“点”视阈下学生空间“动态想象”能力的培养

殷法泉

【摘 要】学生空间观念的培养一直是数学教学的一个难点，原因之一就是很多的几何知识点都成为“静点”，缺乏“动态挖掘”，从而“点—线—面—体”没有实现真正的联动。本文以“三角形的复习”为例，立足于学生“动态想象”能力的培养。通过“写—画—算”三个维度的创新，从“点”的角度，在动态视觉上另谋思“路”，从而连“点”结“网”构“体”，给学生架构一个序列的、完整的“几何框架”，为学生空间观念的丰盈提供保障。

【关键词】“点” 动态想象 空间观念

《三角形的认识》是人教版数学四年级下册的学习内容，六年级学生对三角形的各个知识点已了然于胸。但我们发现，这些知识点在学生的记忆里都是独立存在的，学生并没有将知识点有效地串联起来。有的虽有涉及它们间的联系，但只是点到为止，更没有延伸、融合。课堂教学现状告诉我们，很多的几何知识点“安静地躺在那里”，缺乏“动态挖掘”，“点—线—面—体”未有真正的联动，我们的空间知识教学效果收效甚微。因此，真正培养学生空间观念需要我们拓宽思维，另辟蹊径，让静态的几何点“动起来”，让学生的空间观念丰盈起来。本文以“三角形的复习”为例，在几何知识点的动态想象上另谋“思路”，通过“写、画、算”三个维度的拓新，从“点”的角度，从动态的、综合的视角进一步丰富与充实学生对各类三角形特征的理解与掌握，打通三角形之间的关系，形成新思维、新方法，努力提升学生的数学学习力。

一、动态想象，以“点”带“面”，写出“真相”

学生从接触数学的那刻起就好像被数学这门学科套了个“圈子”——数学学习只要会用演算解决问题就成功了。然而，教学中我们时常会发现一种奇怪的现象：很多学生纸笔练习没问题，但如果需要用语言将自己的想法清楚地表述出来时就噤口不言了。学生数学素养的提高不能仅仅局限于学生会解题，也要注重学生表达自己数学观点能力的提高。“图形与几何”这种空间领域的学习本身就抽象，“空洞”的讲解很难让每一个学生理解。此时，就需要我们把静态的几何知识点借助图示动态地呈现出来，更要让学生学会正确地“全盘托出”。

如在“三角形的复习”中，我们可以通过下题引入：

下面方格图中有两点A、B（如图1），现需找一个点C，使它和另外两点可以构成一个三角形。那么点C需满足什么条件就一定能和A、B构成三角形？（                    ）

给出两点，通过第三点的运动变化，让学生进一步感知三角形，体验图形之间的变换，让独立的知识点连成片、结成网，从而突破传统“线段”的角度，进而从“点”的角度加深学生对三角形三边关系“两边之和大于第三边”的理解。学生可以找到无数个变化着、运动着的点C（包括方格线上的和方格内的，而方格内的点往往是学生忽视的点）和A、B两点构成三角形，这无数个运动的点可以构成一个面，以“点”带“面”。我们不需要学生找出每一个这些具体的点，我们需要的是学生经历这种“由点及面”的全方位的思维碰撞。通过这些具体点C的动态变化，让学生从点的动态变化中感悟三角形成立时“点对边”的影响，重在让学生提炼出并会用语言有条理地表述出点C位置满足的充分不必要条件（只要A、B、C不在同一条直线上）。我们结合图可以显而易见地發现当点C与A、B在同一条直线上时三点是不能构成三角形的，此时三点连一线，更好地阐释了为什么“两边之和等于第三边时不能构成三角形”的原因。

二、动态想象，“点”出内通，画出“乾坤”

从“点”的角度“笼统”地巩固了构成三角形的三边关系后，我们需要从“按角分”和“按边分”两个标准从“点”的角度对已构成的三角形类别有更好的说明，进一步通过动态展示确定每类三角形点C的位置。我们可以进行如下设计：

点C和A、B可以构成各种三角形：

①若要构成直角三角形，那么点C的位置可以在哪里？请你在图2中画出;

