。混沌现象具有动态稳定性，这种稳定性使其具有联想记忆功能。混沌现象使得搜索相似的单元成为可能[43]。从图像处理的角度，网络将单位矩阵视为图像。将结构相似性的识别转化为相似图像的识别。联想记忆存储器可以记住搜索过的单元，并将越来越多的相似单元关联起来。

图17(a)展示了Hopfield网络的整体结构，每个神经元都与其他所有神经元相连，每个神经元都有额外的输入和输出，在本工作中神经元的数量为256个，该过程通过MATLAB中的newhop工具箱来实现。图17(b)显示了其中一个神经元的细节，输入来自所有的神经元和一个额外的输入层，对所有的权重进行加权和校正，然后输入到激活函数中。输出也是一个额外的层，其运行方式是并行的，即在任意给定时刻，所有神经元的状态同时改变。神经元对所有输入信号进行加权，利用激活函数对其进行合成。

图17 Hopfield网络[41]Fig.17 Hopfield network[41]

神经元状态可表示为

其中，ui(t)为t时刻节点i的输出，vj(t)为t时刻节点j的输入，wij为节点i对节点j的当前权值，bi为wij的修正因子。选择符号函数作为激活函数：

激活函数将所有输出信号映射到[–1,1]，这一过程是一个标准化操作。然后Hopfield网络对所有输出进行加权，得到输出值作为最终结果。选取符号函数作为激活函数，使输出具有非线性。然而，联想记忆也是一个非线性的过程，因此，使用该方法对解决非线性问题有一定的启发意义。通过设置这些参数，Hopfield网络具有了超表面单元的联想记忆功能。

如果一段时间后网络状态不变，则网络处于稳定状态，如式(12)所示：

将所有的权值和偏差相加作为系统的总能量，如式(13)所示：

其中，E表示能量。对于任意一个神经元i，其能量函数为

从式(15)可以看出，ΔE<0。因此，函数E趋于稳定。当系统稳定时，即可实现联想记忆功能。在此基础上，寻找单元就变成了记忆已经搜索到的单元并将越来越多相似的单元联系起来的过程。Hopfield网络也成为减少搜索步长、提高搜索精度的一种方法。

利用Hopfield网络计算结构的相似编码序列。如果相似度大于90%，则新结构与现有结构相似。因此，网络只需记住现有的结构，并关联更多的相似单元即可实现对未知单元的搜索，联想记忆的功能如图18所示。

如图18(a)所示，3个8×8矩阵相差1～3个像素点，它们与右侧矩阵的相似度均大于90%。使用单元结构的矩阵来训练网络，使其与左侧的矩阵联系起来。此时，相应的结构被认为是等效的，从图18(b)可以看出，4种结构单元的相位分布也是相似的。

分别用相位差为90°和180°的单元设计了能实现异常反射的超表面。根据异常反射、折射和广义反射定律根据广义斯涅耳定律，可以实现超表面的异常反射，可以实现超表面的异常反射。异常反射超表面的相位分布情况及其性能如图19所示，从其远场辐射图中可以看出，反射角度与理论计算值一致。

图18 Hopfield网络的联想记忆功能[41]Fig.18 Associative memory function of Hopfield network[41]

图19 异常反射超表面[41]Fig.19 Abnormal reflection metasurface[41]

6 基于深度学习-遗传算法复合优化的双功能超表面逆向设计方法

在过去的几年里，功能集成引起了研究者极大的兴趣，因为它是实现设备小型化和系统集成的关键[44–46]。近年来，诸多学者对多功能表面进行了大量的研究，通过结构的复合将多种功能集成到一个平板器件上，利用不同频带具有响应不同的结构单元或同一频带中单元的各向异性，设计出了很多多功能超表面[47–49]。

传统的遗传算法可以直接用于优化单元，但每次都需要对单元的属性进行重新仿真。为了提高优化效率，本课题组提出了一种基于深度学习前置模型融合遗传算法的超单元快速优化设计方法[50]。首先，利用深度学习模型建立相位与超单元之间的映射；其次，在深度学习模型的基础上使用遗传算法优化单元结构；最后，为了适应宽带设计，引入反射相位曲线的标准差作为平滑度来验证超单元的可用性。该过程的实现方法如图20所示，通过样本训练深度学习模型，并将其设置为前置模型，在此基础上，采用遗传算法对正交极化下具有不同相位响应的超单元进行优化。利用该模型根据x极化聚焦和y极化散射的超表面设计需求进行结构单元排布，实现了双极化超表面的逆向设计。基于这种设计思路，能够根据不同的需求实现不同功能超表面的快速设计。

