关于二阶Dirichlet边值问题教学中的一些思考

徐家发 柏仕坤

摘 要：本文使用不动点指数研究二阶Dirichlet边值问题正解的存在性，并给出该问题在教学中的一些思考。

关键词：二阶Dirichlet边值问题;正解;不动点指数

Abstract：In this paper we use the fixed point index to study the existence of positive solutions for the second order Dirichlet boundary value problem，and also give some considerations for teaching this problem.

Key words：Second Dirichlet boundary value problem;Positive solutions;Fixed point index

1 基本知识

从而算子A在（BR2＼B__r2）∩P上至少有一个不动点，即问题（1.1）至少有一个正解。

注2.4 在本文主要结论的证明过程中，我们没有用到Green函数G，也就是说不针对积分方程直接做运算，这与以往文献中提到的办法有所不同。在关于此问题的教学中，尤其是对于初学者，在讲清楚以往常用的方法后，再来讲解此方法，能起到触类旁通、举一反三的作用。

参考文献：

[1]吴小荣，王峰.奇异二阶周期边值问题正解的存在性[J].数学的实践与认识，2008，38（23）：227-232.

[2]张兴秋，王绍锋.奇异二阶微分方程边值问题的正解及多解[J].山东大学学报，2006，41（4）：4-7.

[3]邹玉梅，丁殿坤.奇异二阶m点边值问题的正解[J].徐州师范大学学报，2006，24（2）：33-36.

[4]Liu zhaoli，Li Fuyi.Multiple positive solutions of nonlinear two-point boundary value problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，203（3）：610-625.

[5]纪宏伟.Positive solution to three-order and three-point nonlinear boundary value problem[J].大學数学，2018，34（6）：1-8.

[6]纪宏伟.一端固定一端悬空的弹性梁方程正解的存在性[J].内蒙古师范大学学报，2018，47（5）：384-387.

[7]李洋.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性[J].重庆理工大学学报，2017，31（1）：158-164.

[8]姚庆六.Positive solution concerned with first eigenvalue of a singular typical Elastic Beam equation[J].应用数学，2013，26（4）：803-809.

[9]Xu Jiafa，Yang Zhilin.Positive solutions for a fourth order p-Laplacian boundary value problem[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods & Applications，2011，74（7）：2612-2623.

[10]孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京：科学出版社，2007.

基金项目：重庆市自然科学基金面上项目（cstc2020jcyj-msxmX0123），重庆市教委科技项目（KJQN202000528）

作者简介：徐家发（1985— ），安徽六安人，博士，副教授，研究方向：非线性泛函分析和非线性方程。