②若要构成锐角三角形，那么点C的位置可以在哪里？请你在图2中画出;

③若要构成钝角三角形，那么点C的位置可以在哪里？请你在图2中画出;

④若要构成等腰三角形，那么点C的位置可以在哪里？请你在图2中画出;

⑤若要构成等边三角形，那么点C的位置可以在哪里？请你在图2中画出。

本题让学生初步感受 “点的运动轨迹与图形的关系”，由点及线、由线到面，把一个个独立的、静态的点动态呈现，点、线、面互通，也进一步沟通了三角形与其他平面图形的另一层关系，如图3中点C要和A、B两点构成直角三角形，点C的运动轨迹除了左右两条线（除去A、B两点）外，以AB为直径的圆（除去A、B两点）更好地阐释了三角形与圆的关系，也为后续学习“在圆中，直径所对的圆周角是直角”做好铺垫。

再则，通过动态演示、画一画，让学生深刻体验各类三角形的关系。如问题①、②、③的画图结果就是要让学生从另一个视角（脱离常用的集合图）认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的并列关系，一个平面分成三块区域，形象、直观地阐释了它们的并列关系;问题④中点C的运动轨迹一部分是以A或B为圆心、AB为半径的左右两个圆（除去A、B、M、N四点），将圆半径知识综合运用到解决三角形的问题中来，体现知识的融合。问题④、⑤的答案很清楚地展示了等腰三角形与等边三角形的包含关系，向学生动态呈现“等边三角形为什么是特殊的等腰三角形”的原因——只有点C运动到X、Y两个特殊位置时等腰三角形才成了等边三角形。

“图形与几何”领域本身要求教学中要将几何的几个基本要素“点—线—面—体”循序渐进，有机整合，赋予学生完整的“几何概念体”。我们很好地利用“点的运动—线的勾勒—面的描述”这一规律，根据点的动态变化，利用旧知对“后知”进行预测、判断，让学生提前“后知后觉”，感悟数学知识内在联系的奥秘，体验探索、推理、分析的成功。

三、动态想象，由“内”及“外”，算出“玄机”

“点”，作为三角形的基本要素之一，它的运动可以改变三角形的形状。而有时另一种“点”，绕着三角形边运动的“点”，可以打开对三角形的另一基本要素“角”探索的新范畴。学生已经熟知包括三角形在内的各种多边形的内角和，在此基础上我们需要给予学生充分的探索空间，让学生经历“猜想—推理—验证”的全过程，探索多边形的外角和。因此，我们可以这样设计：

一只小瓢虫沿着下面这个三角形ABC（图5）的各边沿爬行一周，身体一共旋转了（     ）度。

对于学生来说，“三角形的外角”是一个新概念，所以先让学生根据图5猜想、描绘三角形的外角在哪里、三角形的外角应该是怎样的，进而去研究三角形的外角和是多少度、如何推算等。在此，我们借助小瓢虫的运动轨迹，把小瓢虫看作一个“运动的点”，动态演示，让学生找出外角。如图6中，小瓢虫沿三角形ABC的三条边爬行一周所转过的角是∠1、∠2、∠3，就是三角形ABC的三个外角，运用三角形的内角和知识，推算三角形外角和的度数，让学生充分享受外角和推算的过程，并以此为“原点”，给学生一个更广阔的想象空间：任意一个多边形（包括四边形、五边形、六边形……）外角和都是这个度数吗？让学生充分猜想、验证这些多边形外角和的计算规律，最终得出规律：多边形的外角和总是360°。

“三角形的复习”作为平面图形综合复习中的重要一环，我们必须立足于学生“动态想象”能力的培养，真正激活“图形与几何”领域每一个静态的点，让每一个“静点”动起来、变起来，将各个几何知识点在横向的广度和纵向的深度上都得到延伸、拓展，厘清各个几何知识点在整个数学学习阶段的来龙去脉，从而连“点”结“网”，给学生架构一个序列的、完整的“几何框架”，为学生空间观念的丰盈提供保障，也为我们整个“图形与几何”领域的“动态教学”提供借鉴。