超单元作为一种基本的单元结构，可以排列成超表面。本节建立了超单元图案编码序列与反射相位之间的映射，并利用深度学习模型对超单元图案进行相位预测。使用MATLAB-CST联合仿真获得相位和超单元矩阵作为训练数据。深度学习模型可以从超单元和相位的特征中了解它们之间的关系，并建立相应的映射。将1°–360°的相位视为360个类别，将超单元简化为图像，即将预测的相位转换为图像分类。

深度学习网络采用如图21所示的Inception V3，由python 3.7中的Tensorflow1.13.1构建的。随着网络深度的增加，Inception V3引入了Inception模块作为基本特征提取单元，该方法可以有效地减少梯度消失，提高速度。

Inception V3是GoogLeNet的第3代网络，具有很强的图像识别和分类能力。Inception模块对卷积核进行分解，从而提高了运行速度，细化了特征提取。Inception V3网络由ImageNet训练，包含超过1500万幅图像数据，约22,000个类别。因此，该网络结构具有很强的分类能力。将相位1°–360°视为360个类别，超单元视为图像。因此，相位预测被转化为图像识别。

为了适应新的任务领域，该网络应用了新的输入层和全连接层，同时保持其他层的参数和结构不变。因为这是一个分类问题，所以使用softmax函数进行激活，并设置360个神经元作为输出层。使用新的数据集来重新训练该深度学习网络。选择Adam作为优化器，通过动量和矩估计动态调整学习速率，以便于损失函数快速收敛。为防止该网络过拟合，将dropout设置为0.9。

图20 基于深度学习-遗传算法复合优化流程图[48]Fig.20 Flow chart of composite optimization based on deep learning and genetic algorithm[48]

为了建立相位与超单元图案之间的映射，随机生成具有不同图案的超单元，并通过全波仿真生成数据集。共收集70,000个数据，其中训练数据占80%，测试数据占10%，验证数据占10%。这些数据被训练了15,000次用时约30 min。验证集的最高精度为95.99%。

在双极化超表面设计中，无论x极化还是y极化都需要满足超单元的相位分布关系。通过训练深度学习模型，建立了x极化相位与超单元图案之间的映射关系。只要旋转图案，就可以利用深度学习模型预测y极化的相位。x极化和y极化的相位预测可以看作一种双目标优化。目标函数如式(16)所示。

其中，Fun是目标函数，X代表超单元的编码序列，fx(X)和fy(X)的分别代表x极化和y极化下的预测相位，ω是双目标优化中的权重系数，PhaseX和PhaseY分别表示超单元所需的x极化和y极化下的相位响应。

遗传算法的参数设置为：种群大小20，最大进化代数15，终止条件为Fun(X)=0或达到最大迭代次数。个体的交叉概率为0.8，变异概率为0.01。将深度学习模型训练为正演模型，建立相位与矩阵的映射。然后将遗传算法应用于前置的深度学习模型。将深度学习生成的相位与期望相位之间的误差和设为适应度函数。通过深度学习融合遗传算法生成双极化超单元，使用遗传算法优化超单元编码，采用全波电磁计算仿真超单元的反射相位曲线，并通过标准差计算反射曲线的平滑度，平滑度由式(17)计算

其中，xi表示相位曲线上的点，u是曲线上所有点对应的相位平均值。在统计学中，标准差可以用来衡量稳定性，它反映了群体内个体之间的分散程度。将标准差作为平滑度来优化遗传算法模型。在所有优化后的超单元中，选择标准差最小的个体为优秀个体。因此，选择出的个体相位曲线在宽频带内是平滑稳定的。

作为实例，在x极化下设计了一个焦距为150 mm的聚焦表面，在y极化下设计了双波束散射功能表面，其聚焦和散射效果如图22所示。从电场分布中可以明显看出在9.0～11.0 GHz范围内，150 mm处的电场较强；从远场散射图中可以看出，反射波束被散射到两个方向上。超表面的电场分布和远场散射图与理论分析高度一致，在x极化下，实现了9.0～11.0 GHz频段内的二维聚焦，焦点在150 mm处；在y极化下，实现了9.0～11.0 GHz频段内的双波束散射。

采用逆向设计方法对不同极化的超单元进行优化，为双功能超表面的快速设计提供了一种行之有效的方法，实现了自定义相位剖面的快速填充。该方法可推广到多功能超表面的设计当中，为超表面的智能化和小型化设计奠定了一定的基础。

7 总结

本文中主要涉及的智能算法包括启发式算法和机器学习类算法，具体地包括遗传算法、Hopfield网络和深度学习。几种算法在超材料优化设计中的优缺点总结如下：

图22 超表面电磁性能[46]Fig.22 Electromagnetic performances of metasureface[46]

遗传算法的优点：(1)遗传算法寻优过程不依赖梯度，可以通过交叉、变异跳出局部最优，具有较强的全局搜索能力；(2)具有很强的灵活性，各个步骤的具体实现可以高度自定义；(3)可以作为其他算法的外部框架来提升改进其他算法。遗传算法的缺点：早熟收敛是遗传算法的显著缺点，其表现为群体中所有个体之间相似度很高，进而导致进化缓慢甚至停止。Hopfield神经网络的优点：(1)典型的反馈型神经网络，比前馈神经网络拥有更强的计算能力，可以通过反馈而加强全局稳定性；(2)一般情况下收敛速度很快，它与电子电路存在对应关系，使得该网络易于理解和易于硬件实现。Hopfield神经网络的缺点：反向传播神经网络模型虽然很适合处理学习问题，但是却不适合处理组合优化问题。深度学习的优点：(1)从结果来看，深度学习具备很强的学习能力；(2)深度学习的神经网络层数很多，宽度很广，理论上可以映射到任意函数，适应性好；(3)深度学习高度依赖数据，数据量越大，它的表现就越好，在图像识别、面部识别等领域表现尤为突出；(4)可移植性好，由于深度学习的优异表现，很多框架都可以使用，这些框架可以兼容很多平台。深度学习的缺点：(1)深度学习需要大量的数据与算力，导致成本很高，而且现在很多应用还不适合在移动设备上使用；(2)深度学习对算力要求很高，普通的CPU已经无法满足深度学习的要求；(3)深度学习的模型设计非常复杂，需要投入大量的人力物力和时间来开发新的算法与模型。为了更加直观地对不同职能算法在超材料优化设计中的优缺点展示出来，将启发式算法与机器学习以表1的形式汇总。

表1 不同智能算法在超材料优化设计中优缺点对比Tab.1 Comparison of advantages and disadvantages of different intelligent algorithms in metamaterial optimization designs

这几种算法有各自的优缺点，应当结合具体的实际问题、建模情况和硬件条件进行灵活选择。对于机器学习类算法，无论是前向建模还是逆向设计网络，都需要大量的训练样本，在网络能够执行预期的功能之前对其进行训练。创建这些训练实例需要进行电磁仿真，此时需要大量的计算资源。然而，这是一次性成本，相比之下，启发式算法对每个设计都需要相同数量的仿真。因此，可以得出数据驱动方法的关键优势：大量数据被一次性投入到构建设计工具中，而后它们被多次地逐步地分摊到平时的使用中。

本文综述了基于智能算法的超材料设计方法研究进展，设计方式涵盖正向设计和逆向设计。相对于传统超表面设计方法而言，基于智能算法的超表面优化设计能够提高设计效率，更有利于找到最优结果，具有重要的研究意义和应用前景。但是也应该看到，本文综述的基于智能算法的超材料优化设计仅停留在超材料结构参数的优化上，超材料优化过程与深层次物理机理的关联度还不够深入。

总之，基于智能算法的超表面优化设计方法开拓了传统材料设计的思路，为超材料大规模快速优化设计开辟了新的途径，发挥了智能算法优化设计的优势，在多物理场融合上开展研究，结合多种先进的成型技术和材料体系，如3D打印、复合材料成型工艺等，设计实现满足复杂应用环境的实用型超材料将是超材料设计下一步的重点研究方向。